Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин

воскресенье, 22 августа 2021 г.

Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин

ВІДЕО УРОК

Крім градусної міри кутів існує так звана радіанна міра. Цей захід широко використовується в тригонометрії, в математичному аналізі і в його додатках.

Розглянемо довільний позитивний кут α. Візьмемо на стороні ОА цього кута

довільну точку М, що не збігається з вершиною О кута. нехай

– шлях, який пройде точка М, якщо провести вказаний поворот α від ОА до ОВ.
Радіанної мірою кута α називається відношення цього шляху до радіусу ОМ. Радіан міру кута домовимося позначати тієї ж буквою, що і сам кут:

Якщо α – негативний кут,

то радіанної мірою назвемо негативне число:

Радіанна міра кута визначається тільки кутом.

Одиницею при радіанним виміром кутів служить радіан.

Радіаном називається центральний кут, що спирається на дугу окружності, довжина якої дорівнює довжині радіуса тієї ж кола.
У основі визначення радіану – все одно коло. Кут в 1 радіан, це кут, який вирізує з кола дугу, довжина якої (L) дорівнює довжині радіусу (R).

Співвідношення між радіаном і градусом.

Цей малюсінький кут має величину 1 градус:
Один радіан багато більше одного градуса. А в скільки разів ?

Дивимося наступну картинку. Розгорнутий кут розміром в 180°.

А тепер наріжемо це півколо радіанами.

Бачимо, що в 180° укладається 3 з хвостиком радіану. Цей хвостик – 0,1415926....

Дійсно, в 180° укладається 3,1415926... радіан. Увесь час писати 3,1415926... незручно. Тому замість цього нескінченного числа завжди пишуть просто:

Ось тепер можна записати наближену рівність:

Або точна рівність:

Визначимо, скільки градусів в одному радіані. Якщо в 3,14 радіанах 180° градусів, то в 1 радіані в 3,14 рази менше! Тобто, ми ділимо перше рівняння (формула – це теж рівняння!) на 3,14:

У одному радіані приблизно 60°.

Людина бачить "Пі" і вважає, що це 180°. Але "Пі" – це число! Число 3,14, а ніякі не градуси! Це "Пі" радіан = 180° !

Ще раз: "Пі" – це число! 3,14. Ірраціональне, але число. Таке ж, як 5 або 8. Можна, приміром, зробити приблизно "Пі" кроків. Три кроки і ще трішки. Або купити "Пі" кілограмів цукерок. Якщо продавець утворений попадеться...

Переклад градусів в радіани і назад.

Якщо кут заданий в радіанах з числом "Пі", все дуже просто. Ми знаємо, що

"Пі" радіан = 180°.

Ось і підставляємо замість "Пі" радіан – 180°. Отримуємо кут в градусах. Скорочуємо, що скорочується, і відповідь готова.

ПРИКЛАД:

Треба з'ясувати, скільки градусів у вугіллі "Пі"/2 радіан.

Або:

Зворотний переклад трохи складніший. Якщо кут дан в градусах, ми повинні знати, чому дорівнює один градус в радіанах, і помножити це число на кількість градусів.

ПРИКЛАД:

Чому дорівнює 1° в радіанах ?

Дивимося на формулу і бачимо, що якщо 180° = "Пі" радіан, то 1° в 180 разів менше. Або, іншими словами, ділимо рівняння (формула – це теж рівняння!) на 180:

Множимо число градусів на це значення і отримуємо кут в радіанах.
Або, аналогічно:

Щоб знайти міру радіану будь-якого кута по його цій градусній мірі, потрібно помножити число градусів на
число хвилин – на
число секунд – на
і скласти знайдені числа.

ПРИКЛАД:

Висловити в радіанах кут, рівний 22°30'.

ПРИКЛАД:

Знайти міру радіану кута 12°30' з точністю до четвертого десяткового знаку

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Помножимо 12 на 0,017453 отримаємо ≈ 0,2094.

Помножимо 30 на 0,000291 отримаємо ≈ 0,00873.

12°30' ≈ 0,2094 + 0,00873 ≈ 0,2181 рад.

Щоб знайти градусну міру будь-якого кута по його цій мірі радіану, потрібно помножити число радіан на
(відносна погрішність результату складе 0,0004%, що складає абсолютній погрішності 5'' для повного оберту 360°).

ПРИКЛАД:

Знайти в градусах кут, рівний ^𝜋/₁₂ радіанові.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Маємо:

ПРИКЛАД:

Знайти градусну міру кута 1,4 рад з точністю до 1'.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Послідовно знайдемо

1 рад ≈ 57°17'45'',

0,4 рад ≈ 0,4×57°.296 = 22°.9184,

0°.9184×60 ≈ 55'.104,

0'.104×60 ≈ 6''.

Таким чином

0,4 рад ≈ 22°55'6''.

