Урок 5. Періодичність тригонометричних функції

ВІДЕО УРОК

Періодичні функції.

Функцію  у = f (х), х ∈ Х, називають періодичної, якщо існує таке відмінне від нуля число  Т, що для будь-якого х з області визначення функції справедливо рівність:

f(х + Т) = f(х) = f(х – Т).

Число  Т  називають періодом функції  у = f(х).

З цього визначення відразу випливає, що якщо  Т – період функції 

у = f(х), то 

2Т, 3Т, 4Т, –Т, –2Т, –3Т, –4Т

– також періоди функцій. Значить у періодичній функції нескінченно багато періодів.

Якщо  Т – період функції, то число виду  kТ, де  k – будь-яке ціле число, також є періодом функції.

Найчастіше (але не завжди) серед безлічі позитивних періодів функції можна знайти найменший. Його називають основним періодом.

Графік періодичної функції складається з необмежено повторюваних однакових фрагментів.

Графік кожної періодичної функції складається з однакових ліній, що повторюються, ізольованих одна від одної, як в розглянутому випадку, або з’єднаних в одну загальну лінію (синусоїда та інші).

Графіки періодичних функцій мають наступною особливістю. Якщо  Т – основний період функції  у = f (х), то для побудови її графіка досить побудувати гілку графіка на одному з проміжків осі  х  довжиною  Т, а потім здійснити паралельний перенос цієї гілки по осі  х  на

± Т, ± 2Т, ± 3Т, …

Найчастіше в якості такого проміжку довжиною  Т  вибирають проміжок з кінцями в точках

(–^Т/₂; 0)  і  (^Т/₂; 0)  або

(0; 0)  і  (Т; 0).

ПРИКЛАД:

Розглянемо функцію 

у = х – [х], де  [х] – ціла частина числа. Якщо до довільного значення аргументу цієї функції додати  1, то значення функції від цього не зміниться:

f(x + 1) = (x +1) – [x + 1] = x + 1 – [x] – 1 = x – [x] = f (x).

Отже, при будь-якому значенні  х

 f(x + 1) = f(x).  

А це означає, що розглядувана функція є періодичною, період її дорівнює  1. Будь-яке ціле число також є періодом даної функції, але звичайно розглядають лише найменший додатний період функції.

Графік цієї функції наведено на рисунку. Він складається з нескінченної множини рівних відрізків, що повторюються.

Періодичність тригонометричних функцій.

Візьмемо довільний кут  α  і побудуємо рухомий радіус  ОМ одиничному колі такий, що кут, складений з віссю  Ох  цим радіусом, дорівнює  α.

Якщо ми до кута додамо  2π  або  360°  (тобто повний оборот), то кутку  α + 2π  або  α + 360°  буде відповідати той же стан рухомого радіуса  ОМ, що для кута  α.

Так як синус і косинус кута, складеного з віссю  Ох  рухомим радіусом  ОМ  одиничному колі, по суті відповідно ордината  у  і абсциса  х  точки  М, то

sin (α + 2π) = sin α  або 

sin (α + 360°) = sin α  і

cos (α + 2π) = cos α  або 

cos (α + 360°) = cos α.

Таким чином, функції  sin α  і  cos α  від додавання до аргументу  α одного повного обороту (2π  або  360°) не змінюють своїх значень.

Точно так же, додаючи до кута  α  будь-яке ціле число повних обертів, ми не змінимо положення рухомого радіуса  ОМ, а тому:

sin (α + 2kπ) = sin α  або 

sin (α + 360°k) = sin α  і

cos (α + 2kπ) = cos α  або 

cos (α + 360°k) = cos α,

де  k – будь-яке ціле число.

Функції, що володіють такою властивістю, що їх значення не змінюються від додавання до будь-якого допустимого значення аргументу певного постійного числа, називаються періодичними.

Отже, функції  sin α  і  cos α – періодичні.

Найменша позитивне число, від додавання якого до будь-якого допустимого значення аргументу не змінюється значення функції, називається періодом функції.

Періодом функції  sin α  і  cos α  є  2π  або  360°.

Функції  tg α  і  сtg α  також періодичні та їх періодом є число  π  або 180°.

Справді, нехай  α – довільний кут, складений з віссю  Ох  рухомим радіусом  ОМ  одиничному колі.

Побудуємо точку  М',

симетричну точці  М  відносно початку координат. Один з кутів, утворених з віссю  Ох  рухомим радіусом  ОМ', буде дорівнює  

α + π.

Якщо  х  і  у – координати точки  М, то точки  М'  будуть  –х  і  –у. Тому

sin α = у, cos α = х,

sin (α + π) = –у,

cos (α + π) = –х.

Звідси, отже,

tg (α + π) = tg α,

сtg (α + π) = сtg α.

