Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень

понедельник, 16 мая 2022 г.

Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень

ВІДЕО УРОК

Загальний вид перетворення функції.

Перетворення графіків функцій – це лінійні перетворення функції y = f(x) або її аргументу х до виду

y = af(kx + b) + m,

а також перетворення з використанням модуля.

Знаючи, як будувати графіки функції y = f(x), де

y = sin x,

y = cos x,

y = tg x,

y = ctg x,

можна побудувати графік функції

y = af(kx + b) + m.

Перетворення графіків тригонометричних функцій підпорядковується загальній схемі геометричних перетворень

±k₁× f(±k₂× (x + a)) + b.

Але треба звернути увагу до вплив коефіцієнта k₂ на період тригонометричних функцій. При відмінному від одиниці коефіцієнті k₂ період стає рівним

розтяг графіка функції вздовж осі абсцис відповідає збільшенню періоду, а при k₂ ˃ 1 стиснення графіка відповідає зменшенню періоду. Коефіцієнт k₁ впливає на амплітуду коливань синусоїди та косинусоїди.

Паралельне перенесення графіка вздовж осі абсцис на |b| одиниць.

y = f(x – b)

вправо, якщо b ˃ 0;

ліворуч, якщо b < 0.

y = f(x + b)

ліворуч, якщо b ˃ 0;

вправо, якщо b < 0.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

y = sin (x + ^π/₂),

користуючись графіком

y = sin x

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зрушимо вліво графік функції

y = sin x
Зрушимо вліво графік функції

y = sin x

на ^π/₂Отримаємо графік функції (червона лінія)

y = sin (x + ^π/₂)

Паралельне перенесення графіка вздовж осі ординат на |m| одиниць.

y = f(x) + m

вгору, якщо m ˃ 0;

вниз, якщо m < 0.

Відображення графіка.

y = f(–x)

Симетричне відображення графіка щодо осі ординат.

Стиснення та розтягнення графіка.

Тут йдеться про побудову графіків функцій виду:

y = m sin kx,

y = m cos kx,

y = m tg kx,

y = m ctg kx.

y = f(kx)

При k ˃ 1 – стиснення графіка до осі ординат у k разів,

при 0 < k < 1 – розтяг графіка від осі ординат у k разів,

Взагалі кажучи, побудова графіка функції

y = m sin kx

здійснюється у три етапи:

1. Будують графік функції y = sin x.

2. Будують графік функції y = sin kx.

3. Будують графік функції y = m sin kx.

Аналогічно справи з іншими тригонометричними функціями.

Насправді зазвичай при побудові графіка функції

y = m sin kx (y = m соs kx)

виконують розтягування та стиск для однієї напівхвилі графіка функції

y = sin x (y = соs x),

а потім будують весь графік.

При побудові графіка функції

y = m tg kx (y = m сtg kx)

виконуються розтягування та стиск для однієї гілки графіка функції

y = tg x (y = сtg x),

а потім будують весь графік.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції:

y = –3 соs 2x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо одну напівхвилю графіка функції

y = соs x.

Здійснивши її стиск до осі з коефіцієнтом 2, отримаємо графік функції

y = соs 2x.

Тепер здійснимо розтяг отриманого графіка від осі х з коефіцієнтом 3, а потім перетворення симетрії щодо осі х. В результаті ми отримаємо графік функції

y = –3 соs 2x.

На малюнку
показана одна напівхвиля графіка, а малюнку
весь графік.

Перетворення графіка із модулем.

у = | f(x)|

При f(x) ˃ 0 – графік залишається без змін,

при f(x) < 0 – графік симетрично відбивається щодо осі абсцис.

Графік гармонійних коливань у = А sin (ωx + α).

Тригонометричні функції використовуються для опису коливальних процесів. Один з найважливіших процесів такого роду описується формулою

у = А sin (ωx + α).

Цю формулу називають формулою гармонійних чи синусоїдальних коливань. Величину А називають амплітудою коливання, вона характеризує розмах коливання. Величину ω називають частотою коливання. Чим більше ω, тим більше число коливань за одиницю часу (кількість коливань за одиницю часу дорівнює ^ω/_2π).

Нарешті α називають початковою фазою коливання.

Якщо, наприклад, вантаж, що висить на пружині, вивести з положення рівноваги, він почне здійснювати вертикальні коливання. Закон руху виражається формулою

у = А sin (ωx + α), де

у – відхилення вантажу від положення рівноваги,

х – час.

Той самий закон зустрічається в теорії змінного електричного струму. При обертанні прямокутної рамки, зробленої з провідного електричного струму матеріалу, в магнітному полі по ній йде струм. Якщо рамка обертається рівномірно, то сила струму змінюється за законом гармонійних коливань

у = А sin (ωx + α).

Побудуємо графік функції

у = А sin (ωx + α).

Насамперед перетворимо функцію до виду

у = А sin (ω(x + ^α/_ω)).

Побудова графіка цієї функції виконаємо у кілька етапів.

1. Здійснимо паралельне перенесення системи координат, помістивши початок нової системи х'у' у точку О' (–^α/_ω; 0).

2. У системі х'у' побудуємо графік функції

у' = sin x'

(при цьому можна обмежитися однією напівхвильою).

3. Здійснивши стиск побудованого графіка до осі у' з коефіцієнтом ω, отримаємо графік

у' = sin ωx'.

4. Здійснивши розтяг останнього графіка від осі x' з коефіцієнтом А, отримаємо необхідний графік.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = 2 sin (^х/₃ – ^π/₆).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

у = 2 sin (¹/₃ (х – ^π/₂)).

Побудову графіка виконаємо у кілька етапів.

1. Здійснимо паралельне перенесення системи координат, обравши початком нової системи точку

О' (^π/₂; 0).

У системі х'у' нам потрібно побудувати графік функції

у' = 2 sin ¹/₃x'.

2. Будуємо графік функції

у' = sin x'.

3. Виконавши стиснення графіка до осі у' з коефіцієнтом ¹/₃ (тобто розтягнення з коефіцієнтом 3), отримаємо графік функції

у' = sin ^х'/₃.

4. Здійснимо розтягнення останнього графіка від осі у' з коефіцієнтом 2.

Отриманий графік є графіком функції

у = 2 sin (^х/₃ – ^π/₆).

На практиці замість стиснення, розтягування та паралельного перенесення часто надходять інакше. Відшукують значення х, у яких задана функція перетворюється на нуль, і значення, у яких вона приймає найбільше і найменше значення. Далі графік будують за точками.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції

у = 3 sin (2х + ^π/₃).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розв'яжемо спочатку рівняння

3 sin (2х + ^π/₃) = 0.

Маємо

2х + ^π/₃ = πk,

x = –^π/₆ + ^πk/₂, k ∈ Z.

Дамо параметру k два значення: 0 та 1.

При k = 0 маємо х = – ^π/₆.

При k = 1 маємо х = ^π/₃.

Значить точки

А₁(– ^π/₆; 0) і А₂(^π/₃; 0)

служать кінцями однієї напівхвилі шуканої синусоїди.

Далі, серединою відрізка [– ^π/₆; ^π/₃] є точка ^π/₁₂, в якій функція

у = 3 sin (2х + ^π/₃)

приймає максимальне значення, що дорівнює трьом. Значить

M (^π/₁₂; 3) – точка максимуму.

Відзначаємо на координатній площині точки

А₁(– ^π/₆; 0), А₂(^π/₃; 0) і M (^π/₁₂; 3)

і будуємо напівхвилю шуканого графіка.
Після цього будуємо графік заданої функції.
Завдання до уроку 31.

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 16 мая 2022 г.