Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 30 сентября 2021 г.

Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції

ВІДЕО УРОК

Зміна тригонометричних функцій зі зміною кута від  0°  до  90°.

Розглянемо коло довільного радіуса з центром в точці  А.
Нехай радіус  АВ  становить з радіусом  АD  гострий кут  α:

DАВ = α.

Опустимо з точки  В  перпендикуляр  ВС  на  АD. З прямокутного трикутника  АВС  маємо:
Будемо обертати радіус  АВ  навколо центру  А  так, щоб кут змінювався від  0°  до  90°. На кресленні зафіксовано кілька положень рухомого радіуса:

АВ1, АВ2, АВ3, …

Побудуємо відповідні цим положенням радіусу прямокутні трикутники:

АВ1С1, ∆ АВ2С2, ∆ АВ3С3 ...

Гіпотенузи всіх цих трикутників, незалежно від величини кута  α, рівні радіусу взятої окружності, катети ж зі зростанням кута  α  будуть змінюватися. Катет, протилежні кутку  α, буде збільшуватися зі зростанням кута  α, а катет прилегла, – зменшуватися. Звідси робимо висновок, що синус гострого кута  α  зі зростанням кута  α  від  0°  до  90°  зростає, а косинус – убуває.

Щоб простежити за зміною тангенса гострого кута, візьмемо прямокутний трикутник  АВС
з гострим кутом  α.

Нехай катет  АС  залишається незмінним, а кут  α  збільшується від  0°  до  90°. При зростанні кута  α  протилежні йому катет збільшується

(АВ1 < АВ2 < АВ < АВ3 …),

отже, зростає і  tg α  так як катет  АС  залишається без зміни.

Значення функції  сtg α  є числами зворотними по відношенню до відповідних значень функції  tg α, і так як останній зі зростанням кута  α  від  0°  до  90°  зростає, то, отже, функція  сtg α  зі зростанням гострого кута зменшується.

Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції за допомогою гострого кута.

З визначення  sin α  і  cos α  слід, що синус і косинус гострого кута  α – позитивні числа, менші одиниці.

0 < sin α < 1, 

0 < cos α < 1,

де  α – гострий кут.

Яке б не було позитивне число  у, менше одиниці, існує, і до того ж тільки один, гострий кут  α, синус якого дорівнює  у:

sin α = у.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут  α, синус якого дорівнює  3/4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На довільній прямій відкладемо відрізок  DЕ = 3.
Через точку  Е  проводимо пряму  ЕF   DЕ. Побудуємо коло радіуса  4  з центром в точці  D.
Нехай  К – точка перетину цієї окружності з прямою  ЕF. Тоді кут  ЕКD – шуканий кут  α, так як синус його дорівнює
Яке б не було позитивне число  x, менше одиниці, існує, і до того ж тільки один, гострий кут  α, косинус якого дорівнює  х:

соs α = х.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут  α, косинус якого дорівнює  2/5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На довільній прямій відкладемо відрізок  ВС = 2.
Через точку  С  проводимо пряму  СМ   ВС. Побудуємо коло радіуса  5  з центром в точці  В.
Нехай  А – точка перетину цієї окружності з прямою  СМ. Тоді косинус кута  АВС  дорівнює
Отже, кут  АВС – шуканий кут  α.

Яке б не було позитивне число  р, існує, і до того ж тільки один, гострий кут  α, тангенс якого дорівнює  р:

tg α = р.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут α, тангенс якого дорівнює  2/3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На одній стороні прямого кута  МОN,
наприклад на  ОМ, відкладаємо від вершини Про відрізок  ОА = 3, а на іншій стороні – відрізок  ОВ = 2. З'єднуємо точки  А  і  В. Тангенс кута  ОАВ  дорівнює  2/3, отже кут  ОАВ = α.

Яке б не було позитивне число  q, існує, і до того ж тільки один, гострий кут  α, котангенс якого дорівнює  q:

ctg α = q.

ПРИКЛАД:

Побудувати кут  α, котангенс якого дорівнює  3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На сторонах прямого кута  LKM,
відкладаємо відрізки  КА  і  КС, з яких, наприклад, перший (КА) в три рази більше другого (КС). З'єднуємо точки  А  і  С. Котангенс кута  КАС  дорівнює  3, отже кут  КАС = α.

Вираз тригонометричних функцій через одну з них за допомогою гострого кута.

ПРИКЛАД:

Знайдемо значення синуса, косинуса, тангенса й котангенс кута 

2π/3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точки
неважко знайти, скориставшись властивістю прямокутного трикутника з кутом  30°.
Тому
Аналогічно знаходять значення синуса, косинуса, тангенса й котангенса кутів, зазначених у верхньому рядку такої таблиці:

Значення синуса, косинуса, тангенса та котангенса деяких кутів.
Покажемо на прикладі, як знаходяться наближені чисельні значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс для якого-небудь кута.

ПРИКЛАД:

Знайдіть синус, косинус, тангенс і котангенс кута  48°

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Побудуємо за допомогою лінійки і транспортира кут  α, що дорівнює  48°. На одній стороні цього кута від його вершини  А
відкладемо відрізок  АВ, що дорівнює, наприклад, 67 мм. З точки  В на іншу сторону кута α опустимо перпендикуляр  ВС. Ми отримали прямокутний трикутник  АВС, у якого  ВАС = 48°. Вимірявши катети  ВС  і  АС, знайдемо:

ВС ≈ 49 мм,

АС ≈ 45 мм.

тоді маємо:

sin 48° 49/67 0,73,

cos 48° 45/67 0,67,

tg 48° 49/45 1,09,

ctg 48° 45/49 0,92.

Таким же шляхом можна знайти наближені значення синуса, косинуса, тангенса і котангенс будь-якого гострого кута.

При цьому ступінь наближення буде залежати тільки від точності наших вимірів.

Побудова кута за данім значення його тригонометричної функції за допомогою одиничної окружності.

ЗАДАЧА:

Побудувати кут (дугу)  α, синус якого дорівнює  m.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Розглянемо три випадки.

Нехай  |m| < 1.

В координатній площині  хОу  будуємо одиничне коло. На осі ординат знаходимо точку, що відповідає числу  m. Через цю точку проводимо пряму, паралельну до осі абсцис, і точки перетину її з одиничним колом позначимо через  А  і  В.
З’єднавши точки  А  і  В  з початком координат, одержуємо кути  АОх  і  ВОх, синуси яких дорівнюють  m. Ці кути визначаються не однозначно. Позначимо найменший додатний  АОх, що визначається кінцевою стороною  АО, через  а1, а найменший додатний  ВОх, що визначається кінцевою стороною  ОВ, через  а2. Тоді шуканий кут  α  визначається за рівностями

α = α1 + 2πn  і   α = α2 + 2πn

де  n = 0;  ±1;  ±2;

Нехай  |m| = 1.

Тобто  m = ±1, то прямі, проведені через точки  (0; 1)  і  (0; –1)  перпендикулярно до осі ординат, дотикатимуться до одиничного кола в точках, що відповідають найменшим додатним кутам
а шуканий кут  α  визначається за формулами
де  n = 0;  ±1;  ±2;

Нехай  |m| ˃ 1.

То пряма, проведена перпендикулярно до осі ординат через точку  (0; m), не перетинає одиничного кола.
У цьому випадку задача розв’язків не має.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути  α, для яких  соs α = 3/4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На позитивній осі  Ох  відкладаємо від точки Про відрізок, рівний  3/4  радіуса одиничному колі.
Для цього ділимо радіус  ОЕ1  на чотири рівні частини і відкладаємо на ньому від центру відрізок  ОР, рівний трьом таким частинам. Відновимо в точці  Р  перпендикуляр до осі  Ох  до перетину його з одиничною окружністю в точках  М  і  М'. Шукані кути – це кути, складені з віссю  Ох  будь-яким з побудованих рухомих радіусів  ОМ  або  ОМ'. На кресленні зазначено лише два кути, косинус кожного з яких дорівнює  3/4.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути  α, для яких  соs α =3/4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відрізок, що дорівнює  3/4  радіуса одиничному колі, відкладаємо від точки  О  на негативній півосі  Ох, а далі робимо, як в попередньому прикладі. На кресленні
відзначені лише два кути, косинус кожного з яких дорівнює  3/4.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути  α, для яких  sin α =3/5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Введемо на площині прямокутну систему координат.
Ділимо радіус
одиничному колі на п'ять рівних частин, і відкладаємо на ньому від центру відрізок  ОК, рівний трьом таким частинам. Через точку  К  проводимо пряму, паралельну діаметру
до перетину з одиничною окружністю. Отримаємо точки М і М ', ординати яких дорівнюють  3/5.
Поєднуючи ці точки з початком координат, отримаємо радіуси  ОМ  і  ОМ'. Синус будь-якого з кутів, складених з віссю  Ох  будь-яким з радіусів  ОМ  або  ОМ', дорівнює  3/5. На кресленні
відзначені два таких кута.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути  α, для яких  tg α = 1,5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На осі тангенсів від одиничної точки  Е1  відкладаємо в позитивному напрямку відрізок  Е1Т, в  1,5 рази більший радіуса кола.
Якщо через точку  Т  і центр кола  О  провести пряму, то вона перетне одиничне коло в точках  М  і  М'. Це – кінці рухомих радіусів, що утворюють з позитивним напрямком осі  Ох  кути, тангенси яких дорівнюють  1,5. На кресленні
відзначені два таких кута.

ПРИКЛАД:

Побудувати кути  α, для яких  сtg α = 1/2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На осі котангенсів від  Е2  відкладаємо в негативному напрямку відрізок  Е2К, рівний половині радіуса кола.
Через кінець цього відрізка  К  і центр кола  О  проводимо пряму, що перетинає одиничну окружність в точках  М  и  М'. Це – кінці рухомих радіусів, що утворюють з позитивним напрямком осі  Ох  кути, котангенс яких дорівнюють  1/2. На кресленні
відзначені два таких кута.

Геометричний висновок значень тригонометричних функцій.

Його корисно запам'ятати, так як часто доводиться знаходити значення  sin α  і  соs α  за значенням  tg α.

ПРИКЛАД:

tg α = 2/3.
Маємо:
Так само, геометрично, можна знайти значення  sin α  і  соs α  по заданому значенню  сtg α, де  α – гострий кут.

ПРИКЛАД:

сtg α = 3.
Маємо:
Завдання до уроку 10
Інші уроки: