Урок 15. Теорема косинусів

ВІДЕО УРОК

Для вирішення косокутного трикутника існує теорема косинусів.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Розглянемо окремо три можливі випадки.
1. Нехай кут  А – гострий.

З геометрії відомо, що

квадрат стороні трикутника, що лежить проти гострого кута, дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку однієї з цих сторін на відрізок її від вершини гострого кута до висоти.

Нехай

ВD ⊥ АС, АD = m.

Тоді

a² = b² + с² – 2bm.

З прямокутного трикутника  АВD  знаходимо:

m = с cos A.

Підставляємо у попередню рівність замість  m  рівне йому вираз  с cos A, отримаємо наступну рівність:

a² = b² + с² – 2bс cos A.

Виведемо теорему косинусів, коли сторона трикутника лежить проти гострого кута, другим способом.

Розглянемо трикутник  АВС, в якому кут  А  гострий. Проведемо через вершину  С  перпендикуляр  СD  до прямої  АВ.

Дістанемо прямокутні трикутники  АСD  і  ВDС. З трикутника  ВDС  за теоремою Піфагора

Обчислимо окремо

З трикутника  АСD  знаходимо:

Знайдемо тепер

Зазначимо, що при цьому може бути два випадки:

1)  a_c = c – b_c;

2)  a_c = b_c – c.

Отже:

Підставивши вирази

у рівність

дістанемо:

Але в трикутнику  АСD

b_c = b cos α.

Остаточно маємо:

a² = b² + с² – 2bс cos α,

що й треба було довести.

2. Нехай кут  А – тупий

Застосуємо тоді теорему у тому, що у тупокутному трикутнику квадрат боку, що лежить проти тупого кута, дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, складеної з подвоєним твором якийсь із цих сторін на відрізок її продовження від вершини тупого кута до висоти:

a² = b² + с² + 2bm.

Але

m = с cos ∠ DАВ,

і оскільки  ∠ DАВ – суміжний із кутом  А  даного трикутника, то

∠ DАВ = 180° – А.

Отже,

cos ∠ DАВ = cos (180° – А) = – cos А.

Тепер рівність

m = с cos ∠ DАВ

набуде вигляду

m = – с cos А.

Підставляємо отриманий вираз для  m  у рівність

a² = b² + с² + 2bm,

будемо мати:

a² = b² + с² + 2b(–с cos А),

або

a² = b² + с² – 2bс cos А.

Тобто рівність

правильно і тупого кута.

Виведемо теорему косинусів, коли сторона трикутника лежить проти тупого кута, другим способом.

Розглянемо трикутник  АВС, в якому кут  А  тупий. Проведемо через вершину  С  перпендикуляр  СD  до прямої  АВ.

Дістанемо прямокутні трикутники  АСD  і  ВDС. З трикутника  ВСD  за теоремою Піфагора

З трикутники  АСD  знаходимо:

Знайдемо тепер

Підставивши вирази

у рівність

дістанемо:

Але в трикутнику  АСD

b_c = b cos (180° – α) = – b cos.

Остаточно дістанемо:

a² = b² + с² – 2bс cos α.

Теорему доведено.

3. Нехай кут  А – прямий.

У цьому випадку  cos А = 0. Отже,

a² = b² + с² – 2bс cos А = b² + с².

Але у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів

a² = b² + с².

Порівнюючи

a² = b² + с² – 2bс cos А = b² + с²

і

a² = b² + с²,

Бачимо, що й у цьому випадку рівність

зберігає силу:

a² = b² + с² – 2bс cos А.

НАСЛІДОК.

Якщо дві сторони одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам іншого трикутника, а кути, що лежать між цими сторонами, не рівні, то проти більшого кута лежіть і більша сторона.

Нехай сторони  b  і  с  трикутника  АВС  відповідно дорівнюють сторонам  b₁  і  с₁  трикутника  А₁В₁С₁, а кут  α  першого трикутника більший від кута  α₁  другого трикутника. Тоді за теоремою косинусів маємо:

Виконавши почленно віднімання, після спрощення дістанемо:

Але права частина рівності завжди додатна (бо  cos α₁ ˃ cos α), отже,

або  а ˃ а₁.
Формула

дозволяє обчислити довжину однієї зі сторін трикутника за даними довжинами двох інших сторін та величиною кута, що лежить проти невідомої сторони.

Теорема косинусів може бути записана і для двох інших сторін трикутника:

b² = a² + с² – 2aс cos B,

c² = a² + b² – 2ab cos C.

Теорема косинусів дає можливість за даними величинами сторін трикутника обчислювати величини його кутів:

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:

АС = 3, ВС = 5, АВ = 6.

Знайти кут, що проти лежить стороні  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до слідства з теореми косинусів, маємо:

Тоді

∠ АСВ = arccos (–¹/₁₅).

ВІДПОВІДЬ:  arccos (–¹/₁₅)

ЗАДАЧА:

Заданий трикутник  АВС, довжини сторін якого

АС = 17, ВС = 14,

∠ АСВ = 60°.

Знайти довжину третьої сторони трикутника, що розглядається.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відповідно до теореми косінусів

АВ² = АС²  + ВС² – 2 ∙ АС ∙ ВС ∙ cos ∠ АСВ =

= 17²  + 14² – 2 ∙ 17 ∙ 14 ∙ cos 60° =

= 280 + 196 – 238 = 247.

Тоді

АВ = √͞͞͞͞͞247.

ВІДПОВІДЬ:  √͞͞͞͞͞247

ЗАДАЧА:

Одна зі сторін трикутника більша за іншу на  8 см, а кут між ними дорівнює  120°. Знайдіть периметр трикутника, якщо довжина третьої сторони дорівнює  28 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо одну із сторін трикутника як  х, тоді величина іншої сторони дорівнює  (х + 8) см.

Виходячи з теореми косинусів, отримаємо:

28² = х² + (х + 8)² – 2х(х + 8)cos 120°,

784 = х² + х² + 16х + 64 – 2х(х + 8)(–0,5),

784 = 2х² + 16х + 64 + х(х + 8),

720 = 3х² + 16х + 8х,

3х² + 24х – 720 = 0

Вирішуємо квадратне рівняння:

Другий корінь є негативним числом і немає сенсу у межах розв'язання завдання.

Таким чином, периметр трикутника дорівнює:

Р = 12 + (12 + 8) + 28 = 60 (см).

ВІДПОВІДЬ:  60 см

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  сторона  АС  дорівнює  7√͞͞͞͞͞3 см, сторона  ВС  дорівнює  1 см.  Кут  С  дорівнює  150°. Знайдіть довжину сторони  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Застосуємо теорему косинусів та відповідну формулу:

АВ² = АС² + ВС² – 2∙АС∙ВС ∙ cos С.                    

АВ² = (7√͞͞͞͞͞3)² + 1² – 2(7√͞͞͞͞͞3)cos 150°.

Значення косинуса  150°  знайдемо за таблицями.

Підставляємо це значення у попередню рівність і вирішуємо далі:

ВІДПОВІДЬ:  13 см

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  сторона  ВС = 4 см, сторона  АС = 13 см. Кут між ними дорівнює  60°. Знайдіть невідому сторону  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Запишемо для невідомої сторони  АВ  теорему косинусів:

АВ² = АС² + ВС² – 2∙АС∙ВС ∙ cos С.

Підставляючи відомі значення сторін та кута, отримаємо:

АВ² = 4² + 3² – 2∙4∙3 ∙ cos 60°,

АВ² = 16 + 9 – 24 ∙ ¹/₂,

АВ² = 13,

АВ = √͞͞͞͞͞13.

ВІДПОВІДЬ:  √͞͞͞͞͞13 см

ЗАДАЧА:

Сторони трикутника дорівнюють відповідно  3, 7  і  8 см. Знайти кут, що лежить проти сторони довжиною  7 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо сторони трикутника:

АВ = 3, ВС = 7, АС = 8,

a проти боку  ВС  лежить кут  А. За наслідком з теореми косинусів, косинус кута  А виражається через сторони трикутника наступним чином:

Підставимо відомі значення довжин сторін, отримаємо:

ВІДПОВІДЬ:  ∠ А = 60°

ЗАДАЧА:

Дано трикутник  АВС. Знайти довжину  СМ.

∠ С = 90°, АВ = 9, ВС = 3,

де  М – точка на гіпотенузі  АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Так як  АМ + МВ = 9, а

то  АМ = 3, МВ = 6.
З трикутника  АВС  знайдемо  cos В.

З трикутника  СВМ  з теореми косинусів знайдемо  СМ:

СМ² = СВ² + МВ² – 2∙СВ∙МВ ∙ cos В,

СМ² = 3² + 6² – 2∙3∙6∙¹/₃ = 33,

СМ = √͞͞͞͞͞33.

ВІДПОВІДЬ:  √͞͞͞͞͞33

Завдання до уроку 15

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень