Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 8 июня 2019 г.

Урок 14. Теорема синусів

ВІДЕО УРОК

Теорема синусів дозволяє з обох боків і куту, що лежить проти однієї з них (або з обох боків і двох кутів) обчислити інші елементи трикутника.

У кожному трикутнику відношення сторони до синуса протилежного кута є постійна величина (для даного трикутника), що дорівнює довжині діаметра описаної біля трикутника кола.

Або, іншими словами:

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.
де  а, b, с – сторони трикутника А, В, С позначають відповідально 

∠ А, ∠ В, ∠ С.

Візьмемо трикутник  АВС, довжини сторін якого позначимо літерами а, b, с, а величини протилежних кутів відповідно літерами  А, В, С. Опишемо навколо трикутника  АВС  коло. Нехай  R = ОС – радіус кола.
Проведемо діаметр  CD = 2R  і з'єднаємо вершину з точкою  D. Отримаємо трикутник  CBD  в якому кут  В  прямий, як вписаний, що спирається на діаметр  CD. Кути  ∠ BDC  і  ∠ BAC, як вписані та спираються на ту саму дугу  CMB, рівні між собою.

Оскільки   CD = 2R  і  ∠ BDC = ∠ BAC = A, то з прямокутного трикутника  CBD  маємо: 

а = 2R sin A.

Звідси отримуємо:
Подібні ж співвідношення отримаємо і для інших сторін та протилежних їм кутів трикутника, зробивши відповідні побудови:
Поєднуючи ці три рівності, отримаємо:
Доведені співвідношення мають місце й у разі тупокутного трикутника.
 Припустимо, що у трикутнику  АВС
кут  А – тупий. Тоді проводимо діаметр  СD  і з'єднуємо вершину трикутника  АВС  з точкою  D. З прямокутного трикутника  ВСD знаходимо:

BC = CD sin ∠ BDC.

Але кут  ВDС  у сумі з кутом  А  становить  180°  як протилежні кути опуклого чотирикутника, вписаного в коло, а тому 

∠ BDC = 180° – A.

Тому

BC = CD sin ∠ (180° – A),

або

a = 2R sin A.

Звідси маємо ті самі співвідношення.
Ці співвідношення мають місце для прямокутного трикутника.

Ряд рівних відносин може бути записаний і так:

a : b : c = sin A : sin B : sin C.

Теорему синусів можна вивести за допомогою формули, що виражає площу трикутника.
Розглянемо трикутник  АВС  із сторонами  а, b, с  і кутами  α, β, γ.
 Запишемо формули для обчислення площі даного трикутника:
Звідси
Тоді
або
З цих рівностей випливає:
Отже, доведено теорему, яка називається теоремою синусів:

ЗАДАЧА:

Радіус кола, описаного навколо трикутника  АВС, дорівнює  6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника  АОС, де  О – точка перетину бісектрис трикутника  АВС, якщо  ∠ АВС = 60°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За наслідком з теореми синусів
R1 – радіус кола, описаного навколо трикутника  АОС.
ВІДПОВІДЬ:  6 см.

ЗАДАЧА:

На стороні  ВС  трикутника  АВС  позначили точку  D. Знайдіть відрізок  ВD, якщо

∠ С = 90°,

∠ ВАС = α,

∠ ВАD = β,

АВ = с.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Трикутник  АВС – заданий,

∠ В = 90° – α.

∠ ВDА = 180° – β – (90° – α) =

= 90° + α – β.

З ∆ АDВ:
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Відрізок  AD – бісектриса трикутника  АВС,

АD = а,

∠ С = 90°, 

∠ ВАС = α.

Знайдіть відрізок  ВD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ВD – бісектриса кута  А, тому

∠ САD = ∠ DАВ = α/2.
У  ∆ ВСА (∠ С = 90°):

∠ В = 90° – α.

З ∆ АВD:
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

Основа трикутника дорівнює  10 см, один з кутів при основі дорівнює  45°, а кут, що проти лежить основі, дорівнює  60°. Знайдіть сторону, що протилежна куту  в  45°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай шукана сторона – х см. Тоді за теоремою синусів маємо:
ВІДПОВІДЬ:
ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:

∠ А = 45°,

∠ С = 15°,

ВС = 4√͞͞͞͞͞6.

Знайти  АС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Користуючись теоремою про суму кутів трикутника

∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°,

Знайдемо кут  В:

∠ В = 180° – 45° – 15° = 120°.

Сторону  АС  знайдемо за теоремою синусів:
ВІДПОВІДЬ:  АС = 12

ЗАДАЧА:

У трикутнику  КМN:

∠ K = 80°,

∠ N = 40°,

КN = 6 см.

Знайти радіус кола, описаного біля трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З теореми про суму кутів трикутника знайдемо невідомий кут трикутника:

∠ М = 180° – ∠ К – ∠ N.

Підставляючи значення відомих кутів, отримаємо:

∠ М = 180° – ∠ 80° – ∠ 40°,

∠ М = 60°.

Далі по розширеній теоремі синусів
Виразимо з останньої рівності радіус описаного кола:
Підставляючи значення сторони та кута, отримаємо:
ВІДПОВІДЬ:  R = 2√͞͞͞͞͞3 см

ЗАДАЧА:

Гіпотенуза та один із катетів прямокутного трикутника дорівнюють  10 см  та  8 см. Знайти кут, який розташований проти даного катета.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У прямокутному трикутнику навпроти гіпотенузи знаходиться кут, що дорівнює  90°. Приймемо невідомий кут за  х. Тоді співвідношення сторін трикутника виглядає так:
Отже:
Значить 

х ≈ 53,1°.

ВІДПОВІДЬ:  х ≈ 53,1°

Завдання до уроку 14
Інші уроки:
на Комментариев нет: