Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 30 мая 2018 г.

Урок 17. Комбинация тел

ВИДЕОУРОК

Нами ранее уже рассмотрены простые геометрические тела: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Но в природе, техники и геометрии также рассматривают и комбинации указанных геометрических тел.

ПРИМЕР:
Шар называется вписанным в конус, усечённый конус и цилиндр, если поверхность шара касается плоскости основания этих фигур и всех их боковых поверхностей.




Шар называется описанным вокруг конуса, если поверхность шара проходит через вершину конуса, а окружность основания конуса лежит на поверхности шара.
Шар называется описанным вокруг цилиндра и усечённого конуса, если окружности их оснований лежат на поверхности шара.
Обратите внимание, что в конус всегда можно вписать шар, а вокруг цилиндра и усечённого конуса всегда можно описать шар.
Для других объёмных фигур условия вписать в них и описать вокруг них шар должны быть в каждом случае специально определены.

ЗАДАЧА:

В правильную четырёхугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а другие четыре – в плоскости её основания. Найдите ребро куба, если в пирамиде сторона основания равна  а  и высота  h.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображена пирамида  SABCD  с вписанным в неё кубом  MNPQM1N1P1Q1, четыре вершины которого лежат на боковых рёбрах пирамиды, а другие – в плоскости основания.
Обозначим ребро куба через  х, то есть  

MN = MM1 = x

Рассмотрим  подобные  SO1B  и   

SON (ON O1B)

Из подобия этих треугольников найдём
Учитывая, что  

SO1 = h, SO = hx,
получим
откуда
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Вокруг шара описан усечённый конус, образующая которого равна  а. Найти боковую поверхность конуса.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображёно основное сечение усечённого конуса с вписанным в него шаром.
По условию задачи  ВС = а. Обозначим  

О1В = R, а  О2C = r

Тогда используя свойство касательных к окружности, которые выходят из одной и той же самой точки, 

О2С = СМ  и  О1В = МВ, или  
О1В + О2С = СВ = а

то есть  R + r = а. Поэтому, боковая поверхность усечённого конуса равна
.
Sбок = π(R + r)а = πа2.

Многогранник, описанный вокруг шара.

Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным вокруг шара, если плоскости всех граней многогранника касаются шара.
Основные свойства призмы, описанной вокруг шара:

– шар можно вписать в прямую призму, если её основание – многогранник, в который можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности;
– центр шара будет серединой высоты призмы, которая соединяет центр окружностей, вписанных в многоугольники оснований призмы.
ЗАДАЧА:

Известно, что в треугольную призму, стороны основания которой равны  

13 см, 14 см  и  15 см, 

можно вписать шар. Найти радиус этого шара.

РЕШЕНИЕ:

Диаметр вписанного шара равен высоте призмы и в тоже время равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Поэтому радиус окружности, вписанной в основание призмы, равен радиусу шара.
Радиус окружности  r, вписанной в основание призмы, найдём по формуле
где  S – площадь треугольника основания, р – его полупериметр.
По формуле Герона
Поэтому, радиус шара также равен  4 см.

ОТВЕТ:  4 см.

Основные свойства пирамиды, описанной вокруг шара:

– если в пирамиде все двугранные углы при основании равны между собой, то в эту пирамиду можно вписать сферу; центр сферы принадлежит высоте пирамиды, точка касания шара с основанием пирамиды совпадает с центром вписанной в основание окружности, а точки касания с боковыми гранями принадлежат высотам этих граней;
– в любую правильную пирамиду можно вписать шар; центр шара принадлежит высоте пирамиды;
– центр шара, вписанного в правильную пирамиду, совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковою стороною которого будет апофемой правильной пирамиды, а высотою – высота пирамиды; радиус шара равен радиусу этой окружности.
ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде центры вписанного и описанного шара совпадают. Определите плоский угол при вершине пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная четырёхугольная пирамида  SАВС  и точка  О – центр вписанного в пирамиду и описанного вокруг неё шара.
Точка  О1 – центр окружности, описанной вокруг  ∆SВС. Тогда перпендикуляр из центра шара на плоскость  ∆SВС  попадает в точку  О1,  и  ОО1  будет радиусом вписанного в пирамиду шара.

ОВ = ОС = SО = R – радиусы описанного шара.
ОО2 = ОО1 = r – радиусы вписанного шара.

Тогда прямоугольные

ОО2В, ОО1В, ОО2С  и  ОО1С 

равны между собой. Из их равенства выходит, что 

ВО2 = СО2 = ВО1 = СО1  и 
ВО2С  и  ВО1С  равны.

В таком случае 

ВО2С = ВО1С = 90°.

Далее  1 = ВО1 = СО1  как радиусы окружности, описанной вокруг  SВС.
Из равнобедренного  ВО1S  по свойству внешнего угла

BSE = 1/2 BO1E

Тогда

BSC = 1/2 BO1C = 45°.

ОТВЕТ:  45°.

Многогранник, вписанный в шар.

Если шар находится в середине многогранника, то он называется вписанным, а если снаружи многогранника – внешне вписанным.
Шар называется описанным вокруг многогранника, а многогранник – вписанным в этот шар, если все вершины многогранника лежат на поверхности шара.
Основные свойства призмы, вписанной в шар:

– шар можно описать вокруг прямой призмы, если её основание будет многоугольник, вокруг которого можно описать окружность;
– центр шара будет серединой высоты призмы, которая соединяет центры окружностей, описанных вокруг многоугольников оснований призмы;
– основания призмы вписаны в равные параллельные сечения шара.

ЗАДАЧА:

Вокруг  правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна  5√͞͞͞͞͞3  см, описан шар. Радиус шара равен  13 см. Найти высоту призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть вокруг правильной треугольной призмы  АВСА1В1С1  описан шар.
QВ = RABC  – радиус окружности, описанной вокруг  АВС.
где  a = 5√͞͞͞͞͞3  см – сторона основания правильного треугольника  АВС.
Тогда
У  OQB, OB = R = 13 см – радиус шара, OQB = 90°.
Имеем
Поскольку точка  О – середина высоты призмы  QQ1 то 

QQ1 = 2×12 = 24 см.

ОТВЕТ:  24 см.

Основные свойства пирамиды, вписанной в шар:

– шар можно описать вокруг пирамиды, если её основанием будет многоугольник, вокруг которого можно описать окружность; центр шара, описанного вокруг пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проведённого через центр окружности, описанной вокруг основания;
– центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, лежит на прямой, которая совпадает с высотой пирамиды;
– центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, совпадает с центром окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, боковою стороной которого будет боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды; радиус шара равен радиусу этой окружности.
Напомним, что центр описанного шара может принадлежать высоте пирамиды, или лежать на её продолжении (то есть находиться либо в середине пирамиды, или за её пределами). Решая задачи способом, предложенным ниже, нет необходимости разглядывать два случая. При выбранном способе решения место размещения центра шара (в середине или вне пирамиды) не учитывается.

ЗАДАЧА:

Докажите, что радиус шара  R, описанного вокруг правильной пирамиды, можно найти по формуле
где  Н – высота пирамиды, r – радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть точка  О – центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды с высотой  ОК.
По условию  QK = R, КА = r  – радиус окружности описанной вокруг основания.
Продолжим  QK  до второго пересечения с шаром в точке  Q1.
Тогда  QQ1 = 2R – диаметр окружности, и поэтому 

QAQ1 = 90°  и  QQ1 – гипотенуза прямоугольного треугольника  QAQ1.
QKA (K = 90°)
AQ2 = QK2 + AK2
AQ2 = H2 + r2.

По свойству катета прямоугольного треугольника  QAQ1  имеем 

AQ2 = QQ1× QK, то есть  AQ2 = 2R × H.

Поэтому,  

AQ2 = H2 + r2  и  AQ2 = 2RH.

Откуда

H2 + r2 = 2RH,
что и требовалось доказать.

Применение тригонометрических функций к решению стереометрических задач.

ЗАДАЧА:

В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равняется  α. Высота  h  пирамиды является диаметром шара. Найти длину кривой пересечения их поверхностей и вычислить ее при  

α = 0,46 рад, h = 10,7 см.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная четырехугольная пирамида  SABCD  и шар  O1, диаметром которой служит высота пирамиды  SO = h, плоский угол при вершине пирамиды  BCD = α.
Найти длину линии, по которой поверхность шара пересекается с поверхностью пирамиды.
Искомая линия состоит из четырех ровных дуг кругов, по которым пересекаются плоскости боковых граней пирамиды с поверхностью шара.
Найдем длину дуги  B1C1, по которой грань пирамиды  BSC  пересекается с поверхностью шара.
Плоскость грани  BSC  пересекается с поверхностью по кругу, центр какого  O2  получим, опустив из центра шара перпендикуляр  O1O2  на плоскость этой грани.
Угол  B1SC1 = α  является вписанным в круг  O2  и опирается на дугу  B1C1, потому длина искомой дуги  B1C1  определяется по формуле

B1C1 = 2α r,

где  α – данный угол в радианах, а  r = O2S – радиус окружности  O2.
для определения радиуса  r  рассмотрим подобные прямоугольные

SO1O2   и  SOM.

Из подобия этих треугольников
откуда, учитывая

SO = h  и  SO1 = 1/2 h, находим
Апофему пирамиды  SM  определим так. Обозначим сторону основы пирамиды  ВС = 2х, тогда  ОМ = х. Из  ∆ВSM  имеем

SM = x ctg α/2.

Дальше из прямоугольного  SOM  по теореме Пифагора находим

SO2 + OM2 = SM2, или
h2 + x2 = x2ctg2 α/2.

Откуда
и, поэтому
Тогда
Подставляя найденное значение  r  в формулу для длины дуги  B1C1  имеем
Длина искомой линии пересечения поверхности пирамиды с поверхностью пули равняется учетверенной длине дуги  B1C1, поэтому окончательно получим
где  α  есть угол при вершине пирамиды, измеренный в радианах.
При  

h = 10,7 см  и  α = 0,46 рад, 

ограничиваясь при вычислении четырьмя значимыми цифрами, имеем

cos α/2 0,9737; 
cos α 0,8961;
√͞͞͞͞͞cos α 0,9466;
l 19,14 cм.

ОТВЕТ:  l 19,14 cм

Задания к уроку 17
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий