Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші | Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 13 мая 2022 г.

Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші

ВІДЕО УРОК

Зворотні тригонометричні функції називаються аркфункціями.

На підставі співвідношень між тригонометричними функціями одного і того ж кута та визначень аркфункцій можна отримати формули, що виражають одну аркфункцію через інші.

Нехай.

arcsin x = α

де 0 < α < ^π/₂ и 0 < x < 1, тоді

sin α = x.

На підставі формули

sin² α + cos² α = 1

знаходимо:

(Перед радикалом взято знак +, так як α – кут першої чверті). З рівності

маємо:

Розділивши ліву та праву частини рівності

sin α = x

відповідно на ліву та праву частини рівності

отримаємо:

звідки

Так як

Порівнюючи рівності

arcsin x = α,
укладаємо, що

ПРИКЛАД:
або

ПРИКЛАД:

Виразити arcsin (–¹/₃) через арктангенс.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо arcsin (–¹/₃) = α, то

sin α = –¹/₃ (–^π/₂ < x < 0),

ВІДПОВІДЬ:
Знайдемо вираз функції arctg x через інші. Нехай

arctg x = α.

де 0 < α < ^π/₂ і x ˃ 0.

Тоді маємо:

tg α = x а ctg α = ¹/_x.

Отже

Отримаємо:

α = arcctg ¹/_x.

Зведемо у квадрат обидві частини рівності

tg α = x,

замінивши попередньо tg α через

Після додавання до обох частин цієї рівності по 1, вона набуде вигляду:

звідки знаходимо:

Так як sin α = cos α tg α, то

Тоді

Порівнюючи рівності

arctg x = α,
отримаємо:Аналогічно можна вивести такі формули:

Аналогічно можна вивести такі формули:

ПРИКЛАД:

Виразити arccos (–²/₃) через арксинус.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

arccos (–²/₃) = π – arccos ²/₃.

Нехай arccos ²/₃ = α, тоді cos α = ²/₃, а
(0 < α < ^π/₂)
Отже,
Розглянемо функцію

у = sin(arccos х).

Поклавши arccos х = α,

отримаємо cos α = х.

Тоді маємо:

тобто

|х| ≤ 1.

Ми взяли перед коренем знак <<+>> тому, що

α = arccos х

задовольняє нерівностям

0 ≤ α ≤ π.

ПРИКЛАД:
Розглянемо функцію

у = cos(arcsin х).

Поклавши arcsin х = α, отримаємо sin α = х.

Тоді маємо:

cos(arcsin х) = cos α =

тобто

|х| ≤ 1.

Ми взяли перед коренем знак <<+>> тому, що

α = arcsin х

задовольняє нерівностям

–^π/₂ ≤ α ≤ ^π/₂.

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

соs (arcsin х),

де –1 ≤ х ≤ 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Покладемо arcsin х = у. Тоді

sin у = х, –^π/₂ ≤ у ≤ ^π/₂.

Потрібно знайти cоs у.

Відомо що

cоs² у = 1 – sin² у,

значить

cоs² у = 1 – х².

Але –^π/₂ ≤ у ≤ ^π/₂, але в відрізку [–^π/₂; ^π/₂] косинус набуває лише невід'ємних значень. Тому
тобто
ПРИКЛАД:
|х| ≤ 1.

На підставі тотожності

маємо:

x ≠ 0.

ПРИКЛАД:

tg[arcctg(¹/₉)] = 9.

На підставі формули

отримаємо таку формулу:

|x| < 1.

ПРИКЛАД:
На підставі тотожності

маємо:

x ≠ 0.

ПРИКЛАД:

ctg[arctg(¹¹/₁₀)] = ¹⁰/₁₁.

Аналогічно можна вивести такі формули:

Маємо:

sin(2arccos x) =

= 2 sin(arccos x) cos (arccos x) =

ПРИКЛАД:
|x| ≤ 1.

ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:

Обчислити
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо
через α, маємо:

0 ≤ α ≤ ^π/₂,
отже, α = 60°. Тоді
ПРИКЛАД:

Обчислити
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо
через α, тоді маємо:

0 ≤ α ≤ π,

Потрібно знайти sin 2α, але

sin 2α = 2 sin α соs α.

Знаходимо sin α:

Значення sin α взято позитивним, оскільки
кут другої чверті. Отже:

ПРИКЛАД:

Обчислити:

tg (¹/₂arcсоs (–³/₅)).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Покладемо

α = arcсоs (–³/₅).

Тоді

соs α = –³/₅, ^π/₂ < α < π.

Потрібно вирахувати tg ^α/₂.

Маємо:

значить
Так як, далі
звідки
тобто tg ^α/₂ = 2 або tg ^α/₂ = –2.

За умовою ^π/₂ < α < π,

значить ^π/₄ < ^α/₂ < ^π/₂,

а в інтервалі (^π/₄; ^π/₂) маємо tg ^α/₂ ˃ 0.

Отже tg ^α/₂ ˃ 0, тобто

tg (¹/₂arcсоs (–³/₅)) = 2.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

arctg(сtg ^6π/₅).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Використовуючи рівність

сtg ^6π/₅ = сtg ^π/₅ =

tg (^π/₂ – ^π/₅) = tg ^3π/₁₀

та враховуючи, що

–^π/₂ < ^3π/₁₀ < ^π/₂

arctg(сtg ^6π/₅) = arctg(tg ^3π/₁₀) = ^3π/₁₀.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

tg (¹/₂ arсcos (–⁴/₇)).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай

α = arсcos (–⁴/₇),

тоді

cos α = –⁴/₇,^π/₂ < α < π.

Використовуючи формулу
отримуємо
звідки
так як ^π/₄ < ^α/₂ < ^π/₂.
sin(arcsin x + arcsin y) =
= sin(arcsin x) cos(arcsin y) + cos(arcsin x) sin(arcsin y) =

де |х| ≤ 1 і |у| ≤ 1.

ПРИКЛАД:
sin(arccos x + arccos y) =
= sin(arccos x) cos(arccos y) + cos(arccos x) sin(arccos y) =

де |х| ≤ 1 і |у| ≤ 1.

ПРИКЛАД:

sin(arccos ¹/₂ + arccos ¹/₃) =

ПРИКЛАД:

Обчислити:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Покладемо
звідки α = 45°,

звідки β = 30°.

Отже,

ПРИКЛАД:

Обчислити:

sin(arсtg ⁸/₁₅ – arсcos ¹⁵/₁₇).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай

α = arсtg ⁸/₁₅,

β = arсcos ¹⁵/₁₇.

тоді

0 < α < ^π/₂ и tg α = ⁸/₁₅,

0 < β < ^π/₂ и cos β = ¹⁵/₁₇.

Скористаємося формулою

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

Так як

sin α ˃ 0, cos α ˃ 0, sin β ˃ 0, то
sin (α – β) = ⁸/₁₇ ∙ ¹⁵/₁₇ – ¹⁵/₁₇ ∙ ⁸/₁₇= 0.

Завдання до уроку 29.

Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)