Урок 15. Теорема косинусов

ВИДЕО УРОК

Для решения косоугольного треугольника существует теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Рассмотрим отдельно три возможных случая.   
1. Пусть угол  А – острый.

Из геометрии известно, что

квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на отрезок её от вершины острого угла до высоты.

Пусть 

ВD ⊥ АС, АD = m.

Тогда

a² = b² + с² – 2bm.

Из прямоугольного треугольника  АВD  находим:

m = с cos A.

Подставляем в предыдущее равенство вместо  m  равное ему выражение  с cos A, получим следующее равенство:

a² = b² + с² – 2bс cos A.

Выведем теорему косинусов, когда сторона треугольника лежит против острого угла, вторым способом.

Рассмотрим треугольник  АВС, в котором угол  А  острый. Проведем через вершину  С  перпендикуляр  СD  к прямой  АВ.

Получим прямоугольные треугольники  АСD  и  ВDС. Из треугольника  ВDС  по теореме Пифагора

Вычислим отдельно

Из треугольника  АСD  находим:

Найдем теперь

При этом может быть два случая:

1)  a_c = c – b_c;

2)  a_c = b_c – c.

Итак:

Подставив выражения

в равенствополучим:

получим:

Но в треугольнике  АСD

b_c = b cos α.

Окончательно имеем:

a² = b² + с² – 2bс cos α,

что и требовалось доказать.

2. Пусть угол  А – тупой.

Применим тогда теорему о том, что в тупоугольном треугольнике квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с удвоенным произведением какой-нибудь из этих сторон на отрезок её продолжения от вершины тупого угла до высоты:

a² = b² + с² + 2bm.

Но

m = с cos ∠ DАВ,

и так как  ∠ DАВ – смежный с углом  А  данного треугольника, то

∠ DАВ = 180° – А.

Следовательно,

cos ∠ DАВ = cos (180° – А) = – cos А.

Теперь равенство

m = с cos ∠ DАВ

примет вид

m = – с cos А.

Подставляем полученное выражение для  m  в равенство

a² = b² + с² + 2bm,

будем иметь:

a² = b² + с² + 2b(–с cos А),

или

a² = b² + с² – 2bс cos А.

То есть равенство

верно и для тупого угла.

Выведем теорему косинусов, когда сторона треугольника лежит против тупого угла, вторым способом.

Рассмотрим треугольник  АВС, в котором угол  А  тупой. Проведем через вершину  С  перпендикуляр  СD  к прямой  АВ.

Получим прямоугольные треугольники  АСD  и  ВDС. Из треугольника  ВСD  по теореме Пифагора

из треугольника  АСD  находим:

Найдем теперь

Подставив выражения

в равенство

получим:

Но в треугольнике  АСD

b_c = b cos (180° – α) = –b cos α.

Окончательно получим:

a² = b² + с² – 2bс cos α.

Теорема доказана.

3. Пусть угол  А – прямой.

В этом случае  cos А = 0. Следовательно,

a² = b² + с² – 2bс cos А = b² + с².

Но в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

a² = b² + с².

Сравнивая

a² = b² + с² – 2bс cos А = b² + с²

и

a² = b² + с²,

Видим, что и в этом случае равенство

сохраняет силу:

a² = b² + с² – 2bс cos А.

СЛЕДСТВИЕ.

Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, а углы, лежащие между этими сторонами, не равны, то против большего угла лежит и большая сторона.

Пусть стороны  b  и  с  треугольника  АВС  соответственно равны сторонам  b₁  и  с₁  треугольника  А₁В₁С₁, а угол  α  первого треугольника больше угла  α₁  другого треугольника. Тогда по теореме косинусов имеем:

Выполнив почленно вычитание, после упрощения получим:

Но правая часть равенства всегда положительна (потому что  cos α₁ ˃ cos α), следовательно,

или  а ˃ а₁.
Формула

позволяет вычислить длину одной из сторон треугольника по данным длинам двух других сторон и величине угла, лежащего против неизвестной стороны.

Теорема косинусов может быть записана и для двух других сторон треугольника:

b² = a² + с² – 2aс cos B,

c² = a² + b² – 2ab cos C.

Теорема косинусов дает возможность по данным величинам сторон треугольника вычислять величины его углов:

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:

АС = 3, ВС = 5, АВ = 6.

Найти угол, противолежащий стороне  АВ.

РЕШЕНИЕ:

Согласно следствию из теоремы косинусов, имеем:

Тогда

∠ АСВ = arccos (–¹/₁₅).

ОТВЕТ:  arccos (–¹/₁₅)

ЗАДАЧА:

Задан треугольник  АВС, длины сторон которого

АС = 17, ВС = 14, ∠ АСВ = 60°.

Найти длину третьей стороны рассматриваемого треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Согласно теореме косинусов

АВ² = АС²  + ВС² – 2 ∙ АС ∙ ВС ∙ cos ∠ АСВ =

= 17²  + 14² – 2 ∙ 17 ∙ 14 ∙ cos 60° =

= 280 + 196 – 238 = 247.

Тогда

АВ = √͞͞͞͞͞247.

ОТВЕТ:  √͞͞͞͞͞247

ЗАДАЧА:

Одна из сторон треугольника больше другой на  8 см, а угол между ними равен  120°. Найдите периметр треугольника, если длина третьей стороны равна  28 см.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим одну из сторон треугольника как  х, тогда величина другой стороны равна  (х + 8) см.

Исходя из теоремы косинусов, получим:

28² = х² + (х + 8)² – 2х(х + 8)cos 120°,

784 = х² + х² + 16х + 64 – 2х(х + 8)(–0,5),

784 = 2х² + 16х + 64 + х(х + 8),

720 = 3х² + 16х + 8х,

3х² + 24х – 720 = 0

Решаем квадратное уравнение:

Второй корень является отрицательным числом и не имеет смысла в рамках решения задачи.

Таким образом, периметр треугольника равен:

.

ОТВЕТ:  60 см

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  сторона  АС  равна  7√͞͞͞͞͞3 см, сторона  ВС  равна  1 см. Угол  С  равен  150°. Найдите длину стороны  АВ.

РЕШЕНИЕ:

Применим теорему косинусов и соответствующую формулу:

АВ² = АС² + ВС² – 2∙АС∙ВС ∙ cos С.                    

АВ² = (7√͞͞͞͞͞3)² + 1² – 2(7√͞͞͞͞͞3)cos 150°.

Значение косинуса  150°  найдём по таблицам.

Подставляем это значение в предыдущее равенство и решаем дальше:

ОТВЕТ:  13 см

ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС  сторона  ВС = 4 см, сторона  АС = 13 см. Угол  С  между ними равен  60°. Найдите неизвестную сторону  АВ.

РЕШЕНИЕ:

Запишем для неизвестной стороны  АВ  теорему косинусов:

АВ² = АС² + ВС² – 2 ∙ АС ∙ ВС ∙ cos С.

Подставляя известные значения сторон и угла, получим:

АВ² = 4² + 3² – 2∙4∙3 ∙ cos 60°,

АВ² = 16 + 9 – 24 ∙ ¹/₂,

АВ² = 13,

АВ = √͞͞͞͞͞13.

ОТВЕТ:  √͞͞͞͞͞13 см

ЗАДАЧА:

Стороны треугольника равны соответственно  3, 7  и  8 см. Найти угол, лежащий против стороны длинной  7 см.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим стороны треугольника:

АВ = 3, ВС = 7, АС = 8,

a против стороны  ВС  лежит угол  А. По следствию из теоремы косинусов, косинус угла  А  выражается через стороны треугольника следующим образом:

Подставим известные значения длин сторон, получим:

ОТВЕТ:  ∠ А = 60°

ЗАДАЧА:

Дан треугольник  АВС. Найти длину  СМ.

∠ С = 90°, АВ = 9, ВС = 3,

где  М – точка на гипотенузе  АВ.

РЕШЕНИЕ:

Так как  АМ + МВ = 9, а

то  АМ = 3, МВ = 6.
Из треугольника  АВС  найдём  cos В.

Из треугольника  СВМ  по теореме косинусов найдём  СМ:

СМ² = СВ² + МВ² – 2∙СВ∙МВ ∙ cos В,

СМ² = 3² + 6² – 2∙3∙6 ∙ ¹/₃ = 33,

СМ = √͞͞͞͞͞33.

ОТВЕТ:  √͞͞͞͞͞33

Задания к уроку 15

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

ДРУГИЕ УРОКИ

• Урок 1. Градусное измерение угловых величин
• Урок 2. Радианное измерение угловых величин
• Урок 3. Основные тригонометрические функции
• Урок 4. Натуральные тригонометрические таблицы
• Урок 5. Периодичность тригонометрических функций
• Урок 6. Область определения и область значения тригонометрических функций
• Урок 7. Знаки тригонометрических функций
• Урок 8. Чётность и нечётность тригонометрических функций
• Урок 9. Тригонометрические функции некоторых углов
• Урок 10. Построение угла по данному значению его тригонометрической функции
• Урок 11. Основные тригонометрические тождества
• Урок 12. Выражение всех тригонометрических функций через одну из них
• Урок 13. Решение прямоугольных и равнобедренных треугольников с помощью тригонометрических функций
• Урок 14. Теорема синусов
• Урок 16. Решение косоугольных треугольников
• Урок 17. Примеры решения задач по планиметрии с применением тригонометрии
• Урок 18. Решение практических задач с помощью тригонометрии
• Урок 19. Формулы приведения (1)
• Урок 20. Формулы приведения (2)
• Урок 21. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
• Урок 22. Формулы двойных и тройных углов (аргументов)
• Урок 23. Формулы половинного аргумента
• Урок 24. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение  
• Урок 25. Графики функций  y = sin x и y = cos x
• Урок 26. Графики функций y = tg x и y = ctg x
• Урок 27. Обратные тригонометрические функции
• Урок 28. Основные тождества обратных тригонометрических функций
• Урок 29. Выражение одной из аркфункций через другие
• Урок 30. Графики обратных тригонометрических функций
• Урок 31. Построение графиков тригонометрических функций методом геометрических преобразований