Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 24 марта 2018 г.

Урок 8. Пирамида

ВИДЕОУРОК

Есть предметы, которые имеют форму пирамиды. Головоломка Рубика – пример треугольной пирамиды, а объёмный пазл – четырёхугольной пирамиды.

Многогранник, одна из граней которого – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, которые имеют общую вершину, называется пирамидой.

Ограничивают пирамиду её грани. В треугольной пирамиде все грани треугольники, а в четырёхугольной – не все. Одна грань четырёхугольник. В пирамиде одна грань может быть каким угодно многоугольником. Такая грань называется основанием пирамиды. Остальные грани обязательно будут треугольниками. Они называются боковыми гранями пирамиды. Называют пирамиду в зависимости от того, какой многоугольник будет её основанием. Если основание – треугольник, пирамида называется треугольной, если четырёхугольник – четырёхугольной, если  n-угольник – n-угольною. Как и грани, вершины пирамиды тоже имеют свои названия. Вершина, в которой сходятся боковые грани пирамиды, называют вершиной пирамиды, а остальные вершины – вершинами её основания. Вершина пирамиды всегда лежит против основания пирамиды. Аналогично, в пирамиде есть боковые рёбра и рёбра основания. Боковые рёбра, как и боковые грани, сходятся в вершине пирамиды. Они соединяют вершину пирамиды с вершинами основания. Обозначают пирамиду названиями её вершин, например, SABCD. Первой буквой всегда записывают вершину пирамиды.
В отличии от прямоугольного параллелепипеда и куба, количество вершин, ребер и граней не одинаковое для всех пирамид, а зависит от того, какого вида пирамида.

Высотою пирамиды называется перпендикуляр  , опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания.
Обратите внимание, что в пирамиде буквой  S  обычно обозначают и её вершину и поверхность (полную или отдельные её части). Но это не производит до недоразумений, так как по смыслу всегда ясно, про что идет речь в данном случае. Кроме того, если рассматривать поверхность или площадь, то в обозначении часто ещё вводят дополнительные индексы, например  Sбок  (боковая поверхность), SABCD (площадь основания  ABCD),  SASB (площадь грани  ASB) и т. д.

Свойства сечения, образованного плоскостью, параллельной к основанию пирамиды.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной к основанию, то:

– боковые рёбра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;
– в сечении получается многоугольник, подобный многоугольнику, который находится в основании;
– площадь сечения и основания относятся между собой, как квадраты их удалений от вершины пирамиды.

На рисунке изображена пирамида  SABCD  и параллельная плоскость      
A1B1C1D1 ABCD.
В таком случае
Многоугольник  A1B1C1D1  подобный многоугольнику  ABCD;
Если две пирамиды с равными высотами перерезать плоскостями, параллельными основанию, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны к площадям оснований. 

На рисунке изображены пирамиды
Высоты которых равны:


На одинаковых расстояниях от вершин
проведены плоскости
параллельные основаниям пирамид. Тогда
Если в двух пирамидах с равновеликими основаниями и равными высотами провести параллельные к основаниям сечения на одинаковых расстояниях от вершины, то сечения будут равновеликими.

Поверхность пирамиды.

Боковою поверхностью пирамиды называется сумма её боковых граней.

Полною поверхностью пирамиды называется сумма её боковой поверхности и площади основания.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Sпир = Sбок + Sосн

Если треугольники, которые образуют боковую поверхность пирамиды, не равны, то для нахождения боковой поверхности пирамиды необходимо найти площадь каждого треугольника и эти площади сложить.

ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды является квадрат, её высота проходить через одну из вершин основания. определите боковую поверхность этой пирамиды, если сторона основания равна  20 дм, а высота – 21 дм.

РЕШЕНИЕ:

Дана пирамида  SABCD, в основании которой лежит квадрат  ABCD  со стороною  20 дм, высота  SD = 21 дм.
Определите боковую поверхность пирамиды.
Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней:

Sбок = SASD + SDSC + SCSB + SBSA.

ASD  и  CSD – прямоугольные и равны, а их площади

SASD = SCDS = 1/2 ×20×21 = 210 (дм2).

Из этих треугольников по теореме Пифагора находим
По теореме про три перпендикуляра

SC CB SA AB (DC CB DA AB),

то  ∆SAB  и  ∆SCB – прямоугольные и равные, и их площади

SASB = SCSB = 1/2 ×20×29 = 290 (дм2).

тогда

Sбок = 2(290 + 210) = 1000 (дм2).

ОТВЕТ;

1000 дм2 = 10 м2.

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – квадрат со стороной  12 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна  5 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SABCD – заданная пирамида.
Основание  ABCD – квадрат, АВ = 12 см. Грани  SAB  и  SBC  перпендикулярны плоскости основания. Тогда их общее ребро  SB является высотой пирамиды. По условию, SB = 5 см.
Из  ∆ SBА (В = 90°):
Поскольку   АD, то по теореме о трех перпендикулярах  SA АD. Аналогично  .

SBС = SBА, SАD = SСD,

(за двумя катетами).

Sб = 2SSBА + 2SSAD.

SSАD = 1/2 SA AD =

1/2 13 12 = 78 (см2).

SSBA = 1/2 SB AB =

1/2 5 12 = 30 (см2).

Sб = 2 78 + 2 30 = 216 см2.

