Урок 17. Приклади рішення завдань з планиметрії із застосуванням тригонометрії

суббота, 11 декабря 2021 г.

Урок 17. Приклади рішення завдань з планиметрії із застосуванням тригонометрії

ВІДЕО УРОК

Площа трикутника.

Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними.
Проведемо у трикутнику АВС висоту h на основу АС, якщо кут С – гострий,

або на продовження основи, якщо кут С – тупий.

Площа трикутника АВС в обох випадках висловиться так:

S = ¹/₂ bh.

З прямокутного трикутника АВD
маємо:

h = a sin C.

З прямокутного трикутника АВD
маємо:

h = a sin ∠ BCD.

але кут BCD – суміжний по відношенню до кута С трикутника АВС, а тому

∠ BCD = 180° – С,

Тоді

h = a sin (180° – С) = a sin С.

Отже, висота h виражається однаково як у разі гострого, і у разі тупого кута С.

Замінюємо у формулі

S = ¹/₂ bh

h через a sin С. Отримаємо:

S = ¹/₂ ba sin С

або

S = ¹/₂ ab sin С,

що і потрібно було довести. За аналогією

S = ¹/₂ bс sin А,

S = ¹/₂ aс sin В.

ЗАДАЧА:

Знайти площу трикутника, якщо його сторони 20 і 30 см, а кут між ними 79°6'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

S = ¹/₂ ab sin С,

S = ¹/₂ ∙ 20 ∙ 30 sin 79°6' ≈

≈ 350 ∙ 0,9820 ≈ 344 см².

Якщо у формулі

S = ¹/₂ ab sin С

замість b підставимо його значення
(за теоремою синусів), то отримаємо:

Подібним чином знаходимо і два інших вирази для площі трикутника в залежності від сторін його b або с і кутів:

ЗАДАЧА:

Обчислити сторону правильного десятикутника, вписаного у коло радіусу 20 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВ – потрібна сторона правильного десятикутника:

Тоді
З центру кола О опустимо перпендикуляр ОС на бік АВ:

ОС ⊥ АВ,

∠ СОВ = 18°.

З трикутника ОСВ маємо:

СВ = ОВ sin ∠ СОВ,

або

СВ = 20 ∙ sin 18° ≈ 20 ∙ 0,3090,

АВ ≈ 2 ∙ 20 ∙ 0,3090 ≈ 12,4 см.

ЗАДАЧА:

Дві сторони трикутника дорівнюють 23 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої з відомих сторін – 10 см. Знайдіть третю сторону трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай у трикутнику АВС відомо, що

АС = 23 см, ВС = 30 см,

відрізок АМ – медіана, АМ = 10 см.
На продовженні відрізка АМ за точку М відкладемо відрізок МD, що дорівнює медіані АМ. Тоді АD = 20 см.

У чотирикутнику АВDС діагоналі АD і ВС точкою перетину М діляться навпіл (ВС = МС за умовою, АМ = МD за побудовою). Отже, чотирикутник АВDС – паралелограм.

Оскільки сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, то

АD² + ВС² = 2(АВ² + АС²).

Тоді

20² + 30² = 2(АВ² + 23²),

400 + 900 = 2(АВ² + 529),

АВ² = 121,

АВ = 11 см.

ВІДПОВІДЬ: 11 см

ЗАДАЧА:

Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює а.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трапеції АВСD:

ВС ∥ АD, ВС = а,

АВ = СD, АС ⊥ СD,

∠ ВАС = ∠ САD.
∠ САD і ∠ ВСА рівні як внутрішні різносторонні при ВС ∥ АD та січній АС.

Отже, ∠ ВАС = ∠ ВСА. Тоді ∆ АВС – рівнобедрений. Звідси

СD = АВ = ВС = а.

Нехай ∠ САD = α. Тоді

∠ СDА = ∠ ВАD = 2α.

З ∆ АСD (∠ АСD = 90°):

∠ САD + ∠ СDА = 90°,

α + 2α = 90°,

α = 30°.

Отже, ∆ АСD – прямокутний з гострим кутом 30°. Тоді

АD = 2СD = 2а.

Відрізок СМ – висота трапеції.

З ∆ СМD (∠ СМD = 90°):

Площа трапеції:

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до бічної сторони і утворює з основою трапеції кут 30°. Знайдіть площу трапеції, якщо радіус кола, описаного навколо неї, дорівнює R.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСD (ВС ∥ АD) – рівнобічна трапеція,

АС ⊥ СD, ∠ САD = 30°.
Коло, описане навколо трапеції, є описаним навколо прямокутного трикутника АСD, а тому АD – діаметр цього кола. АD = 2R. Побудуємо висоту СК трапеції. З прямокутного трикутника АСD одержимо: