Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій

суббота, 14 мая 2022 г.

Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій

ВІДЕО УРОК

Графік функції у = arcsin x.

Побудуємо синусоїду х = sin у. Значення аргументу у (кута) у разі відкладаються по осі Оу, а відповідні значення функції х, тобто sin у, – по осі Ох.

Виділимо (жирною лінією) на отриманому графіку шматок з кінцями в точках (–1; –^π/₂) і (1; ^π/₂). Цей шматок кривої є графіком функції у = arcsin x.
Графік функції аrcsin x наведено на рисунку:

Графік функції Аrcsin x наведено на рисунку:

Графік функції

у = arcsin x

симетричний щодо бісектриси І та ІІІ координатних кутів графіка функції:

у = sin x, де –^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂;

Графік функції у = arcsin x можна отримати з графіка функції

у = sin x, –^π/₂ ≤ х ≤ ^π/₂,

за допомогою перетворення симетрії щодо прямої у = х.

Графік функції у = arcсоs x.

Для отримання графіка функції у = arcсоs x будуємо графік функції х = соs у.

і виділимо частину його з кінцями в точках (–1; +1).
Графік функції аrcсоs x наведено на малюнку:

Графік функції Аrcсоs x наведено на малюнку:

Графік функції

у = arcсоs x

симетричний щодо бісектриси І та ІІІ координатних кутів графіка функції:

у = соs x, де 0 ≤ х ≤ π;

Графік функції у = arcсоs x може бути отриманий з графіка функції

у = соs x, 0 ≤ х ≤ π,

за допомогою перетворення симетрії щодо прямої у = х.

Графік функції у = arctg x.

Графіком функції у = arctg x служить гілка кривої х = tg у, що відповідає проміжку зміни у від –^π/₂ до ^π/₂.

Графік функції аrctg x наведено на малюнку:

Графік функції Аrctg x наведено на малюнку:

Графік функції

у = arctg x

симетричний щодо бісектриси І та ІІІ координатних кутів графіка функції

у = tg x, де –^π/₂ < х < ^π/₂;

Графік функції у = arctg x може бути отриманий із графіка функції

у = tg x, –^π/₂ < х < ^π/₂,

за допомогою перетворення симетрії щодо прямої у = х.

Графік функції у = arcсtg x.

Графіком функції у = arсctg x служить гілка кривої х = сtg у, що відповідає проміжку зміни у від 0 до π.

Графік функції у = arcсtg x наведено на малюнку:

Графік функції у = Аrcсtg x наведено на малюнку:

Графік функції

у = arсctg x.

симетричний щодо бісектриси І та ІІІ координатних кутів графіка функції

у = ctg x, де 0 < х < π

Графік функції у = arcсtg x може бути отриманий із графіка функції

у = сtg x, 0 < х < π,

за допомогою перетворення симетрії щодо прямої у = х.

ПРИКЛАД:

Побудувати графік функції
1. Область визначення: функція визначена для х, які відповідають нерівності

Остання нерівність задовольняється при

х ≤ –1 і х ≥ 1

2. Область зміни значень функції:

0 ≤ у < ^π/₂,

так як
3. Функція парна, оскільки

у(–х) = у(х).

4. Точки перетину з осями координат:

– з віссю Оу(х = 0) функція неспроможна мати точок перетину, оскільки вона визначена лише за

|х| ≥ 1

– з віссю Ох(у = 0) вона перетинається у точках (–1; 0) та (1; 0) (нулі функції), оскільки
лише за х = ±1.

5. Найменше та найбільше значення функції в області визначення.

З огляду на парність функції досить її досліджувати для х ≥ 1.

Якщо х = 1, то

у(1) = аrcсоs 1 = 0.

Якщо
отже,

причому
Отже, при х = 1 (і при х = –1) функція приймає найменше значення, що дорівнює нулю, а при
прагне к ^π/₂, залишаючись менше ^π/₂. Ні при якому х не виконується нерівність

тобто, найбільшого значення наша функція не має.

6. Інтервали знакопостійності.

Функція всюди області визначення неотрицательна, тобто
Для побудови графіка функції знайдемо деякі опорні точки, а потім з'єднаємо їх плавною лінією з урахуванням властивостей функції.
Оскільки функція
парна, то досить побудувати її графік для

х ≥ 1 (1 ≤ х < +∞),

а потім продовжити його симетрично щодо осі Оу для

х ≤ –1 (–∞ < х ≤ 1).

Складемо таблицю значень функції
(з точністю до 0,01) для деяких значень х.

З'єднавши отримані опорні точки плавною лінією та врахувавши, що пряма у = ^π/₂ є горизонтальною асимптотою при
ми отримаємо графік функції
на нескінченному напівінтервалі
[1, +∞).