ОТВЕТ:  216 см2

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – квадрат со стороной  9 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если среднее по длине боковое ребро пирамиды равно  15 см.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  МABCD – заданная пирамида. Основание  ABCD – квадрат,
АВ = 9 см. Грани  SBA  и  SBC  перпендикулярны плоскости основания. Тогда их общее ребро  SB  является высотой пирамиды и кратчайшим. Проекциями ребер  SA  и  SC  на плоскость основания являются стороны, а ребро  SD – диагональ квадрата. Поскольку  BD ˃ AB, то  SD ˃ SA. Ребра  SA  и  SC – средние по длине ребра пирамиды. SА = SС = 15 см. Так как  ВА АD, то по теореме о трех перпендикулярах    АD. Аналогично  SC DC.

∆ SAD = ∆ SCD,

∆ SBC = ∆ SBA.

(за двумя катетами).

Sб = 2S∆ SAD + 2S∆ SBA.

S∆ SAD = 1/2 SA ∙ AD =

= 1/215 ∙ 9 = 135/2 (см2).

Из  ∆ SBА (В = 90°):
SSBA = 1/2 SB ∙ AB =

= 1/212 ∙ 9 = 54 (см2).

Sб = 2 135/2 + 2 54 =

= 135 +108 = 243 (см2).

ОТВЕТ:  243 см2

ЗАДАЧА:

Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами  6 см  и  15 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна  8 см.

РЕШЕНИЕ:

В пирамиде  МABCD  основание  ABCD – прямоугольник,
боковые грани  ABМ  и  СBМ  перпендикулярны плоскости прямоугольника  ABCD. Тогда их общее боковое ребро  МВ  является высотой пирамиды,

МВ = 8 см, АВ = 6 см, ВС = 15 см.

Отрезок  АВ – проекция отрезка  АМ  на плоскость основания,  АВ AD. Тогда  МА AD. Аналогично, доказываем, что  МС AD.

Из  ∆ АBМ (В = 90°):
Из  ∆ СBМ (В = 90°):
S∆ ABM = 1/2 AB ∙ MB = 24 (см2),

S∆ CBM = 1/2 BC ∙ MB = 60 (см2),

S∆ MAD = 1/2 AD ∙ MA = 75 (см2),

S∆ MCD = 1/2 CD ∙ MC = 51 (см2).

Площадь боковой поверхности пирамиды:

S = SABM  + SCBM  + SMAD  + SMCD =

= 24 + 60 + 75 + 51 = 210 (см2).

ОТВЕТ:  210 см2

Решение задач по стереометрии с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды  SABCD  является квадрат  ABCD. Боковая грань  ASB  перпендикулярна плоскости основания, грани  ASD  и  BSC  наклонены к плоскости основания под углом  60°. Найдите угол наклона грани  СSD  к плоскости основания.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SABCD – задана пирамида. ABCD – квадрат.
Поскольку грань  ASB  перпендикулярна плоскости основания, то высота  SO  принадлежит этой грани. OB . По теореме о трех перпендикулярах  SB . Тогда  SBO – угол наклона грани  BSC  к плоскости основания. Аналогично  SAO – угол наклона плоскости  ASD  к плоскости основания. Поэтому SAO = ∠ SBO = ∠ 60°. Следовательно, треугольник  ASВ  равносторонний, в котором высота  SO  является медианой. Проведем  SF , тогда OF , а следовательно, OF DA, OF = AD. Тогда  SFO – угол наклона грани  CSD  к плоскости основания. Из  ∆ SOA (O = 90°):
Из  SOF (O = 90°):
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Основанием пирамиды  МABCD  есть квадрат  ABCD. Боковая грань  BМС  перпендикулярна плоскости основания, грань  AМD  наклонена к плоскости основания под углом  30°, грани  АМВ  и  СМD  образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите угол наклона грани  АМВ  к плоскости основания.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  МABCD – данная пирамида. ABCD – квадрат.
Поскольку грань  BMC  перпендикулярна плоскости основания, то высота  MO  принадлежит этой грани. OB AB. По теореме о трех перпендикулярах  MB AB. Тогда  MBO – угол наклона грани  AMB  к плоскости основания. Аналогично  MCO – угол наклона плоскости  CMD  к плоскости основания. По условию  MBO = ∠ MCO, а поэтому треугольник  ВМС –  равнобедренный и  МО  является высотой и медианой. Проведем  MF AD. Тогда  OF AD, а следовательно, OF AB, OF = AB. Тогда MFO – угол наклона грани  AMD  к плоскости основания. По условию, МFO = 30°. Пусть  АВ = а.
Из  ∆ MOF (O = 90°):
Откуда
Из   ∆ MOB (O = 90°):
Откуда
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

В треугольной пирамиде  ABCD  ребро

CD AD, CD BD, CD = 1,

двугранный угол при ребре  CD  равен 120°, а

AD = BD = √͞͞͞͞͞2.

Найдите величину двугранного угла при ребре  АВ.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Отрезок  CD  перпендикулярен двум пересекающимся прямым  BD  и  AD  плоскости  ABD, а значит, CD  перпендикулярен плоскости  ABD ADB = 120°, ∆ ADBравнобедренный.
Нужно найти величину двугранного угла при ребре  АВ. Для этого надо найти линейный угол этого двугранного угла, а стороны линейного угла перпендикулярны  АВ. Построим точку  К – середину ребра  АВ  и соединим её с точками  С  и  D.
D К – медиана  ADB, а значит, и высота. КВ СК.

СКD линейный угол двугранного угла при ребре  АВ.

Рассмотрим треугольник  DКВ, он прямоугольный, угол  DВК = 30°, а против угла в  30°  лежит катет равный половине гипотенузы, значит
Откуда  CKD = arctg√͞͞͞͞͞2

ОТВЕТ:  arctg√͞͞͞͞͞2

Задания к уроку 8
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий