Урок 16. Рішення косокутних трикутників

четверг, 2 декабря 2021 г.

Урок 16. Рішення косокутних трикутників

ВІДЕО УРОК

Умовимося, як це прийнято, позначати елементи прямолінійного трикутника з вершинами А, В, С такими буквами

А, В, С – внутрішні кути трикутника;

a, b, c – відповідні сторони, протилежні до кутів трикутника;

h_a, h_b, h_c – висоти трикутника відносно сторін a, b і с;

b_a, b_b, b_c – бісектриси внутрішніх кутів;

m_a, m_b, m_c – відповідні медіани;

– півпериметр трикутника;

S – площа трикутника;

R – радіус описаного кола;

r – радіус вписаного кола;

r_a, r_b, r_c – радіуси зовні вписаних кіл.

Основні теореми та формули при співвідношення між елементами трикутника.

Сума внутрішніх кутів.
Формули половинних кутів.
Формула для висот трикутника.
Формули для обчислення бісектрис.
Формула для обчислення медіан.
Формули для обчислення радіуса описаного кола.
Формули для обчислення радіуса вписаного кола.
Основні випадки розв’язання косокутних трикутників.

Основними випадками розв’язання трикутників називаються задачі на обчислення елементів трикутника за трьома його даними незалежними основними елементами.

До основних елементів відносять сторони і внутрішні кути трикутника, причому кути зв’язані між собою співвідношенням

А + В + С = π,

тому тільки два з них можуть бути незалежними.

Розв'язання косокутного трикутника по стороні і двох кутів.

В трикутнику АВС дано: сторона а і кути В і С. Знайти кут А і сторони b і с.

Якщо дано два кути трикутника, то третій визначаємо як

А =180° – (В + С).

Невідомі сторони b і с визначаються за теоремою синусів із пропорцій:

Звідки отримуємо:

але

sin А = sin [180° – (В + С)] =

sin (В + С),

а тому

ПРИКЛАД:

Дано:

а = 400,

А = 36°40',

В = 79°50'.

Знайти b, с, С.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1) С = 180° – (А + В),

С = 180° – (36°40' + 79°50') = 69°30'.

В останньому випадку при визначенні сторони можна було взяти і таку пропорцію:

Але в цю пропорцію введемо щойно знайдену сторону b. Якщо при знайденні b була допущена помилка, то вона позначиться і на величині с, незважаючи на безпомилкові обчислення щодо останньої.

ПЕРЕВІРКА:

Знайдемо кут С через знайдені сторони b і с за формулою:

Маємо:

Маємо збіг із отриманим раніше результатом.

Розв'язання косокутного трикутника з обох сторін і кута, що проти лежить одній з них.

ПРИКЛАД:

Нехай у трикутнику АВС дано: сторони а, b і кут А. Потрібно знайти сторону с і кути В і С.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Кут В визначається по теоремі синусів. Маємо:

Звідки
Кут С знаходиться із співвідношення

С = 180° – (А + В).

Із пропорції
знаходимо с:

Для побудови трикутника по двох його даним сторонам а і b і куту А, протилежному стороні а, можна зробити так: будуємо кут А
і на одній із його сторін від точки А відкладаємо відрізок АС = b. Потім будуємо коло радіуса а з центром у точці С. Якщо це коло не перетне другої сторони кута А, то завдання не має рішення (випадок I), якщо це коло торкнеться другої сторони кута, то завдання має одне рішення (випадок II – шуканий трикутник АСВ₁), якщо це коло перетне другу сторону кута, то завдання має два рішення (випадок III, трикутники АСВ₂ і АСВ₃) і, нарешті, якщо коло перетне бік кута лише в одній точці, то завдання має одне рішення (випадок IV, АСВ₄) .
На кресленні
розглянуто випадок, коли кут А – гострий. На наступному кресленні
розглянуто випадок, коли цей кут тупий. У цьому випадку завдання або не має рішення (І) або має лише одне рішення (ІІ).
Нехай кут А – гострий. Тоді як випливає з креслення
в разі

а < b sin А

завдання не має рішення (I), у разі

а = b sin А

завдання має одне рішення (II), якщо

b ˃ а ˃ b sin А,

Завдання має два рішення (III), нарешті, якщо а ≥ b, Завдання має одне рішення (IV).

