Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 19 ноября 2021 г.

Урок 15. Теорема косинусів

ВІДЕО УРОК

Для вирішення косокутного трикутника існує теорема косинусів.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.
Розглянемо окремо три можливі випадки.
1. Нехай кут  А – гострий.
З геометрії відомо, що

квадрат стороні трикутника, що лежить проти гострого кута, дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку однієї з цих сторін на відрізок її від вершини гострого кута до висоти.

Нехай

ВD АС, АD = m.

Тоді

a2 = b2 + с2 – 2bm.

З прямокутного трикутника  АВD  знаходимо:

m = с cos A.

Підставляємо у попередню рівність замість  m  рівне йому вираз  с cos A, отримаємо наступну рівність:

a2 = b2 + с2 – 2 cos A.

Виведемо теорему косинусів, коли сторона трикутника лежить проти гострого кута, другим способом.

Розглянемо трикутник  АВС, в якому кут  А  гострий. Проведемо через вершину  С  перпендикуляр  СD  до прямої  АВ.
Дістанемо прямокутні трикутники  АСD  і  ВDС. З трикутника  ВDС  за теоремою Піфагора
Обчислимо окремо
З трикутника  АСD  знаходимо:
Знайдемо тепер
Зазначимо, що при цьому може бути два випадки:

1)  ac = c – bc;
2)  ac = bc – c.
Отже:
Підставивши вирази
у рівність
дістанемо:
Але в трикутнику  АСD

bc = b cos α.

Остаточно маємо:

a2 = b2 + с2 – 2 cos α,

що й треба було довести.

2. Нехай кут  А – тупий
Застосуємо тоді теорему у тому, що у тупокутному трикутнику квадрат боку, що лежить проти тупого кута, дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, складеної з подвоєним твором якийсь із цих сторін на відрізок її продовження від вершини тупого кута до висоти:

a2 = b2 + с2 + 2bm.

Але

m = с cos DАВ,

і оскільки  DАВ – суміжний із кутом  А  даного трикутника, то

DАВ = 180°А.

Отже,

cos DАВ = cos (180°А) = – cos А.

Тепер рівність

m = с cos DАВ

набуде вигляду

m = с cos А.

Підставляємо отриманий вираз для  m  у рівність

a2 = b2 + с2 + 2bm,

будемо мати:

a2 = b2 + с2 + 2b(–с cos А),

або

a2 = b2 + с2 – 2 cos А.

Тобто рівність
правильно і тупого кута.

Виведемо теорему косинусів, коли сторона трикутника лежить проти тупого кута, другим способом.

Розглянемо трикутник  АВС, в якому кут  А  тупий. Проведемо через вершину  С  перпендикуляр  СD  до прямої  АВ.
Дістанемо прямокутні трикутники  АСD  і  ВDС. З трикутника  ВСD  за теоремою Піфагора
З трикутники  АСD  знаходимо:
Знайдемо тепер
Підставивши вирази
у рівність
дістанемо:
Але в трикутнику  АСD

bc = b cos (180° – α) = – b cos.

Остаточно дістанемо:

a2 = b2 + с2 – 2 cos α.

Теорему доведено.

3. Нехай кут  А – прямий.
У цьому випадку  cos А = 0. Отже,

a2 = b2 + с2 – 2 cos А = b2 + с2.

Але у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів

a2 = b2 + с2.

Порівнюючи

a2 = b2 + с2 – 2 cos А = b2 + с2

і

a2 = b2 + с2,

Бачимо, що й у цьому випадку рівність
зберігає силу:

a2 = b2 + с2 – 2 cos А.

НАСЛІДОК.

Якщо дві сторони одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам іншого трикутника, а кути, що лежать між цими сторонами, не рівні, то проти більшого кута лежіть і більша сторона.

Нехай сторони  b  і  с  трикутника  АВС  відповідно дорівнюють сторонам  b1  і  с1  трикутника  А1В1С1, а кут  α  першого трикутника більший від кута  α1  другого трикутника. Тоді за теоремою косинусів маємо:
Виконавши почленно віднімання, після спрощення дістанемо:
Але права частина рівності завжди додатна (бо  cos α1 ˃ cos α), отже,
або  а ˃ а1.
Формула
дозволяє обчислити довжину однієї зі сторін трикутника за даними довжинами двох інших сторін та величиною кута, що лежить проти невідомої сторони.