І тоді:

1 рад ≈ 57°17'45'' + 0,4 рад ≈ 22°55'6''

= 1,4 рад ≈ 80°12'51''.

Після округлення цього результату до необхідної точності в 1' остаточно отримаємо

1,4 рад ≈ 80°13'.

В позначенні заходи кута в радіанах майже завжди опускають слово << радіан >>. Таким чином, записи

α = 2, α = ¹/₂, α = ⁷/₉

треба розуміти як

α = 2 радіана,

α = ¹/₂ радіана,

α = ⁷/₉ радіана.

ПРИКЛАД:

Висловити в градусах кут α, що дорівнює 2.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Маємо:

α ≈ 57°3 ∙ 2 ≈ 114°6.

Широко поширене угоду, за якою під словом << кут >> увазі не кут як геометричний образ, а число, що вимірює його в радіанах або градусах.

ПРИКЛАД:

Кут ^π/₂, кут 36°, кут 1.

Зокрема, в виразах типу << кут повороту >> під словом << кут >> розуміється зазвичай міра кута.

Таблиця співвідношень між градусними і радіанними виразами деяких кутів.

Для полегшення обчислювальної роботи при переході від градусної міри кута до радіанної і назад користуються спеціальними таблицями.

Відзначимо, що радіанна міра одного повного обороту

дорівнює:

Якщо кути виміряні в градусах, то один повний позитивний оборот буде дорівнює 360°. Звідси випливають такі співвідношення:

360° = 2π (≈ 6,2832) радіанів,

270° = ³^𝜋/₂ (≈ 4,7124) радіанів,

180° = π (≈ 3,1416) радіанів,

90° = ^𝜋/₂ (≈ 1,5708) радіанів,

60° = ^𝜋/₃ (≈ 1,0472) радіанів,

45° = ^𝜋/₄ (≈ 0,7854) радіанів,

30° = ^𝜋/₆ (≈ 0,5236) радіанів.

ТАБЛИЦЯ ГРАДУСІВ І РАДІАН

Як користуватися таблицями Брадіса?

У книзі В. Брадіса << Чотиризначні математичні таблиці >> під номером XVI поміщена таблиця, яка озаглавлена << Радіанна міра >>.

Позначка в дужках розшифровується так: дуга, яка містить A°, дорівнює

радіанів.
У лівому стовпчику таблиці під літерою А дані числа градусів, що містяться у вугіллі, а у верхній і найнижчій рядках – числа хвилин, кратних 6.

Покажемо на прикладах як користуватися цією таблицею.

ПРИКЛАД:

Кут 71°24' перевести в радіани.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

На перетині рядка, що починається з 71°, і стовпчика, поміщеного вгорі 24', читаємо:

1,2462

(число цілих вказується в таблиці на початку рядка і далі даються тільки десяткові знаки).

При перекладі в радіани кута з будь-яким числом хвилин, не кратним 6, користуються відповідними поправками, які поміщені в останніх трьох шпальтах під числами хвилин:

1', 2', 3'.

ПРИКЛАД:

Кут 23°20' перевести в радіани.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Маємо:

Даний кут 23°20' дорівнює 0,4073 радіана.
ПРИКЛАД:

Знайти градусне вираз кута, що містить 1,0862 радіана.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Маємо з таблиці:

Даний кут дорівнює 62°14'.
Десь в Стародавньому Єгипті мучилися іншим питанням. У скільки разів довжина кола більше довжини її діаметру? І так вимірювали, і отак... Все виходило трохи більше трьох. Поки остаточно не довели, що як би дрібно не нарізувати коло на рівні шматочки, з таких шматочків скласти рівно довжину діаметру не можна... В принципі не можна. Ну, в скільки разів коло більше діаметру встановило. Приблизно. У 3,1415926... раз.

Це і є число "Пі". Після коми – нескінченне число цифр без жодного порядку... Такі числа називаються ірраціональними. Це і означає, що з рівних шматочків кола діаметр рівно не скласти. Ніколи.

Для практичного застосування прийнято запам'ятовувати всього дві цифри після коми:

π ≈ 3,14.

Оскільки довжина кола більше діаметру в "Пі" разів, має сенс запам'ятати формулу довжини кола:

L = π d

де L – довжина кола, а d – її діаметр.

При радіанному вимірюванні кутів помітно спрощується ряд формул. Так, для кола радіуса r довжину l його дуги α радіан можна знайти за формулою

l = αr,

площу S сектора круга радіусом r, дуга якого містить α радіан, обчислимо за формулою

Ці формули простіші за аналогічні формули

Для обчислення дуги кола і площі сектора, дуги яких (величиною n°) виміряні за допомогою градусної міри. Ці особливості радіанної міри привели до того, що в тригонометрії віддають перевагу радіанної, а не градусній мірі.

Завдання до уроку 2

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 22 августа 2021 г.