Якщо кут А – тупий, то у разі а ≤ b задача не має розв'язання (I), а у разі а ˃ b – має і при цьому лише одне розв'язання (II).
ПРИКЛАД:

Дано:

а = 242,

b = 767,

В = 36°53'.

Знайти с, А, С.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки кут В – гострий і b ˃ а, то завдання має розв'язання і, до того ж, лише одне.
(А – гострий кут, тому що а < b і А < В).

2) С = 180° – (А + В),

С ≈180° – (10°55' + 36°53') = 132°12'.
ПЕРЕВІРКА:

Обчислимо за такою формулою кут В.
Маємо збіг з цим значенням кута В.

ПРИКЛАД:

Дано:

а = 400,

b = 500,

А = 40°.

Знайти с, В, С.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки кут А – гострий і b ˃ а ˃ b sin А, то завдання має два розв'язання.
Перше рішення знайдено. Друге рішення знайдемо, прийнявши У рівним

180° – 53°28' = 126°32'.

Кут С буде інший, а у зв'язку із цим зміниться і сторона с. Позначимо ці нові значення відповідно через

В', С', с'.

Маємо:

1) В' = 126°32'.

2) С' = 180° – (А + В'),

С' ≈180° – (40° + 126°32') = 13°28'.
Отже, є два різні трикутники, у яких

а = 400,

b = 500,

А = 40°,

один з них – гострокутний, інший – тупокутний. Побудова трикутника при цих даних підтверджує отримані дві відповіді.

ПРИКЛАД:

Дано:

а = 165,

b = 268,

А = 53°08'.

Знайти с, В, С.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо

b sin А ≈ 268 ∙ 0,8000 ˃ а = 165,

Отже, завдання немає рішень.

Формули для визначення кута трикутника з двох його сторін та кута між ними.

ТЕОРЕМА:
ДОВЕДЕННЯ:

Розглянемо спочатку випадок, коли кут С – гострий.

Проведемо з вершини В висоту ВD = h.

З прямокутного трикутника АВD отримуємо співвідношення

З трикутника ВСD знаходимо:

h = a sin C

і далі:

AD = AC – DC,

DC = a cos C.

Рівність

AD = AC – DC

тепер представиться в такому вигляді:

AD = b – a cos C.

Вираз для h з рівності

h = a sin C

і AD з рівності

AD = b – a cos C

підставляємо в

Отримаємо:

У випадку, коли С – тупий,

отримаємо:

Але

h = a sin (180° – C) = a sin C,

СD = a соs (180° – C) = –a соs C.

На підставі

h = a sin C

СD = –a соs C

рівність

набуде вигляду:

Аналогічно доводиться і рівність

Вирази для tg В і tg С подається в такій формі:

Розв'язання косокутного трикутника по обидва боки та кут між ними.

ПРИКЛАД:

У трикутнику АВС дано: сторони а і b та кут С. Знайти сторону с і кути А і В.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

1-й спосіб. За теоремою косинусів маємо:

c² = a² + b² – 2ab cos C.

Звідки отримаємо с.

Кут А знаходимо за теоремою синусів. Маємо:

звідки
Так само з пропорції
отримаємо
Кути у розглянутому випадку відшукуємо за теоремою синусів. Кут, що лежить проти більшої сторони трикутника, слід шукати останнім. Наприклад, якщо а ˃ b, то кут В – гострий. Визначивши з

цей гострий кут В, знаходимо кут А:

А = 180° – (В + С).

Контролем може бути формула
2-й метод. Виражаємо тангенс одного з шуканих кутів, наприклад tg A через дані a, b і С за формулою:

Кут В знаходимо із співвідношення:

B = 180° – (A + С).

Сторону с знаходимо, користуючись теоремою синусів:

Першим способом доцільно користуватися, якщо шукається лише сторона, а другим – якщо лише кут.

Кожен із цих способів може бути використаний для перевірки рішення іншим способом.

ПРИКЛАД:

Дано: а = 320, b = 400, С = 110°21'.

