Урок 8. Пирамида

ВИДЕОУРОК

Есть предметы, которые имеют форму пирамиды. Головоломка Рубика – пример треугольной пирамиды, а объёмный пазл – четырёхугольной пирамиды.

Многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, которые имеют общую вершину, называется пирамидой.

Ограничивают пирамиду её грани. В треугольной пирамиде все грани треугольники, а в четырёхугольной – не все. Одна грань четырёхугольник. В пирамиде одна грань может быть каким угодно многоугольником. Такая грань называется основанием пирамиды. Остальные грани обязательно будут треугольниками. Они называются боковыми гранями пирамиды. Называют пирамиду в зависимости от того, какой многоугольник будет её основанием. Если основание – треугольник, пирамида называется треугольной, если четырёхугольник – четырёхугольной, если  n-угольник – n-угольною. Как и грани, вершины пирамиды тоже имеют свои названия. Вершина, в которой сходятся боковые грани пирамиды, называют вершиной пирамиды, а остальные вершины – вершинами её основания. Вершина пирамиды всегда лежит против основания пирамиды. Аналогично, в пирамиде есть боковые рёбра и рёбра основания. Боковые рёбра, как и боковые грани, сходятся в вершине пирамиды. Они соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Обозначают пирамиду названиями её вершин, например, SABCD. Первой буквой всегда записывают вершину пирамиды.

В отличии от прямоугольного параллелепипеда и куба, количество вершин, ребер и граней не одинаковое для всех пирамид, а зависит от того, какого вида пирамида.

Высотою пирамиды называется перпендикуляр  SО, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.

Обратите внимание, что в пирамиде буквой  S  обычно обозначают и её вершину и поверхность (полную или отдельные её части). Но это не производит до недоразумений, так как по смыслу всегда ясно, про что идет речь в данном случае. Кроме того, если рассматривать поверхность или площадь, то в обозначении часто ещё вводят дополнительные индексы, например  S_бок  (боковая поверхность), S_ABCD (площадь основания  ABCD),  S_ASB (площадь грани  ASB) и т. д.

Свойства сечения, образованного плоскостью, параллельной к основанию пирамиды.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной к основанию, то:

– боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;

– в сечении получается многоугольник, подобный многоугольнику, который находится в основании;

– площадь сечения и основания относятся между собой, как квадраты их удалений от вершины пирамиды.

На рисунке изображена пирамида  SABCD  и параллельная плоскость      
A₁B₁C₁D₁ ∥ ABCD.

В таком случае

Многоугольник  A₁B₁C₁D₁  подобный многоугольнику  ABCD;

Если две пирамиды с равными высотами перерезать плоскостями, параллельными основанию, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны к площадям оснований. 

На рисунке изображены пирамиды

Высоты которых равны:

На одинаковых расстояниях от вершин

проведены плоскости

параллельные основаниям пирамид. Тогда

Если в двух пирамидах с равновеликими основаниями и равными высотами провести параллельные к основаниям сечения на одинаковых расстояниях от вершины, то сечения будут равновеликими.

Поверхность пирамиды.

Боковою поверхностью пирамиды называется сумма её боковых граней.

Полною поверхностью пирамиды называется сумма её боковой поверхности и площади основания.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

S_пир = S_бок + S_осн

Если треугольники, которые образуют боковую поверхность пирамиды, не равны, то для нахождения боковой поверхности пирамиды необходимо найти площадь каждого треугольника и эти площади сложить.

ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды является квадрат, её высота проходить через одну из вершин основания. определите боковую поверхность этой пирамиды, если сторона основания равна  20 дм, а высота – 21 дм.

РЕШЕНИЕ:

Дана пирамида  SABCD, в основании которой лежит квадрат  ABCD  со стороною  20 дм, высота  SD = 21 дм.

Определите боковую поверхность пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней:

S_бок = S_ASD + S_DSC + S_CSB + S_BSA.

∆ASD  и  ∆CSD – прямоугольные и равны, а их площади

S_ASD = S_CDS = ¹/₂ ×20×21 = 210 (дм²).

