Правильная пирамида.
Пирамида называется
правильной, если её основание – правильный многоугольник и высота пирамиды
проходит через центр этого многоугольника.
Апофемой
правильной пирамиды называется высота её боковой грани.
Площадь боковой
поверхности пирамиды (Sбок) – это сумма площадей её боковых граней. Для вычисления
площади боковой поверхности правильной пирамиды есть формула:
где P –
периметр основания, hбок –
апофема правильной пирамиды. Эта формула читается так:
Площадь боковой
поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания
на апофему пирамиды.
ПРИМЕР:
Рассмотрим развёртку четырёхугольной пирамиды, основание которой
– квадрат, а боковые грани – четыре равные равнобедренные треугольники.
Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна сумме
площадей четырёх треугольников. Так как они равны между собой, то, определив
площадь одного треугольника и умножив её на
4, найдём площадь боковой поверхности пирамиды.
Площадь полной
поверхности пирамиды вычисляется по формуле:
Sпир = Sбок + Sосн
Правильная четырёхугольная пирамида.
Правильная треугольная пирамида.
Правильная шестиугольная пирамида.
ЗАДАЧА:
Найдите боковую поверхность пирамиды, у которой площадь
основания Q,
а двугранные углы при основании φ.
РЕШЕНИЕ:
Пусть A1A2 … An
– многоугольник в основании пирамиды.
Проведем высоту пирамиды
МО. На основании теоремы
Площадь
ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади
на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Аналогично получим:
и т. д.
Сложив эти равенства почленно, в левой части получим
боковую поверхность пирамиды, а в правой – площадь основания Q,
поделённую на cos φ. Отсюда,
площадь боковой поверхности пирамиды равна:
ЗАДАЧА:
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к
плоскости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
Пусть SАВС – заданная правильная
пирамида,∠ SСК = α, SО – высота. Обозначим АВ = а. Проведем SК ⊥ АВ, СК ⊥ АВ. Итак ∠ SСК – искомый двухгранный угол.∠ SKO = arctg(2tgα).
ОТВЕТ: arctg(2tgα)
ЗАДАЧА:
Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
наклонено к плоскости основания под углом α.
Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
Пусть SАВСD – заданная правильная четырёхугольная пирамидаSО – её высота, ОА –
проекция SА на плоскость
основания. Поэтому ∠ SАO – угол наклона бокового ребра SА к плоскости основания, ∠ SАO = α. Проведём SК ⊥ DС. По теореме о трех перпендикулярах ОК
⊥ DС.
Тогда ∠ SКO – угол наклона боковой грани к
плоскости основания. Обозначим АD = а. Поскольку АВСD –
квадрат, тоОК
= 1/2 АD = 1/2 а.
Поскольку АС и ВD – диагонали квадрата, то
АС ⊥ ВD.
Из равнобедренного ∆ АОD (∠О = 90°):откуда∠ SKO = arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα).
ОТВЕТ: arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα)
ЗАДАЧА:
Высота правильной треугольной пирамиды равна 15
см, а апофема – 17 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
Пусть SАВСD – правильная пирамида,SO ⊥ (ABС), SO = 15 см, SE ⊥ AС,
SE = 17 см, AS = SC, поэтому AE = EC.Точка О –
центр равностороннего треугольника.Площадь
боковой поверхности:ОТВЕТ: 408√͞͞͞͞͞3
(см2)ЗАДАЧА:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2
см, а высота пирамиды –
2√͞͞͞͞͞2 см. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
SABCD – правильная четырёхугольная
пирамида, АВСD – квадрат,АВ = 2 см,
SO ⊥ (ABС),SО = 2√͞͞͞͞͞2 см, SN ⊥ СD,
CN
= ND = ON = 1/2 AB = 1/2∙ 2 = 1 (см).Площадь боковой поверхности:ОТВЕТ: 12 (см2)ЗАДАЧА:
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 4
см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
SABCD – правильная пирамида, SO – высота,сторона основания равна
4
см. Проведём SK ⊥ DC. По
теореме про три перпендикуляра OK ⊥ DC.
Тогда ∠SKO – угол наклона боковой грани до плоскости основания. По условию,
∠ SKO = 60°, OK = 1/2 AD = 2 (см).ОТВЕТ: 48 (см2)ЗАДАЧА:
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 см и
образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
SABCD – правильная пирамида,SA = 4 см, SO ⊥ (ABС). ∠SAO = 30°,Из ∆ AOS (∠О = 90°):
AO = SA
cos ∠SAO = 4 cos 30°
= 2√͞͞͞͞͞3 (см).
SO = 1/2 SA = 1/2 ∙ 4
= 2 (см).
SE ⊥ BС, поскольку SB = SC, то
BE = EC
и AE ⊥ BС,
AE =
AO : 2 ∙ 3 = 2√͞͞͞͞͞3 : 2 ∙ 3 = 3√͞͞͞͞͞3 (см).Площадь боковой поверхности: 
Комментариев нет:
Отправить комментарий