Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды

ВИДЕОУРОК

Пирамида, вписанная в конус.

Пирамидою, вписанною в конус, называется такая пирамида, основание которой будет многоугольник, который вписанный в окружность основания конуса, а вершиною будет вершина конуса.

При этом конус называют описанным вокруг пирамиды. Боковые рёбра пирамиды, вписанной в конус, будут образующими конуса.

Для того, чтобы вокруг пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые рёбра пирамиды имели одинаковую длину.

Свойства пирамиды, вписанной в конус, такие:

– конус можно описать вокруг пирамиды, если её основанием будет многоугольник, вокруг которого можно описать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности;

– радиус основания конуса равен радиусу окружности  R, описанного вокруг основания пирамиды, а высота конуса  Н  равна высоте пирамиды.

Пирамида, описанная вокруг конуса.

Касательной плоскостью конуса называется плоскость, которая проходит через образующую конуса и перпендикулярна плоскости осевого сечения, в котором находится образующая.

Пирамидой, описанной вокруг конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный вокруг основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

При этом конус называют вписанным в пирамиду. Плоскости боковых граней описанной пирамиды будут касательными плоскостями конуса.

Для того, чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность, а основание высоты пирамиды было центром этой окружности.

Выходя из вышесказанного, имеем свойства пирамиды, описанной вокруг конуса:

– конус можно вписать в пирамиду, если её основанием будет многоугольник, в который можно вписать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности;

– радиус основания конуса равен радиусу окружности  r, вписанной в основание пирамиды, а высота конуса  Н  равна высоте пирамиды.

ЗАДАЧА:

В треугольной пирамиде стороны основания равны  

13, 20  и  21, 

а каждое боковое ребро равно  36. Найдите боковую поверхность конуса, описанного вокруг пирамиды.

Боковая поверхность конуса

S_бок = πRL.

Образующая конуса равна боковому ребру вписанной в него пирамиды, то есть  L = 36. Радиус основания конуса  R  равен  радиусу окружности, описанного вокруг основания пирамиды.

По известной из планиметрии формулой находим

Тогда

S_бок = πRL = 390π.

ОТВЕТ:

S_бок = 390π ≈ 1225,22 (кв. ед.)

ЗАДАЧА:

Вокруг конуса, высота которого равна  10 см, описана пирамида, основанием которой является ромб с высотой  20 см  и острым углом  30°. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания и площадь боковой поверхности пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Поскольку пирамида описана вокруг конуса, то все ее боковые грани имеют равные высоты и наклонены к основанию под одинаковыми углами.

Проведем  МN  (образующую конуса, или высоту боковой грани пирамиды):  МN ⊥ АВ, ОN – ее проекция, следовательно  ОN ⊥ АВ  (по теореме о трех перпендикулярах). ОN – радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты ромба. ОN = 10 см.

∠ MNO – угол между образующей и основанием

∠ MNO = 60°, ∠ NМO = 30°,

MN = 20 cм, АD = 2 ∙ 2r = 40 (cм).

Площадь боковой поверхности пирамиды:

S_б = 4S_АМВ = 2 ∙ AB ∙ MN =

= 2 ∙ 40 ∙ 20 = 1600 (см²).

ЗАДАЧА:

Вокруг пирамиды, стороны основания которой равны  10 см, 10 см, 12 см, а высота  8 см, описан конус. Найти площадь осевого сечения конуса.

РЕШЕНИЕ:

Пусть радиус основания равен  R, а высота – Н. Тогда площадь осевого сечения конуса

S_п = ¹/₂ ∙ 2R ∙ H = RH.

Высота конуса равна высоте пирамиды, поэтому  Н = 8 см.

Радиус конуса найдем как радиус окружности, описанной вокруг треугольника со сторонами  10 см, 10 см, 12 см. Используем формулу:

где  а, b, с – стороны треугольника, S – его площадь.
По формуле Герона

Имеем

Тогда

Тогда

S_пер = 6,25 ∙ 8 = 50 (см²).

ЗАДАЧА:

В основе пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами  6 см  и  8 см, а двугранные углы при основании пирамиды равны  60°. Найти высоту конуса, вписанного в пирамиду

РЕШЕНИЕ:

Пусть в треугольную пирамиду с основанием  АВС  и вершиной  S  вписан конус. Основание высоты конуса точка  О – центр окружности, вписанной в  ∆ АВС.

Пусть точка  М – точка соприкосновения окружности, вписанной в  ∆АВС, к стороне  АВ. Обозначим  ОМ = R – радиус окружности, вписанной в  ∆ АВС, а также радиус основания конуса.

ОМ ⊥ АВ, по теореме о трех перпендикулярах  SМ ⊥ АВ, поэтому  ∠ SМО  линейный угол двугранного угла при ребре основания пирамиды. По условию ∠ SМО = 60°.

По известной формуле радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле

где  а, b – катеты, с – гипотенуза.

По условию  АВ = 6 см, ВС = 8 см – катеты.

Тогда гипотенуза:

SО – высота пирамиды и конуса
В  ∆OSM (∠O = 90°):

тогда ОS = 2tg 60° = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

ЗАДАЧА:

В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен  α. Найдите площадь полной поверхности вписанного конуса, если площадь основания пирамиды равна Q.

РЕШЕНИЕ:

В правильной четырехугольной пирамиде  SАВСD плоский угол при вершине равен  α, т.е. ∠ DSС = α.

В ее основании лежит квадрат  АВСD, площадь которого по условию равна  Q. Из формулы для вычисления площади квадрата найдем его сторону.

СD = √͞͞͞͞͞Q.

Точка  О – центр основания конуса, вписанного в данную пирамиду, тогда  ОМ – радиус конуса, поэтому  ОМ ⊥ СD, отсюда по теореме о трех перпендикулярах  SМ ⊥ СD. Исходя из этого, в  ∆ SDС высота  SМ  является его биссектрисой и медианой, отсюда  DМ = МС, ∠ СSМ = ^α/₂. По свойству правильных четырехугольников, описанных вокруг круга, имеем, что

тогда

Из  ∆ SMC (∠ SMC = 90°):

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:

S_{пов. кон.} = S_осн. + S_{бічн. кон.}, то есть

S _{пов. кон.} = π ∙ OM² + π ∙ OM ∙ SM,

ОТВЕТ:  ^πQ/₄ (ctg ^α/₂ + 1)

ЗАДАЧА:

Вокруг конуса с радиусом основания  6 см  и высотой  8 см  описана правильная треугольная пирамида. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть на рисунке изображен данный конус,

SО – отрезок оси, S – вершина, О – центр основания, r = 6 см, SО = 8 см. Вокруг конуса описана правильная треугольная пирамида   SАВС, ∆ АВС – правильный, описанный вокруг круга основания конуса, О – центр треугольника, SО есть высотой пирамиды, а все грани конуса касаются поверхности конуса. Обозначим сторону треугольника  а. Проведем апофему боковой граны  SАС:
SN – высота и медиана  ∆ АSС, N – середина  АС, ON – радиус окружности, вписанной в треугольник, – радиус конуса.

a = 12√͞͞͞͞͞3 см, AC = 12√͞͞͞͞͞3 см.

SN² = SO² + ON²,

SN² = 8² + 6² = 100,

SN = 10 см.

S_б = 3∙ ¹/₂ AC∙ SN =

= ³/₂∙12√͞͞͞͞͞3 ∙10 = 180√͞͞͞͞͞3 см².

ОТВЕТ:  180√͞͞͞͞͞3 см²

Задания к уроку 15

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 6. Прямругольный параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Пирамида
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 10. Усечённая пирамида
• Урок 11. Цилиндр
• Урок 12. Вписанная и описанная призмы
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 16. Сфера и шар
• Урок 17. Комбинация тел