суббота, 18 сентября 2021 г.

Урок 7. Знаки тригонометричних функцій

ВІДЕО УРОК

Довжина радіуса-вектора

завжди число додатне. Проекції його на координатні осі – величини алгебраїчні і залежно від координатних чвертей мають такі знаки:

у  I  чверті    ах > 0;    ау > 0;

у  II  чверті    ах < 0;    ау > 0;

у  III  чверті    ах < 0;    ау < 0;

у  IV  чверті    ах > 0;    ау < 0.

Функція  sin α.

В силу того, що для тригонометричної функції sin α число  2π (або 360°) є періодом, досить дослідити знаки цієї функції на якомусь проміжку зміни  α  довжиною  2π, наприклад для значень α  від  0  до  2π;

0 ≤ α < 2π (0° ≤ α < 360°).

Якщо кут  α  укладений між  0  і  π (0°  і  180°), то ордината  у  кінця  М  рухомого радіуса  ОМ  одиничному колі позитивна, а отже, і синус кута  α, складеного з віссю  Ох  цим радіусом, позитивний. На кресленні
показано кілька положень рухомого радіуса:

ОМ1, ОМ2, … , ОМ5.

Якщо ж кут  α  укладений між  π  і  2π (180°  і  360°), то ордината  у  кінця  М  рухомого радіуса  ОМ  негативна,
а отже, і  sin α  на цьому проміжку негативний.

Тепер, користуючись рівністю

sin (α + 2kπ) = sin α,

отримуємо висновок про знак синуса для будь-яких значень  α:

1)  якщо  2kπ < α < π + 2kπ, то

sin α ˃ 0,

2)  якщо  π + 2kπ < α < 2π + 2kπ, то

sin α < 0.

Відповідно тригонометрична функція має знаки, зазначені на малюнку.
ПРИКЛАД:

Визначте знак тригонометричної функції:

sin 3π/4.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

sin 3π/4. = sin (3 ∙ 180°/4) = sin 135°.

Оскільки

135° ∈ [90°, 180°],

Це кут з  II  координатної чверті.
Синус в  II  чверті позитивний, тому

sin 3π/4 ˃ 0.

Функція  cos α.

Досліджуємо знаки  cos α  також на проміжку зміни α  від  0  до  2π (від  0°  до  360°).

Якщо кут  α  укладений між  0  і  π/2 (0°  і  90°), то абсциса  х  кінця  М  рухомого радіуса  ОМ  одиничному колі позитивна,
а отже, і косинус кута  α, складеного з віссю  Ох  цим радіусом  ОМ, – позитивний.
 Якщо кут  α  укладений між  π/2  і  3π/2 (90°  і  270°), то абсциса точки  М  негативна, а отже, і  cos α – негативний.
Якщо ж кут  α  укладений між  3π/2  і  2π (270°  і  360°), то як видно з креслення
cos α – позитивний.

Користуючись рівністю

cos (α + 2kπ) = cos α,

отримуємо

1)  якщо  2kπ ≤ α < π/2 + 2kπ, то

cos α ˃ 0,

2)  якщо  π/2 + 2kπ < α < 3π/2 + 2kπ, то

cos α < 0,

3)  якщо  3π/2 + 2kπ < α < 2π + 2kπ, то

cos α ˃ 0.

Відповідно тригонометрична функція має знаки, зазначені на малюнку.
ПРИКЛАД:

Визначте знак тригонометричної функції:

cos 7π/6.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

cos 7π/6. = cos (7 ∙ 180°/6) = cos 210°.

оскільки

210° ∈ [180°, 270°],

це кут з  III  координатної чверті.
Косинус  в  III  чверті негативний, тому

cos 7π/6 < 0.

Функція  tg α.

Так як періодом функцій  tg α  і  сtg α  є  π (або  180°), досліджуємо знаки  tg α  і  сtg α  при зміні  α  від  0  до  π (від  0°  до  180°). Якщо кут закінчується в  I  чверті (0 < α < π/2  або  0° < α < 90°), то продовження рухомого радіуса  ОМ  одиничному колі, що утворює з віссю  Ох  кут  α, перетне вісь тангенсів в точці  Т,
ордината якій позитивна. Це означає, що тангенси кутів, що закінчуються в  I  чверті – позитивні.
 Якщо ж кут  α  закінчується в  II  чверті (π/2 < α < π  або  90° < α < 180°), то продовження рухомого радіуса  ОМ  одиничному колі, що утворює з віссю  Ох  кут  α, перетне вісь тангенсів в точці  Т,
ордината якої негативна. Отже, тангенси кутів, що закінчуються в  II чверті, негативні.

В силу періодичності функції  tg α  маємо, що тангенси кутів, що закінчуються в  III  чверті, позитивні, а в  IV  чверті – негативні.

І взагалі, так як

tg (α + kπ) = tg α,

маємо:

1)  якщо  kπ < α < kπ + π/2, то

tg α ˃ 0,

2)  якщо  kπ + π/2 < α < kπ + π, то

tg α < 0.

де  k – будь-яке ціле число.

Відповідно тригонометрична функція  tg α  має знаки, зазначені на малюнку.
ПРИКЛАД:

З’ясувати, який знак має вираз:

tg 2.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Оскільки  π/2 < 2 < π, то кут  2 рад  є кутом  II  чверті, тому

tg 2 < 0.

ВІДПОВІДЬ:

Знак  –

Функція  сtg α.

Аналогічно приходимо до висновку:

якщо  0 < α < π/2, то

сtg α ˃ 0,
якщо  π/2 < α < π, то
 сtg α < 0,
якщо  π < α < 3π/2, то

сtg α ˃ 0,

якщо  3π/2 < α < 2π , то

сtg α < 0.

