Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 27 марта 2018 г.

Урок 9. Правильная пирамида

ВИДЕОУРОК

Правильная пирамида.

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр этого многоугольника.

Апофемой правильной пирамиды называется высота её боковой грани.
Площадь боковой поверхности пирамиды  (Sбок) – это сумма площадей её боковых граней. Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды есть формула:
где  P – периметр основания, hбок – апофема правильной пирамиды. Эта формула читается так:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

ПРИМЕР:

Рассмотрим развёртку четырёхугольной пирамиды, основание которой – квадрат, а боковые грани – четыре равные равнобедренные треугольники.
Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна сумме площадей четырёх треугольников. Так как они равны между собой, то, определив площадь одного треугольника и умножив её на  4, найдём площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Sпир = Sбок + Sосн

Правильная четырёхугольная пирамида.
Правильная треугольная пирамида.
Правильная шестиугольная пирамида.
ЗАДАЧА:

Найдите боковую поверхность пирамиды, у которой площадь основания  Q, а двугранные углы при основании  φ.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  A1A2An – многоугольник в основании пирамиды.
Проведем высоту пирамиды  МО. На основании теоремы

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.
Аналогично получим:
и т. д.
Сложив эти равенства почленно, в левой части получим боковую поверхность пирамиды, а в правой – площадь основания  Q, поделённую на  cos φ. Отсюда, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

ЗАДАЧА:

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом  α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SАВС – заданная правильная пирамида,
SСК = α, SОвысота. Обозначим  АВ = а. Проведем  SК АВ, СК АВ. Итак  SСК – искомый двухгранный угол.
Из  ∆ SОК (О = 90°):
Поскольку  ∆ ABCравносторонний, то
тогда
Итак,
Откуда

SKO = arctg(2tgα).

ОТВЕТ:  arctg(2tgα)

ЗАДАЧА:

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом  α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SАВСD – заданная правильная четырёхугольная пирамида
SО – её высота, ОА – проекция  SА  на плоскость основания. Поэтому  SАO – угол наклона бокового ребра    к плоскости основания, SАO = α. Проведём  SК DС. По теореме о трех перпендикулярах  ОК . Тогда  SКO – угол наклона боковой грани к плоскости основания. Обозначим  АD = а. Поскольку  АВСD – квадрат, то

ОК = 1/2 АD = 1/2 а.

Поскольку  АС  и  ВD – диагонали квадрата, то  АС ВD.

Из равнобедренного  АОD (О = 90°):
откуда

SKO = arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα).

ОТВЕТ:  arctg(√͞͞͞͞͞2 tgα)

ЗАДАЧА:

Высота правильной треугольной пирамиды равна  15 см, а апофема – 17 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  SАВСD – правильная пирамида,
SO (ABС), SO = 15 см, SE AС,
SE = 17 см, AS = SC, поэтому AE = EC.
Точка  О – центр равностороннего треугольника.
Площадь боковой поверхности:
ОТВЕТ:  408√͞͞͞͞͞3  (см2)

ЗАДАЧА:

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна  2 см, а высота пирамиды2√͞͞͞͞͞2  см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, АВСD – квадрат,
АВ = 2 см, SO (ABС),

= 2√͞͞͞͞͞2  см, SN СD,

CN = ND = ON = 1/2 AB = 1/22 = 1 (см).
Площадь боковой поверхности:
ОТВЕТ:  12  (см2)

ЗАДАЧА:

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна  4 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом  60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

SABCD – правильная пирамида, SO – высота,
сторона основания равна  4 см. Проведём  SK DC. По теореме про три перпендикуляра  OK DC. Тогда  SKO – угол наклона боковой грани до плоскости основания. По условию,
SKO = 60°, OK = 1/2 AD = 2 (см).
ОТВЕТ:  48  (см2)

ЗАДАЧА:

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно  4 см  и образует с плоскостью основания угол  30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

SABCD – правильная пирамида,
SA = 4 см, SO (ABС). SAO = 30°,

Из  AOS (О = 90°):

AO = SA cos SAO = 4 cos 30° = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

SO = 1/2 SA = 1/2 4 = 2 (см).

SE BС, поскольку  SB = SC, то

BE = EC  и  AE BС,

AE = AO : 2 3 = 2√͞͞͞͞͞3  : 2 
∙ 3 = 3√͞͞͞͞͞3 (см).
Площадь боковой поверхности:

Sб = 3 1/2 BC SE = 3/2 6∙√͞͞͞͞͞= 9√͞͞͞͞͞7  (см2).

ОТВЕТ:  9√͞͞͞͞͞7 см2

Задания к уроку 9
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий