Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії

четверг, 16 декабря 2021 г.

Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії

ВІДЕО УРОК

Застосування тригонометрії до вимірювань на місцевості та вирішення практичних завдань.

За допомогою тригонометрії вирішується багато вимірювальних завдань на місцевості, як, наприклад, обчислення відстані між різними пунктами земної поверхні (якщо ця відстань не можна виміряти безпосередньо), обчислення висоти даного предмета (гори, будівлі), складання планів і карт і так далі. Припускаємо, що виміри виробляються малому ділянці, отже можна вважати його пласким і враховувати кривизни земної поверхні.

Вимірювання невеликих відстаней проводиться безпосередньо за допомогою, наприклад, сталевих стрічок (рулеток).

Вимірювання кутів біля проводиться за допомогою кутомірних інструментів. Найбільш поширеним сучасним кутомірним інструментом є теодоліт.

Зорова труба теодоліту може обертатися як у горизонтальній, так і вертикальній площині. Якщо вісь зорової труби, що знаходиться в горизонтальному положенні в пункті С земної поверхні, спрямувати спочатку в пункт А, а потім в пункт В, то кут її повороту є кут С трикутника АВС.

Під цим кутом із пункту С видно відстань АВ. За допомогою повороту зорової труби можна виміряти кути і у вертикальній площині.

Кути повороту зорової труби можна вимірювати з великою точністю за допомогою поділів на горизонтальному та вертикальному колах та мікрометричних гвинтів.
За відсутності теодоліту користуються (наприклад, у навчальних цілях) простішими приладами. Один із таких приладів – астролябія.

Основні частини астролябії такі: коло, поділений на градуси (лімб), та лінійка (алідада), яка може обертатися навколо центру кола. Для наведення лінійки на цей пункт служать прикріплені до кінців вертикальні пластинки з вузькими поздовжніми прорізами.

Розглянемо кілька найпростіших завдань на обчислення відстаней та висот.

ЗАДАЧА:

Знайти відстань від доступної точки А до недоступної точки видимої з точки А. Точки А і В лежать в одній і тій же горизонтальній площині.

Точка А вважається доступною, якщо в ній може бути спостерігач з вимірювальними інструментами. Точка В вважається недоступною, якщо відстань АВ не може бути виміряна безпосередньо. Наприклад, є перешкода: річка, яр тощо.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виберемо поблизу точки А доступну точку С, з якої видно точку В. Виміряємо безпосередньо відрізок-базис АС = b і кути А і С. Сторону х = с трикутника АВС знайдемо за теоремою синусів:

звідки
ЗАДАЧА:

Обчислити відстань між двома недоступними точками А та В, видимими з доступної місцевості.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Виберемо у доступній місцевості відрізок-базис. Виміряємо базис та кути

α = ∠ AMN, β = ∠ BMN,

γ = ∠ ANM, δ = ∠ BNM

між базисом та напрямками з його кінців А та В. Обчислимо відстані МА та МВ:

Знаючи дві сторони трикутника АМВ та кут α – β між ними, можна обчислити третю сторону, наприклад, за теоремою косинусів:

ЗАДАЧА:

Обчислити висоту вертикального предмета, основа якого недоступна.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Припустимо, можна вибрати горизонтальний базис АВ = b, з кінців якого видно вершина S вимірюваної висоти. Нехай h – висота кутомірного інструменту. Вимірявши кути α та β трикутника SA₁B₁ знайдемо (за теоремою синусів):

звідки
і, нарешті,

ЗАДАЧА:

Визначити висоту Московського університету, найвищої університетської будови у світі, якщо базис b = 137 м та кут зору

A = 60°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З прямокутного трикутника АВС за відомим катетом b та кутом А знаходимо катет а:

a = b tg A = b√͞͞͞͞͞3 ≈ 273 (м).

До отриманого результату додаємо величину зростання спостерігача.

ВІДПОВІДЬ: ≈ 273 (м)

ЗАДАЧА:

Трос ВС,

що зміцнює щоглу АВ, нахилений до горизонту під кутом α = 74°20' (∠ ВСА = α). Визначити довжину троса, якщо його нижній кінець С віддалений від основи щогли А на 7,5 м.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З прямокутного трикутника АВС маємо:

або
ВІДПОВІДЬ: ≈ 27,8 м

ЗАДАЧА:

На матеріальну частину діють дві взаємно перпендикулярні сили

F₁ = 48 кг,

F₂ = 54,3 кг.

Обчислити рівнодійну цих сил і кути, що утворюються кожною з них з рівнодійною.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Шукана рівнодійна сила

або
Кут α, складений силою F₁ з рівно дією F, знаходимо із співвідношення:

α ≈ 48°31'.

Кут β, складений силою F₂ з рівно дією F, знаходимо із співвідношення:

β ≈ 90° – 48°31' ≈ 41°29'.

ВІДПОВІДЬ:

α ≈ 48°31', β ≈ 41°29'.

ЗАДАЧА:

Висота АВ арки моста, що має форму дуги кола,

дорівнює 24 м, а проліт його CD дорівнює 82 м. Визначити радіус дуги і число градусів і хвилин, що містяться в цій дузі.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

BA ⊥ CD,

CA = AD.

Продовження ВА проходить через центр О коло.