Теорема косинусів може бути записана і для двох інших сторін трикутника:

b2 = a2 + с2 – 2 cos B,

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C.

Теорема косинусів дає можливість за даними величинами сторін трикутника обчислювати величини його кутів:
ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:

АС = 3, ВС = 5, АВ = 6.

Знайти кут, що проти лежить стороні  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до слідства з теореми косинусів, маємо:
Тоді

АСВ = arccos (–1/15).

ВІДПОВІДЬ:  arccos (–1/15)

ЗАДАЧА:

Заданий трикутник  АВС, довжини сторін якого

АС = 17, ВС = 14,

АСВ = 60°.

Знайти довжину третьої сторони трикутника, що розглядається.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми косінусів

АВ2 = АС2  + ВС2 – 2 АС ВС cos АСВ =

= 172  + 142 – 2 17 14 cos 60° =

= 280 + 196 – 238 = 247.

Тоді

АВ = √͞͞͞͞͞247.

ВІДПОВІДЬ√͞͞͞͞͞247

ЗАДАЧА:

Одна зі сторін трикутника більша за іншу на  8 см, а кут між ними дорівнює  120°. Знайдіть периметр трикутника, якщо довжина третьої сторони дорівнює  28 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо одну із сторін трикутника як  х, тоді величина іншої сторони дорівнює  (х + 8) см.

Виходячи з теореми косинусів, отримаємо:

282 = х2 + (х + 8)2 – 2х(х + 8)cos 120°,

784 = х2 + х2 + 16х + 64 – 2х(х + 8)(–0,5),

784 = 2х2 + 16х + 64 + х(х + 8),

720 = 3х2 + 16х + 8х,

3х2 + 24х – 720 = 0

Вирішуємо квадратне рівняння:
Другий корінь є негативним числом і немає сенсу у межах розв'язання завдання.

Таким чином, периметр трикутника дорівнює:

Р = 12 + (12 + 8) + 28 = 60 (см).

ВІДПОВІДЬ60 см

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  сторона  АС  дорівнює  7√͞͞͞͞͞3 см, сторона  ВС  дорівнює  1 см.  Кут  С  дорівнює  150°. Знайдіть довжину сторони  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо теорему косинусів та відповідну формулу:

АВ2 = АС2 + ВС2 – 2∙АС∙ВС ∙ cos С.                    

АВ2 = (7√͞͞͞͞͞3)2 + 12 – 2(7√͞͞͞͞͞3)cos 150°.

Значення косинуса  150°  знайдемо за таблицями.
Підставляємо це значення у попередню рівність і вирішуємо далі:
ВІДПОВІДЬ13 см

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  сторона  ВС = 4 см, сторона  АС = 13 см. Кут між ними дорівнює  60°. Знайдіть невідому сторону  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Запишемо для невідомої сторони  АВ  теорему косинусів:

АВ2 = АС2 + ВС2 – 2∙АС∙ВС ∙ cos С.

Підставляючи відомі значення сторін та кута, отримаємо:

АВ2 = 42 + 32 – 24∙ cos 60°,

АВ2 = 16 + 9 – 24 1/2,

АВ2 = 13,

АВ = √͞͞͞͞͞13.

ВІДПОВІДЬ√͞͞͞͞͞13 см

ЗАДАЧА:

Сторони трикутника дорівнюють відповідно  3, 7  і  8 см. Знайти кут, що лежить проти сторони довжиною  7 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо сторони трикутника:

АВ = 3, ВС = 7, АС = 8,

a проти боку  ВС  лежить кут  А. За наслідком з теореми косинусів, косинус кута  А виражається через сторони трикутника наступним чином:
Підставимо відомі значення довжин сторін, отримаємо:
ВІДПОВІДЬ А = 60°

ЗАДАЧА:

Дано трикутник  АВС. Знайти довжину  СМ.
С = 90°, АВ = 9, ВС = 3,
де  М – точка на гіпотенузі  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як  АМ + МВ = 9, а
то  АМ = 3, МВ = 6.
З трикутника  АВС  знайдемо  cos В.
З трикутника  СВМ  з теореми косинусів знайдемо  СМ:

СМ2 = СВ2 + МВ2 – 2∙СВ∙МВ ∙ cos В,

СМ2 = 32 + 62 – 2∙36∙1/3 = 33,

СМ = √͞͞͞͞͞33.

ВІДПОВІДЬ√͞͞͞͞͞33

Завдання до уроку 15
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий