Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 18 марта 2019 г.

Урок 25. Графики функций y = sin и y = cos x.

ВИДЕО УРОК

График функции  у = sin x.

Построить график этой функции можно двумя способами.

Первый способ заключается в следующем: даём значения аргументу  х  и находим соответствующие значения функции  sin x. В результате получим следующую таблицу:
Далее, в прямоугольной системе координат
строим точки, соответствующие найденным парам значений  х  и  sin x, пользуясь одинаковыми масштабами по осям  Ох  и  Оу.

На основании уже установленных свойств функций  sin x  эти точки можно соединить плавной кривой и получится часть графика функции  у = sin x.

В дальнейшем при построении графика функции  у = sin x  будем ограничиваться только таблицей для пяти первых точек:

(0; 0), (π/8; 0,4), (π/4; 0,7), (3π/8; 0,9), (π/2; 1).

Следующие четыре точки получается на основании формулы

sin (π/2 + α) = sin (π/2 – α)

которая показывает, что график функции  у = sin x  симметричен относительно прямой, проходящей через точку оси  Ох  с абсциссой π/2   и параллельной оси  Оу.

Формула

sin (π + α) = –sin α

показывает, что точка  (π; 0)  является центром симметрии синусоиды (это подтверждает таблица). Сказанное даёт возможность построить вторую половину волны кривой, расположенную под осью  Ох.

На основании периодичности функции  sin x  полученный график может быть продолжен как влево, так и вправо.

Другой способ построения графика функции  у = sin x – геометрический.

Разобьём единичную окружность на произвольное число равных частей (например на  16)
и пометим концы дуг соответственно значениями

0, π/8, π/4, 3π/8, …, 2π.

Построим ординаты точек деления, то есть синусы соответствующих дуг.  Следует обратить внимание, что синусы дуг, оканчивающихся в точках, симметричных относительно оси  Оу, между собой равны, так как по формулам приведения имеем:
На основании этого можно ограничиться (что на практике и делается) построением ординат точек правого полукруга.

Пусть теперь данная окружность разрезана в точке с нулевым делением, спрямлена и отложена (вместе с нанесёнными на ней делениями) вправо от точки  О'  по направлению оси абсцисс. Для этого достаточно  16  раз отложить отрезок длиной в

2π/16 = π/8 ≈ 0,4.

выбранной единицы (напомним, что радиус единичной окружности равен единице длины, и потому длина всей окружности равна  2π, а длина её шестнадцатой части равна  π/8).

Примем точку  О'  за начало новой системы координат. Новую ось абсцисс  О'х  направим по старой  Ох. Новую ось ординат  О'у' направим параллельно старой  Оу.

После этого из точек деления спрямленной окружности мы восстановим лучи, перпендикулярные к оси  Ох  и направленные вверх для значений

0 ≤ х ≤ π

и вниз для

π ≤ х ≤ 2π.

Отложим на них соответствующие значения ординат, взятые из круга. Концы этих перпендикуляров определяются своими координатами: абсцисса – дуга, ордината – синус. Построение перпендикуляров можно заменить простым параллельным перенесением соответствующих ординат, проведённых в круге. Таким образом, получаем ряд точек. Соединив их плавной линией, получим график синусоиды.

Часть синусоиды, соответствующая одному полному обороту подвижного радиуса, например взятая в промежутке между  0  и  2π, называется волной. Её составляют две полуволны, два <<горба>>. Отрезок оси  О'х, на который опирается полуволна синусоиды, называют базой синусоиды. Благодаря тому, что масштаб по осям  О'х  и  О'у'  нами взят одинаковый, между максимальной её ординатой, равной единице, и базой, равной  π ≈ 3,14, существует определённое соотношение: база синусоиды в  π  раз больше её максимальной ординаты.

Синусоида представляет собой сплошную, без разрывов, кривую линию.
График функции  у = sin x  позволяет наглядно проследить свойства этой функции:
 промежутки, в которых функция возрастает одновременно с возрастанием аргумента
промежутки, в которых функция убывает с возрастанием аргумента
значения аргумента
при которых функция принимает максимальные значения  (+1);
 значения аргумента
при которых функция принимает минимальные значения  (–1);

значения аргумента  (kπ), при которых функция обращается в нуль (точки пересечения графика с осью  Ох) и так далее (k –любое целое число).