звідси

випливає, що значення  tg α  і  сtg α  не змінюються, якщо до кута  α  додати будь-яке число напів обертів:

tg (α + kπ) = tg α,

сtg (α + kπ) = сtg α.

де  k – будь-яке ціле число.

періоди функцій

y = A sin (ωx + φ)  і

y = A cos (ωx + φ) 

обчислюються за формулою

T = ^2π/_ω,

а період функції

y = A tg (ωx + φ)

за формулою

T = ^π/_ω.

Якщо період функції  y = f(x)  дорівнює  T₁, а період функції  y = g(x)  дорівнює  T₂, то період функцій

y = f(x) + g(x)  і

y = f(x) – g(x)

дорівнює найменшому числу, при розподілі якого на  T₁  і  T₂  виходять цілі числа.

ПРИКЛАД:

Знайти період функції

y = 3sin (x – 2) + 7 соs πx.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Період функції

y = 3sin (x – 2)

дорівнює 

T₁= ^2π/₁ = 2π.

Період функції

y = 7 соs πx

дорівнює 

T₂ = ^2π/_π = 2.

Періоду у функції

y = 3sin (x – 2) + 7соs πx

не існує, так як такого числа, при розподілі якого на  2π  і на  2  виходили б цілі числа, немає.

ВІДПОВІДЬ:

Періоду не існує.

ПРИКЛАД:

Довести наступне твердження:

tg 3850° = tg 250°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як тангенс – періодична функція з мінімальним періодом 

20 ∙ 180°, то отримаємо:

tg 3850° = tg (20 ∙ 180° + 250°) = tg 250°.

ПРИКЛАД:

Довести наступне твердження:

сos (–13π) = –1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як косинус – парна і періодична функція з мінімальним періодом   2π, то отримаємо:

сos (–13π) = сos 13π = сos (π + 6 ∙ 2π) = сos π = –1.

ПРИКЛАД:

Довести наступне твердження:

sin (–7210°) = – sin 10°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як синус - непарна і періодична функція з мінімальним періодом  20 ∙ 360°, то отримаємо:

sin (–7210°) = –sin 7210° = –sin (20 ∙ 360° + 10°) = – sin 10°.

ПРИКЛАД:

Знайти основний період функції

sin 7х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  Т  основний період функції, тоді:

sin 7х = sin 7(х + t) = sin (7х + 7t).

Так як  2πk  період синуса, то отримаємо:

sin (7х + 7t) = sin (7х + 2πk),

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Знайти основний період функції

соs 0,3х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  Т  основний період функції, тоді:

соs 0,3х = соs 0,3(х + t) = соs (0,3х + 0,3t)

так як  2πk  період косинуса, то отримаємо:

соs (0,3х + 0,3t) = соs (0,3х + 2πk),

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Знайти період функції:

y = 5sin 2x + 2ctg 3х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Період функції

y = 5sin 2x

дорівнює  

Т₁ = ^2𝜋/₂ = π,

а період функції

y = 2ctg 3х

дорівнює  

Т₂ = ^𝜋/₃.

Найменше число, при розподілі якого на

Т₁ = π  і  Т₂ = ^𝜋/₃

– виходять цілі числа, буде число  π. Отже, період заданої функції дорівнює  Т = π.

ПРИКЛАД:

Знайти період функції:

y = 9sin (5x + ^π/₃) – 4cоs (7х + 2).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаходимо періоди доданків. Період функції

y = 9sin (5x + ^π/₃)

дорівнює

Т₁ = ^2𝜋/₅,

а період функції

y = 4cоs (7х + 2)

дорівнює

Т₂ = ^2𝜋/₇.

Очевидно, що період заданої функції дорівнює

Т = 2π.

ПРИКЛАД:

Знайти період функції:

y = 3sin πx + 8tg (х + 5).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Період функції

y = 3sin πx

дорівнює

Т₁ = ^2π/_π = 2,

а період функції

y = 8tg (х + 5)

дорівнює

Т₂ = ^𝜋/₁ = π.

Періоду у заданій функції не існує, так як немає такого числа, при розподілі якого на  2  і на  π  одночасно виходили б цілі числа.

ПРИКЛАД:

Знайти період функції:

y = sin 3x + соs 5х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Період функції

y = sin 3x

дорівнює

Т₁ = ^2π/₃,

а період функції

y = соs 5х

дорівнює

Т₂ = ^2π/₅.

Наведемо до спільного знаменника періоди:

Т₁ = ^10π/₁₅,  

Т₂ = ^6π/₁₅.

Тоді найменше спільне кратне  (НОК)  буде:

НОК (10π; 6π) = 30π.

Тепер знайдемо період заданої функції:

Т = ^30π/₁₅ = 2π.

Завдання до уроку 5

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень