Урок 20. Формули зведення (2)

пятница, 22 марта 2019 г.

Урок 20. Формули зведення (2)

ВІДЕО УРОК

Як запам'ятати формули наведення.

Для того, щоб запам'ятати ці формули, можна керуватися такими правилами:

Якщо до кута α додається непарне число разів 90° або на n ∙ 90°, де n – непарне число (1 або 3), віднімається α, то тригонометрична функція замінюється подібною за назвою, тобто косинус замінюється на синус, синус – на косинус , тангенс – на котангенс, котангенс – на тангенс.

Якщо до кута α додається парна кількість разів взята 90° або на n ∙ 90°, де n – парне число (0, 2, 4), віднімається кут α, то назва тригонометричної функції не змінюється.

Що ж до знака, його найпростіше визначити з геометричних міркувань, вважаючи кут α гострим.

ПРИКЛАД:

соs (90° + α) = –sin α.

Дев'яносто градусів до кута α додано один раз, отже, косинус замінюється синусом.

Далі, якщо α – гострий кут, то α + 90° кут другої чверті, а цієї чверті косинус негативний, отже перед sin α справа треба взяти знак мінус.

ПРИКЛАД:

sin (180° – α) = sin α.

Дев'яносто градусів береться двічі і з цього кута віднімається α, отже, назва синус не змінюється.

Далі, якщо α – гострий кут, то 180° – α кут другої чверті, а цієї чверті синус позитивний, отже перед sin α справа треба взяти знак плюс.

ПРИКЛАД:

tg (270° – α) = ctg α.

Дев'яносто градусів береться тричі і з цього кута віднімається α, отже, тангенс замінюється на котангенс.

Далі, якщо α – гострий кут, то 270° – α кут третьої чверті, а третьої чверті тангенс позитивний, отже перед ctg α справа треба взяти знак плюс.

ПРИКЛАД:

cosec (^π/₂ + α) = sec α.

До кута α додається ^π/₂, взятий один раз, значить косеканс заміниться на секанс.

Далі, якщо α – гострий кут, то ^π/₂ + α кут другої чверті, а другої чверті косеканс позитивний, отже перед sec α справа треба взяти знак плюс.

ПРИКЛАД:

Знайти sin 210°.

Так як

180° < 210° < 270°,

то даний кут можна уявити або як 180° + 30° або як 270° – 60°, а тому маємо:

sin 210° = sin (180° + 30°).

Відповідно до правила встановлюємо, що назва функції не змінюється. Оскільки синус кута, що закінчується в третій чверті негативний, маємо:

sin 210° = sin (180° + 30°) =

= –sin 30° = –¹/₂.

Якщо ми представимо кут 210° у вигляді 270° – 60°, то отримаємо той же результат:

sin 210° = sin (270° – 60°) =

= –соs 60° = –¹/₂.

ПРИКЛАД:

Знайти соs ^5π/₆.

Маємо:

або
ПРИКЛАД:

sin 140° привести до синуса гострого кута, меншого за 45°.

Так як 140° = 180° – 40°, то

sin 140° = sin (180° – 40°) =

= sin 40° ≈ 0,6428.

ПРИКЛАД:

сtg 314°20' привести до тангенсу гострого кута.

Так як 314°20' = 270° + 44°20', то

сtg 314°20' = сtg (270° + 44°20') =

= –tg 44°20' ≈ –0,9770.

ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:

Привести до тригонометричної функції кута α функцію

sin (α – 270°).

На підставі періодичності синусу маємо:

sin (α – 270°) = sin (α – 270° + 360°) =

= sin (90° + α) = соs α,

або на підставі формули

sin (–α) = – sin α отримаємо:

sin (α – 270°) = – sin (270° – α) =

= –(–соs α) = соs α.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення:

sin 430°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

sin 430° = sin (360° + 70°) = sin 70° = 0,9397.

ВІДПОВІДЬ: 0,9397.

Якщо врахувати, що збільшення кількості обертів 360°n, або 2πn, де n – ціле число, до аргументу тригонометричних функцій на значення функції не впливає, то, користуючись цією властивістю і формулами, будь-яку тригонометричну функцію довільного кута можна привести до функції гострого кута . Для приведення тригонометричних функцій довільного кута до функцій гострого кута зручно представляти довільний кут я

90° n + α, тоді

де k = 0; ±1; ±2; …

З формул випливає таке правило.

