Урок 20. Бесконечные периодические десятичные дроби

 

 ⁵Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодичной десятичной дробью. Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет некоторое рациональное число. При преобразовании обыкновенных дробей в десятичные часто получаем бесконечные периодические дроби.

Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.

Пусть дана десятичная дробь  2,73. Её значение не изменится, если справа приписать любое число нулей

2,73 = 2,730 = 2,7300 = … = 2,73000 … 0.

Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

ПРИМЕР:

Возьмём дробь  ³/₁₄  и будем делить числитель на знаменатель, постепенно получая десятичные знаки. При этом заметим, что любое натуральное число можно представить как бесконечную десятичную дробь.

3 = 3,000 …

Имеем:

Таким образом:

³/₁₄ = 0,214285714 … .

Выпишем последовательно остатки, которые получились при выполнении операции деления:

2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, … .

Ясно, что все эти остатки меньше делителя, то есть меньше числа  14. Это значит, что на каком-то шаге деления должен неизбежно снова появиться такой остаток, который уже встречался ранее. Так, на седьмом шаге появился остаток  2, который был на первом шаге. Ясно, что как только появится остаток, который уже встречался, за ним пойдут остатки в той же последовательности, которая была ранее. В нашем примере за остатком  2  идёт остаток  6, за ним  4, за ним  12  и так далее, то есть, получаем такую последовательность остатков:

2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, 4, 12, 8, 10, … .

Периодически повторяющиеся группы остатков приведут соответственно к периодически повторяющейся группе цифр в десятичной записи числа.

Так, в нашем примере получим:

³/₁₄ = 0,2142857142857142857 … .

Последовательно повторяющуюся группу цифр (минимальную) после запятой в десятичной записи числа называют периодом, а бесконечную десятичную дробь, имеющую такой период в своей записи, называют периодической.

Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки:

0,2142857142857142857 … = 0,2 (142857).

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называют чистой периодической, если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называют смешанной периодической.

ПРИМЕР:

2,(23) = 2,2323232323 … – чистая периодическая дробь,

0,2,(142857) – смешанная периодическая дробь,

2,73 = 2,73000 … = 2,73 (0) – смешанная периодическая дробь.

ПРИМЕР:

 ²/₃ = 2 : 3 = 0,66... ;

⁵/₆ = 5 : 6 = 0,833... ;

 ³/₁₁ = 3 : 11 = 0,2727... .

Дробь  0,66... называется бесконечной периодической десятичной дробью, период которой есть число  6.

Дробь  0,833…  тоже периодическая, но её период (число 3) начинается не сразу после запятой.

Дробь  0,2727…  периодическая, периодом которой будет число  27.

Периодические дроби ещё записываются так: 

0,66... = 0,(6),

а произносятся так: 

0  целых и  6  в периоде;  

0,833… = 0,8(3)

(0 целых  8  десятых и  3  в периоде);

0,2727… = 0,(27)

(0 целых  27  в периоде).

Если при разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители, кроме чисел  2  и  5, есть другие простые числа, то такая дробь превращается в бесконечную периодическую дробь.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Какое из данных чисел нельзя записать в виде конечной десятичной дроби ?

³/₁₅,  ¹/₇,  ¹/₈,  ¹³/₂₅₀.

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  дробь  ¹/₇

Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.

Чтобы бесконечную десятичную дробь умножить на  10, 100, 1000  и так далее, достаточно, как и в конечной десятичной дроби, перенести запятую на один, два, три и так далее знака вправо.

ПРИМЕР:

0,1(23) ∙ 100 = 0,1232323 … ∙ 100 =

= 12,323232 … = 12,(32).

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь рассмотрим на примерах.

ПРИМЕР:

Обратить в обыкновенную дробь  число:

0,(13).

РЕШЕНИЕ:

Положим 

х = 0,(13) = 0,131313 … .

Умножим чистую периодическую дробь  х  на такое число, чтобы запятая переместилась ровно на период вправо. Поскольку в периоде две цифры, надо перенести запятую на две цифры вправо, а для этого достаточно умножить число  х  на  100, тогда

100х = 0,131313 … ∙ 100 = 13,1313 … = 13,(13).

Теперь вычтем  х  из  100х:

100х – х = 13,(13) – 0,(13).

Значит,

99х = 13,

откуда находим  х = ¹³/₉₉.

ПРИМЕР:

Обратить в обыкновенную дробь  число:

2,(273).

РЕШЕНИЕ:

Положим  х = 2,(273). Это чистая периодическая дробь содержит три цифры в периоде. Умножив  х  на  1000, получим:

1000х = 2273,(273).

Далее имеем:

1000х – х = 2273,(273) – 2,(273).

999х = 2271,

ПРИМЕР:

Обратить в обыкновенную дробь  число:

0,2(54).

РЕШЕНИЕ:

Положим  х = 0,2(54). Перенесём в этой смешанной периодической дроби запятую вправо так, чтобы получилась чистая периодическая дробь.  Для этого достаточно  х  умножить на  10, получим:

10х = 2(54).

Положим  у = 2(54)  и обратим эту чистую периодическую дробь в обыкновенную. Умножив  у  на  100, получим:

100у = 254,(54),

100у – у = 254,(54) – 2,(54)

99у = 252,

Значит,

откуда находим:

ПРИМЕР:

Обратить в обыкновенную дробь  число:

3,254(9).

РЕШЕНИЕ:

Положим  х = 3,254(9),

получим  1000х = 3254,(9).

Введём обозначение  у = 1000х. Тогда имеем:

у = 3254(9), откуда  10у = 32549,(9),

10у – у = 32549,(9) – 3254,(9),

9у = 29295, у = 3255, 1000х = 3255,

Обратим внимание на то, что

то есть мы получили конечную десятичную дробь, или бесконечную дробь с нулём в периоде. Значит

3,254(9) = 3,255(0).

Это обстоятельство имеет место для любых десятичных дробей с девяткой в периоде. Такую дробь можно представить в виде дроби с нулём в периоде. Для этого достаточно лишь увеличить на единицу последний десятичный знак перед периодом.

ПРИМЕР:

0,45(9) = 0,45(0),

14(9) = 15(0).

Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода, а знаменатель состоит из  <<девяток >>  и  <<нулей >>, причём, <<девяток >>  столько, сколько цифр в периоде, а  <<нулей >>  столько, сколько цифр после запятой до периода.      

ПРИМЕР:

Обратить в обыкновенную дробь число  0,41(6).

РЕШЕНИЕ:

В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой  (416)  и числом после запятой до периода дроби  (41). В периоде одна цифра, а после запятой до периода две цифры, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки и двух нулей  (900).

ПРИМЕР:

Обратить в обыкновенную дробь число  0,10(6).

РЕШЕНИЕ:

В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой  (106)  и числом после запятой до периода дроби  (10). В периоде одна цифра, а после запятой до периода две цифры, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки и двух нулей  (900).

ПРИМЕР:

Обратить в обыкновенную дробь число  0,(15).

РЕШЕНИЕ:

В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой  (15)  и числом после запятой до периода дроби  (0). В периоде две цифры, а после запятой до периода нет цифр, поэтому знаменатель будет состоять из двух девятки (99).

ПРИМЕР:

Обратить в обыкновенную дробь число  0,5(3).

 РЕШЕНИЕ:

В числителе обыкновенной дроби запишем разность между всем числом после запятой  (53)  и числом после запятой до периода дроби  (5). В периоде одна цифра, а после запятой до периода тоже одна цифра, поэтому знаменатель будет состоять из одной девятки и одного нуля  (90).

ПРИМЕР:

Вычислить:

РЕШЕНИЕ:

Число  0,666…  представим в виде

0,(6) = ⁶/₉ = ²/₃.

Число  0,12333…  представим в виде

Вычисляем:

Задания к уроку 20

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Целые числа
• Урок 2. Абсолютная величина числа
• Урок 3. Сложение целых чисел
• Урок 4. Вычитание целых чисел
• Урок 5. Умножение целых чисел
• Урок 6. Деление целых чисел
• Урок 7. Определение значения выражений, которые находятся под знаком абсолютной величины 
• Урок 8. Степень целого положительного числа с натуральным показателем
• Урок 9. Степень целого отрицательного числа с натуральным показателем
• Урок 10. Степень целого положительного числа с целым показателем
• Урок 11. Степень целого отрицательного числа с целым показателем
• Урок 12. Деление степеней целых чисел с натуральным показателем
• Урок 13. Деление степеней целых чисел с целым показателем
• Урок 14. Стандартный вид числа
• Урок 15. Рациональные числа 
• Урок 16. Сложение рациональных чисел
• Урок 17. Вычитание рациональных чисел 
• Урок 18. Умножение рациональных чисел
• Урок 19. Деление рациональных чисел 
• Урок 21. Степень рационального положительного числа с натуральным показателем
• Урок 22. Степень рационального отрицательного числа с натуральным показателем
• Урок 23. Степень рационального положительного числа с целым показателем
• Урок 24. Степень рационального отрицательного числа с целым показателем
• Урок 25. Деление степеней рациональных чисел с целым показателем