Из этих треугольников по теореме Пифагора находим

По теореме про три перпендикуляра

SC ⊥ CB ⊥ SA ⊥ AB (DC ⊥ CB ⊥ DA ⊥ AB),

то  ∆SAB  и  ∆SCB – прямоугольные и равные, и их площади

S_ASB = S_CSB = ¹/₂ ×20×29 = 290 (дм²).

тогда

S_бок = 2(290 + 210) = 1000 (дм²).

ОТВЕТ;

1000 дм² = 10 м².

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – квадрат со стороной  12 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна  5 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SABCD – заданная пирамида.

Основание  ABCD – квадрат, АВ = 12 см. Грани  SAB  и  SBC  перпендикулярны плоскости основания. Тогда их общее ребро  SB является высотой пирамиды. По условию, SB = 5 см.

Из  ∆ SBА (∠ В = 90°):

Поскольку  BА ⊥ АD, то по теореме о трех перпендикулярах  SA ⊥ АD. Аналогично  SС ⊥ DС.

∆ SBС = ∆ SBА, ∆ SАD = ∆ SСD,

(за двумя катетами).

S_б = 2S_{∆ SBА} + 2S_{∆ SAD}.

S_{∆ SАD} = ¹/₂ SA ∙ AD =

^= 1/₂ ∙ 13 ∙ 12 = 78 (см²).

S_{∆ SBA} = ¹/₂ SB ∙ AB =

^= 1/₂ ∙ 5 ∙ 12 = 30 (см²).

S_б = 2 ∙ 78 + 2 ∙ 30 = 216 см².

ОТВЕТ:  216 см²

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – квадрат со стороной  9 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если среднее по длине боковое ребро пирамиды равно  15 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  МABCD – заданная пирамида. Основание  ABCD – квадрат,

АВ = 9 см. Грани  SBA  и  SBC  перпендикулярны плоскости основания. Тогда их общее ребро  SB  является высотой пирамиды и кратчайшим. Проекциями ребер  SA  и  SC  на плоскость основания являются стороны, а ребро  SD – диагональ квадрата. Поскольку  BD ˃ AB, то  SD ˃ SA. Ребра  SA  и  SC – средние по длине ребра пирамиды. SА = SС = 15 см. Так как  ВА ⊥ АD, то по теореме о трех перпендикулярах  SА⊥  АD. Аналогично  SC ⊥ DC.

∆ SAD = ∆ SCD,

∆ SBC = ∆ SBA.

(за двумя катетами).

S_б = 2S_{∆ SAD} + 2S_{∆ SBA}.

S_{∆ SAD} = ¹/₂ SA ∙ AD =

= ¹/₂ ∙ 15 ∙ 9 = ¹³⁵/₂ (см²).

Из  ∆ SBА (∠ В = 90°):

S_{∆ SBA} = ¹/₂ SB ∙ AB =

= ¹/₂ ∙ 12 ∙ 9 = 54 (см²).

S_б = 2 ∙ ¹³⁵/₂ + 2 ∙ 54 =

= 135 +108 = 243 (см²).

ОТВЕТ:  243 см²

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами  6 см  и  15 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна  8 см.

РЕШЕНИЕ:

В пирамиде  МABCD  основание  ABCD – прямоугольник,

боковые грани  ABМ  и  СBМ  перпендикулярны плоскости прямоугольника  ABCD. Тогда их общее боковое ребро  МВ  является высотой пирамиды,

МВ = 8 см, АВ = 6 см, ВС = 15 см.

Отрезок  АВ – проекция отрезка  АМ  на плоскость основания,  АВ ⊥ AD. Тогда  МА ⊥ AD. Аналогично, доказываем, что  МС ⊥ AD.

Из  ∆ АBМ (∠ В = 90°):

Из  ∆ СBМ (∠ В = 90°):

S_{∆ ABM} = ¹/₂ AB ∙ MB = 24 (см²),

S_{∆ CBM} = ¹/₂ BC ∙ MB = 60 (см²),

S_{∆ MAD} = ¹/₂ AD ∙ MA = 75 (см²),

S_{∆ MCD} = ¹/₂ CD ∙ MC = 51 (см²).

Площадь боковой поверхности пирамиды:

S = S_{∆ ABM}  + S_{∆ CBM}  + S_{∆ MAD}  + S_{∆ MCD} =

= 24 + 60 + 75 + 51 = 210 (см²).

ОТВЕТ:  210 см²

Решение задач по стереометрии с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды  SABCD  является квадрат  ABCD. Боковая грань  ASB  перпендикулярна плоскости основания, грани  ASD  и  BSC  наклонены к плоскости основания под углом  60°. Найдите угол наклона грани  СSD  к плоскости основания.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SABCD – задана пирамида. ABCD – квадрат.

Поскольку грань  ASB  перпендикулярна плоскости основания, то высота  SO  принадлежит этой грани. OB ⊥ BС. По теореме о трех перпендикулярах  SB ⊥ BС. Тогда  ∠ SBO – угол наклона грани  BSC  к плоскости основания. Аналогично  ∠ SAO – угол наклона плоскости  ASD  к плоскости основания. Поэтому ∠ SAO = ∠ SBO = ∠ 60°. Следовательно, треугольник  ASВ  равносторонний, в котором высота  SO  является медианой. Проведем  SF ⊥ DС, тогда OF ⊥ DС, а следовательно, OF ∥ DA, OF = AD. Тогда  ∠ SFO – угол наклона грани  CSD  к плоскости основания. Из  ∆ SOA (∠ O = 90°):

Из  ∆ SOF (∠ O = 90°):

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды  МABCD  есть квадрат  ABCD. Боковая грань  BМС  перпендикулярна плоскости основания, грань  AМD  наклонена к плоскости основания под углом  30°, грани  АМВ  и  СМD  образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите угол наклона грани  АМВ  к плоскости основания.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  МABCD – данная пирамида. ABCD – квадрат.

Поскольку грань  BMC  перпендикулярна плоскости основания, то высота  MO  принадлежит этой грани. OB ⊥ AB. По теореме о трех перпендикулярах  MB ⊥ AB. Тогда  ∠ MBO – угол наклона грани  AMB  к плоскости основания. Аналогично  ∠ MCO – угол наклона плоскости  CMD  к плоскости основания. По условию  ∠ MBO = ∠ MCO, а поэтому треугольник  ВМС –  равнобедренный и  МО  является высотой и медианой. Проведем  MF ⊥ AD. Тогда  OF ⊥ AD, а следовательно, OF ∥ AB, OF = AB. Тогда ∠ MFO – угол наклона грани  AMD  к плоскости основания. По условию, ∠ МFO = 30°. Пусть  АВ = а.
Из  ∆ MOF (∠ O = 90°):

Откуда

Из   ∆ MOB (∠ O = 90°):

Откуда

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В треугольной пирамиде  ABCD  ребро

CD ⊥ AD, CD ⊥ BD, CD = 1,

двугранный угол при ребре  CD  равен 120°, а

AD = BD = √͞͞͞͞͞2.

Найдите величину двугранного угла при ребре  АВ.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.

Отрезок  CD  перпендикулярен двум пересекающимся прямым  BD  и  AD  плоскости  ABD, а значит, CD  перпендикулярен плоскости  ABD.  ∠ ADB = 120°, ∆ ADB – равнобедренный.
Нужно найти величину двугранного угла при ребре  АВ. Для этого надо найти линейный угол этого двугранного угла, а стороны линейного угла перпендикулярны  АВ. Построим точку  К – середину ребра  АВ  и соединим её с точками  С  и  D.

D К – медиана  ∆ ADB, а значит, и высота. КВ ⊥ СК.

∠ СКD – линейный угол двугранного угла при ребре  АВ.

Рассмотрим треугольник  DКВ, он прямоугольный, угол  DВК = 30°, а против угла в  30°  лежит катет равный половине гипотенузы, значит

Откуда  ∠ CKD = arctg√͞͞͞͞͞2

ОТВЕТ:  arctg√͞͞͞͞͞2

Задания к уроку 8

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 6. Прямругольный параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 10. Усечённая пирамида
• Урок 11. Цилиндр
• Урок 12. Вписанная и описанная призмы
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
• Урок 16. Сфера и шар
• Урок 17. Комбинация тел