ВЕ = 2r – діаметр кола.

Відрізки хорди СD та діаметра ВЕ, що перетинаються в точці А, пов'язані залежністю:

DA ∙ AE = AC²,

або

24(2r – 24) = 41².

Звідси знаходимо r:

З трикутника ОАD знаходимо кут АОD = α:

Шукана дуга містить:

2 ∙ 60°43' = 121°26'.

Обчислення довжини передавального ременя.

Пряма передача.

Довжина L ременя складається з великої дуги АВС і малої А₁В₁С₁, якими він облягає шківи, і двох рівних між собою дотичних АА₁ і СС₁.

Довжина дуги АВС дорівнює πR + 2Rα.

Довжина дуги А₁В₁С₁ дорівнює πr – 2rα,

де α – радіанна міра кутів

КОА, K₁O₁A₁, NOC,

N₁O₁С₁ і MO₁O₁,

рівних між собою.

З прямокутного трикутника

AO₁M (O₁M ∥ A₁A; O₁M ⊥ OA)

маємо:

MO₁ = OO₁ cos α = a cos α,

де a = OO₁.

Отже, довжина дотичної

AA₁ = a cos α.

Після цього маємо:

L = πR + 2Rα + πr – 2rα + 2a cos α,

або

L = π(R + r) + 2α(R – r) + 2a cos α.

Кут α обчислюється з рівності

Наближена формула, за якою практично обчислюється довжина ременя, така:

Покажемо на прикладі, наскільки близькі результати обчислення довжини ременя за точними і наближеними формулами.

ПРИКЛАД:

Обчислити довжину передавального ременя, якщо:

R = 275 мм, r = 175 мм, a = 5 м.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За точною формулою цих даних маємо;

L = π(275 + 175) + 2α(275 – 175) + 2 ∙ 5000 ∙ cos α =

= 450π + 200α + 10000 cos α.

Користуючись співвідношенням:

знаходимо sin α, а потім (по таблиці) та кут α:

α = 1°9'.

Тоді

cos α = cos 1°9' ≈ 0,998.

Радіанна міра кута α з точністю до 0,0001 через малості кута виразиться тим самим числом, що й sin α, тобто α = 0,0200. Остаточно маємо:

L = 450 ∙ 3,14 + 200 ∙ 0,0200 + 10 000 ∙ 0,9998 = 11 415 мм.

За наближеною формулою довжина ременя виразиться так:

Вийшов повний збіг результатів.

Перехресна передача.

В даному випадку довжина L ременя складається з великої дуги АВС і малої дуги А₁В₁С₁, якими він облягає шківи, і двох однакової довжини дотичних АС₁ і А₁С. Маємо:

L = АВС + А₁В₁С₁ + 2АС₁.

Довжина дуги АВС дорівнює

(π + 2α) R (∠ ЕОА = ∠ Е₁О₁А₁ = α).

Довжина дуги А₁В₁С₁ дорівнює

(π + 2α) r.

Для визначення довжини АС₁ проводимо О₁ пряму, паралельну АС₁, до перетину з продовженням радіуса ОА. Отримаємо відрізок

О₁D = АС₁

∠ OО₁D = ∠ AOE

як кути із взаємно перпендикулярними сторонами, отже,

∠ OО₁D = α,

і тоді

АС₁ = О₁D = ОО₁ cos ∠ OО₁D = а cos α

L = (π + 2α) R + (π + 2α) r + 2а cos α.

З прямокутного трикутника OО₁D маємо:

звідки ми знаходимо α.
Наближена формула для обчислення довжини ременя у разі перехресної передачі виражається так:

Гвинтова лінія.

На поверхню циліндра з діаметром основи d навертається прямокутний трикутник АВС так, що катет АС трикутника навертається на коло основи циліндра.

Гіпотенуза при такому накручуванні трикутника на поверхню циліндра звернеться в шматок кривої лінії і до того ж просторової, тому що точки її не лежать в одній площині, ця крива називається гвинтовою лінією (вона може бути продовжена за допомогою накручування на циліндр нових трикутників, рівних даному). Частина гвинтової лінії між двома послідовними точками перетину з однією і тією ж твірною циліндра називається витком, а відрізок, який висікається на твірної циліндра, двома послідовними точками перетину цієї твірної з гвинтовою лінією, називається висотою або кроком, гвинта. Кут під яким гвинтова лінія перетинає утворюють циліндра, на якому вона розташована, називається кутом підйому гвинта.

Маємо:

πd – довжина кола основи циліндра,

ВС = h – крок гвинта,

∠ ВАС = α – кут підйому гвинта.

Конусність.

При обточуванні деталі на конус для належної установки різця на верстаті треба знати конусність К цієї деталі, яка виражається так:

Знаходження радіусу повороту трамвая, при заданій відстані від кінця тротуару до кінцевої точки радіусу.

Вулиця робить поворот на кут β. Рейковий шлях трамвая на повороті є дугою кола АСВ, причому

АС = СВ.

Відстань від точки А рейки до краю тротуару АА' = d, так само ВВ' = d. Якщо точка С рейки відстоїть від вершини кута тротуару С' на d', то радіус r кола, що проходить через точки А, С і В виражається наступним чином:

Завдання до уроку 18

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 16 декабря 2021 г.