Знайти с, А і В.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перший метод.

1) По теоремі косинусів маємо:

c² = a² + b² – 2ab cos C.

Звідки отримаємо с:

c² = 320² + 400² – 2 ∙ 320 ∙ 400 cos 110°21' =

320² + 400² – 2 ∙ 320 ∙ 400 cos 69°39' ≈

102 400 + 256 000 ∙ 0,3478 ≈ 351 437.

с ≈ 592,8.

В ≈ 39°15'.

ПЕРЕВІРКА:

110°21' + 30°24' + 39°15' = 180°.

Другий спосіб.

В ≈ 39°15'.

2) А = 180° – (В + С),

А ≈ 180° – (39°15' + 110°21') = 30°24'.

Формули визначення кутів трикутника з трьох його сторонам.

Візьмемо трикутник АВС. Впишемо в нього коло радіусу r. Центр О це кола знаходиться на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника.

Нехай D, Е, F – точки, у яких сторони трикутника стосуються кола.

З геометрії відомо, що відрізки двох дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою. На цій підставі можемо укласти про рівність наступних відрізків, що входять до складу сторін трикутника:

AD = AF = k,

BD = BE = m,

CE = CF = n.

Якщо проведемо радіуси

OD, OE, OF

в точки дотику, то утворюються шість прямокутних трикутників.

З трикутника AOF маємо:

виразимо r і k через сторони трикутника a, b, c. З креслення видно, що

a + b + c = 2k + 2m + 2n.

Якщо периметр трикутника позначимо через 2p, то отримаємо

2p = 2k + 2m + 2n,

звідки

p = k + m + n.

Так як m + n = a, то з рівності

p = k + m + n

отримаємо, що

k = p – a.

З геометрії відомо, що r кола, вписаного в трикутник, виражається через на півпериметр p і його сторони так:

На підставі рівностей

рівність

набуде вигляду:

За аналогією вийдуть формули

тобто у кожному трикутнику тангенс половини одного з його кутів дорівнює квадратному кореню з дробу, у якого чисельник є добуток різниць між на півпериметром трикутника і кожної зі сторін, що утворюють кут, а знаменник – добуток на півпериметра на різницю між на півпериметром і стороною, що проти лежить цьому куту.

Так як A, B, C – кути трикутника, половини їх ^A/₂, ^B/₂, ^C/₂ – завжди кути гострі. Тому

tg ^A/₂, tg ^B/₂, tg ^C/₂

позитивні.

Формули визначення кутів трикутника з трьох його сторонам з допомогою теореми косинусів.

Теорема косинусів дає таку залежність між трьома сторонами трикутника та кутом:

a² = b² + с² – 2bс cos А.

Виразивши з цієї рівності cos А, отримаємо:

так само можна за аналогією написати вирази для косинусів інших кутів:

Розв'язання косокутного трикутника з трьох сторін.

У трикутнику АВС дано сторони а, b, с. Потрібно знайти кути А, В і С трикутника. Кути А, В і С трикутника можна визначити за формулами, що виражають

cos А, cos В, cos C

через сторони трикутника:

Або ж кути А, В і С визначаються за формулами, що виражають

tg ^А/₂, tg ^В/₂, tg ^С/₂.

через а, b, с:

ПРИКЛАД:

Дано: а = 13, b = 18, с = 15.

Знайти А, В і С.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перший спосіб.

ПЕРЕВІРКА:

А + В + С =

45°16' + 79°40' + 55°4' = 180°.

Другий спосіб.

Маємо:

2р = 13 + 18 + 15 = 4,

р = 23,

р – а =10,

р – b = 5,

р – с = 8.

ПЕРЕВІРКА:

(р – а) + (р – b) + (р – с) =

розкриємо дужки

р – а + р – b + р – с =

згрупуємо та наведемо подібні члени

3р – (а + b + с) =

Так як (а + b + с) це периметр Р = 2р, то одержуємо:

3р – 2р = р.

10 + 5 + 8 = 23.

Вийшло ті ж значення кутів, що і при вирішенні першим способом.

Завдання до уроку 16

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 2 декабря 2021 г.