И взагалі:

1)  якщо  kπ < α < π/2 + kπ,  то

сtg α ˃ 0,

2)  якщо  kπ + π/2 < α < kπ + π, то

сtg α < 0.

де  k – будь-яке ціле число.

Відповідно тригонометрична функція  сtg α  має знаки, зазначені на малюнку.
ПРИКЛАД:

Визначте знак тригонометричної функції:

сtg 5π/3.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

сtg 5π/3 = сtg (5 ∙ 180°/3) = сtg 300°.

Оскільки

300° ∈ [270°, 360°],

це кут з  IV  координатної чверті.
Котангенс  в  IV  чверті негативний, тому

сtg 5π/3 < 0.

ПРИКЛАД:

Визначте знак вираження:

sin 3π/4 ∙ cos 5π/6.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

sin 3π/4 ∙ cos 5π/6 =

sin (3 ∙ 180°/4) ∙ cos (5 ∙ 180°/6) =

sin 135° ∙ cos 150°.

Розберемося с синусом. Так як 

135° ∈ [90°, 180°],

це кут з  II  координатної чверті.
Синус в  II  чверті позитивний, тому

sin 3π/4 ˃ 0.

Розберемося с косинусом. Так як 

150° ∈ [90°, 180°],

це кут з  II  координатної чверті.
Косинус в  II  чверті негативний, тому

cos 5π/6 < 0.

Отримали добуток, в якому множники різних знаків.

Користуючись правилом

<< плюс на мінус дає знак мінус >>,

отримуємо

sin 3π/4 ∙ cos 5π/6 < 0.

ПРИКЛАД:

Визначте знак вираження:

cos 2π/3 ∙ tg π/4.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

cos 2π/3 ∙ tg π/4 =

cos (2 ∙ 180°/3) ∙ tg (180°/4) =

cos 120° ∙ tg 45°.

Розберемося з косинусом. Так як 

120° ∈ [90°, 180°],

це кут з  II  координатної чверті.
Косинус в  II  чверті негативний, тому

cos 2π/3 < 0.

Розберемося з тангенсом. Так як 

45° ∈ [0°, 90°],

це кут з  I  координатної чверті.
Тангенс в  I  чверті позитивний, тому

tg π/4 ˃ 0.

Отримали добуток, в якому множники різних знаків. Користуючись правилом

<< мінус на плюс дає мінус >>,

отримуємо

cos 2π/3 ∙ tg π/4 < 0.

ПРИКЛАД:

Визначте знак вираження:

sin 5π/6 ∙ cos 7π/4.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

sin 5π/6 ∙ cos 7π/4 =

sin (5 ∙ 180°/6) ∙ cos (7 ∙ 180°/4) =

sin 150° ∙ cos 315°.

Розберемося з синусом. Так як 

150° ∈ [90°, 180°],

це кут з  II  координатної чверті.
Синус в  II  чверті позитивний, тому

sin 5π/6 ˃ 0.

Розберемося з косинусом. Так як 

315° ∈ [270°, 360°],

це кут з  IV  координатної чверті.
Косинус в  IV  чверті позитивний, тому

cos 5π/6 < 0.

Отримали добуток, в якому множники одного знака.

Користуючись правилом

<< плюс на плюс дає знак плюс >>,

отримуємо

sin 5π/6 ∙ cos 7π/4  ˃ 0.

ПРИКЛАД:

Визначте знак вираження:

tg 3π/4 ∙ cos 5π/3.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

tg 3π/4 ∙ cos 5π/3 =

tg (3 ∙ 180°/4) ∙ cos (5 ∙ 180°/3) =

tg 135° ∙ cos 300°.

Розберемося з тангенсом. Так як 

135° ∈ [90°, 180°],

це кут з  II  координатної чверті.
Тангенс в  II  чверті негативний, поетом

tg 3π/4 < 0.

Розберемося з косинусом. Так як 

300° ∈ [270°, 360°],

це кут з  IV  координатної чверті.
Косинус в  IV  чверті позитивний, тому

cos 5π/3 ˃ 0.

Отримали добуток, в якому множники різних знаків. Користуючись правилом

<< мінус на плюс дає мінус >>,

отримуємо

tg 3π/4 ∙ cos 5π/3 < 0.

ПРИКЛАД:

Визначте знак вираження:

сtg 4π/3 ∙ tg π/6.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

сtg 4π/3 ∙ tg π/6 =

сtg (4 ∙ 180°/3) ∙ tg (180°/6) =

сtg 240° ∙ tg 30°.

Розберемося з котангенсом. Так як 

240° ∈ [180°, 270°],

це кут з  III  координатної чверті.
Котангенс в  III  чверті позитивний, тому

сtg 4π/3 ˃ 0.

Розберемося з тангенсом. Так як 

30° ∈ [0°, 90°],

це кут з  I  координатної чверті.
Тангенс в  I  чверті позитивний, тому

tg π/6 ˃ 0.

Отримали добуток, в якому множники однакових знаків. Користуючись правилом

<< плюс на плюс дає плюс >>,

отримуємо

сtg 4π/3 ∙ tg π/6  ˃ 0.

ПРИКЛАД:

Визначте знак вираження:

cos 123° × tg 231° × sin 312°.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Оскільки 

123° – кут  II  чверті,

231° – кут  III  чверті,

312° – кут  IV  чверті, то 

cos 123° < 0, tg 231° ˃ 0, sin 312° < 0 

і їх добуток є величиною додатною, тобто

cos 123° × tg 231° × sin 312°

ВІДПОВІДЬ:

Знак  +

Завдання до уроку 7

Інші уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)