Будь-яка тригонометрична функція кута

90°n + α,

по абсолютній величині дорівнює тій же функції кута α, якщо число n – парне, і подібної функції, якщо n – число непарне. При цьому, якщо функція кута

90°n + α

позитивна (коли α – гострий кут), то знаки обох функцій однакові; якщо негативна, то різні.

ПРИКЛАД:

Привести tg 3728° до функції гострого кута.

Уявимо кут

3728° = 90° ∙ 41 + 38°;

Тоді згідно з формулою

tg (90° ∙ n + α) = –ctg α, якщо n = 2k + 1

tg (90° ∙ 41 + 38°) = –ctg 38°.

ПРИКЛАД:

α = 777°. Привести синус альфа до тригонометричної функції гострого кута.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Представимо кут α = 777° у необхідному вигляді:

777° = 57° + 360° × 2,

777° = 90° – 33° + 360° × 2.

Вихідний кут – кут першої чверті. Отже, синус кута має позитивний знак. У результаті маємо:

sin 777° = sin (57° + 360° × 2) = sin 57°,

sin 777° = sin (90° – 33° + 360° × 2) = cos 33°.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення:

cos 550°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

cos 550° = cos (360° × 2 – 170°) =

cos (–170°) = cos (180° – 10°) =

–cos 10° = –0,9848.

ВІДПОВІДЬ: –0,9848.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення:

cos 1640°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розділимо 1640° на 360°, отримуємо в частки 4 і залишку 200°. Тоді маємо:

cos 1640° = cos (360° × 4 + 200°),

або на підставі властивості періодичності отримаємо:

cos (360° × 4 + 200°) = cos 200°.

Далі, за формулами наведення знаходимо:

cos 200° = cos (180° + 20°) = –cos 20° = –0,9397.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення:

sin (–1320°).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосовуючи формулу

sin (–α) = –sin α,

маємо:

sin (–1320°) = –sin 1320°,

а далі чинимо, як у попередньому прикладі:

ПРИКЛАД:

Знайти

tg 7,4700.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

tg 7,4700 ≈ tg (3,1416 × 2 + 1,1868) =

= tg 1,1868 ≈ tg 68° ≈ 2475.

ПРИКЛАД:

Знайти

sin (–3).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

sin (–3) = –sin 3 ≈ sin 171°54' =

= – sin 8°06' = –0,1409.

Мнемонічне правило.

Існують закономірності, по яких можна виводити формули приведення для різних кутів і тригонометричних функцій. Ці закономірності називаються мнемонічним правилом. Мнемоніка - мистецтво запам'ятовування. Мнемонічне правило складається з трьох частин, або містить три етапи.

1. Аргумент початкової функції представляється в одному з видів:

±α + 2πz,

^π/₂± α + 2πz,

π ± α + 2πz,

^3π/₂± α + 2πz.

Кут α повинен лежати в межах від 0° до 90°.

2. Визначається знак початкової тригонометричної функції. Такий же знак матиме функція, записувана в правій частині формули.

3. Для кутів

±α + 2πz і π ± α + 2πz

назва початкової функції залишається незмінним, а для кутів

^π/₂± α + 2πz і ^3π/₂± α + 2πz

відповідно міняється на "кофункцію". Синус – на косинус. Тангенс – на котангенс.

Щоб користуватися мнемонічним правилом для формул приведення треба уміти визначати знаки тригонометричних функцій по чвертях одиничного кола.

ПРИКЛАД:

Запишемо формули приведення для

cos (^π/₂ – α + 2πz),

tg (π – α + 2πz),

α – кут першої чверті.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Оскільки по умові α – кут першої чверті, ми пропускаємо перший пункт правила.

Визначимо знаки функцій

cos (^π/₂ – α + 2πz) и

tg (π – α + 2πz).

Кут

^π/₂ – α + 2πz

також є кутом першої чверті, а кут

π – α + 2πz

знаходиться в другій чверті. У першій чверті функція косинуса позитивна, а тангенс в другій чверті має знак мінус. Запишемо, як виглядатимуть шукані формули на цьому етапі

cos (^π/₂ – α + 2πz) = +

tg (π – α + 2πz) = –

Згідно з третім пунктом для кута

^π/₂ – α + 2πz

назва функції змінюється на конфуцію, а для кута

π – α + 2πz

залишається тим самим. Запишемо:

cos (^π/₂ – α + 2πz) = + sin α

tg (π – α + 2πz) = – tg α.

ЗАДАЧА:

З'ясувати, чи є функція

у = 2 + sin х cos (^3π/₂ + х)

парної чи непарної.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Використовуючи формулу приведення, запишемо цю функцію так:

у = 2 + sin² х.

Маємо:

у(–х) = 2 + sin² (–х) = 2 + (–sin х)² =

= 2 + sin² х = у(х).

Ця функція є парною.

Тригонометричні функції додаткових кутів.

Два кути, сума яких дорівнює 90°, називаються додатковими кутами.

Гострі кути прямокутного трикутника є додатковими один до одного.

Якщо у прямокутному трикутнику АВС (∠ С = 90°) гострий кут ∠ ВАС = α,

другий гострий кут ∠ АВС = 90° – α.

З креслення маємо:

sin (90° – α) = ^b/_c = cos α,

Синус одного з двох додаткових кутів дорівнює косинусу другого.

cos (90° – α) = ^a/_c = sin α,

Косинус одного з двох додаткових кутів дорівнює синусу другого.

tg (90° – α) = ^b/_a = ctg α,

Тангенс одного з двох додаткових кутів дорівнює котангенсу другого.

ctg (90° – α) = ^a/_b = tg α,

Котангенс одного з двох додаткових кутів дорівнює тангенсу другого.

ПРИКЛАД:

sin 30° = cos 60°,

cos 30° = sin 60°,

sin 72° = cos 18°,

tg 13°20' = ctg 76°40'.

Знання співвідношень між тригонометричними функціями додаткових кутів є важливим для розуміння пристрою тригонометричних таблиць.

Подібними (за назвою) тригонометричними функціями відповідно називатимемо синус і косинус, тангенс і котангенс, секанс і косеканс.

Подібні тригонометричні функції додаткових кутів рівні між собою.

Доведемо спочатку, що

sin (^π/₂ – α) = cos α,

cos (^π/₂ – α) = sin α.

Припустимо для певності, що

^π/₂ < α < π,

тоді кут β = ^π/₂ – α задовольняє нерівності

–^π/₂ < β < 0.

Побудуємо тепер за допомогою рухомого одиничного радіусу-вектора r кути

АОЕ = α і АОЕ₁ = –β ˃ 0.

Зауважимо, що ∆ В₁ОЕ₁ = ∆ ВЕО (вони прямокутні, мають рівні гіпотенузи

і рівні гострі кути:

∠ ВЕО = α – ^π/₂ = –β = В₁ОЕ₁).

З рівності трикутників маємо

–х = у₁ і х₁ = у.

Отже,

sin (– β) = sin (α – ^π/₂) = у₁ = –х = –cos α,

звідки sin (α – ^π/₂) = –cos α, але через непарності синуса

sin (α – ^π/₂) = –sin (^π/₂ – α),

маємо sin (α – ^π/₂) = cos α.

Аналогічно доводиться, що

cos (^π/₂ – α) = sin α.

Для інших функцій можна підтвердження вести так:

За доказом ми вважали, що кут α заданий у радіанах. Відповідні формули для кута α, виміряного градусною мірою, легко отримати замінивши ^π/₂ на 90°.

За доказом ми припустили для певності, що кут α відповідає нерівностям ^π/₂ < α < π. Можна показати, що наведені вище рівності залишаються в силі і у разі будь-якого кута α (як позитивного, так і негативного).

ПРИКЛАД:

sin (45° + α) = cos (45° – α),

tg (45° + α) = ctg (45° – α),

sin (60° + α) = cos (30° – α),

sin (30° – α) = cos (60° + α).

ПРИКЛАД:

Замінити дані тригонометричні функції тригонометричними функціями додаткового кута:

cos ^π/₃ = sin (^π/₂ – ^π/₃) = sin ^π/₆ = ¹/₂.

tg 18° = ctg (90° – 18°) = сtg 72°,

сtg 31°29'32'' = tg (90° – 31°29'32'') =

= tg 58°30'28'',

Ці формули разом із формулами приведення дозволяють привести будь-яку тригонометричну функцію довільного кута до функції позитивного кута α, що не перевищує 45°.

Завдання до уроку 20

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 22 марта 2019 г.