Рассмотрим ещё один способ построения графика  у = sin x.

Возьмём контрольные точки

(0; 0), (π/6; 1/2), (π/2; 1), (π; 0),

построим полуволну – график функции  у = sin x  на отрезке  [0; π].
Так как функция  у = sin x  нечётная, то, выполнив симметрию построенного графика относительно начала координат, получим график функции на отрезке  [–π; π].
Наконец, воспользовавшись периодичностью функции  у = sin x, можно построить график на всей области определения.
График функции  у = sin x  позволяет уловить некоторые тонкости в изменении этой функции. Например, кривая при выходе из начала координат довольно круто поднимается вверх, ординаты её значительно растут при возрастании абсцисс: по мере же приближения аргумента к  π/2 (90°)  ординаты растут медленно, подъём кривой мало заметен. Такого рода различия в характере изменения  sin x  вблизи нуля и вблизи  π/2  объясняют нам, почему табличные разности для синусов в тригонометрических таблицах уменьшаются по мере приближения аргумента к  π/2  (в то время как табличные разности углов вблизи нуля при изменении их на  1'  равны  0,0003, эти же разности вблизи  π/2  выражаются долями, меньшими  0,0001).

Некоторые свойства функции  у = sin x.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – отрезок  [–1; 1].

3. Функция периодическая, основной период равен  2π.

4. Непрерывность функции  у = sin x.

Функция  у = sin x  существует при всех действительных значениях  х, причём график её является сплошной кривой линией (без разрывов), то есть функция  у = sin x  непрерывна.

5. Функция  у = sin x  нечётная, и её график симметричен относительно начала координат.
6. Наибольшие и наименьшие значения. Все возможные значения функции  у = sin x  ограничены неравенствами

–1 ≤ sin x ≤ +1,

причём

sin x = +1,

если  х = π/2 + 2πn, и

sin x = –1,

если  х = 3π/2 + 2πn,

где  n = 0; ±1; ±2; … 

7. Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

sin x = 0,

если  х = πn,

(n = 0; ±1; ±2; …).

8. Интервалы возрастания и убывания.

Из графика функции  у = sin x
видно и из определения этой функции следует, что при изменении  х  от

– π/2 + 2πn ≤ x ≤ π/2 +2πn

(n = 0; ±1; ±2; …)

функция  sin x  возрастает от  –1  до  +1, принимая все промежуточные значения.

Это означает, что большему значению угла  х  из этого промежутка соответствует большее значение  sin x, то есть если

– π/2 ≤ х1 < х2 ≤ π/2

то

–1 ≤ sin х1 < sin х2 ≤ +1

Для всякого действительного значения  у, не превышающего по абсолютной величине  1, обязательно найдётся на промежутке

– π/2 ≤ x ≤ π/2

такой угол  х, и притом единственный, синус которого равен  у.

При изменении  х  от  π/2  до  3π/2

функция  sin x  убывает от  +1  до  –1, то есть большему значению  х  из этого промежутка  соответствует меньшее значение  sin x. При этом  sin x  принимает все промежуточные значения между  +1  и  –1.

Период функции  sin x  равен  2π. Поэтому можно к границам рассмотренного промежутка прибавить по  2πn.

π/2 + 2πn ≤ x ≤ 3π/2 +2πn

(n = 0; ±1; ±2; …)

 График функции  у = соs x.

Формулу приведения

соs x = sin (π/2 + х)

можно прочитать так: косинус любого угла равен синусу угла, на  π/2  большего, так что имеем:

соs 0 = sin π/2, соs π/8 = sin 5π/8,

соs π/4 = sin 3π/4, соs 3π/8 = sin 7π/8,

соs π/2 = sin π, соs 5π/8 = sin 9π/8.

На основании подмеченного свойства функции  соs x  построение графика этой функции сводится к следующему.

Возьмём такую же единичную окружность, как при построении графика функции  у = sin x, и разделим её на  16  равных частей 
На оси  Ох  точку  О'  примем за начало новой прямоугольной системы координат; при этом направление новой оси абсцисс  О'х   совпадает с направлением оси  Ох, а новая ось ординат  О'у' проходит параллельно оси  Оу.

 От точки  О'  вправо по оси  О'х  отложим  16  равных частей, каждая из которых равна  1/16  длины единичной  окружности. Концы делений слева направо помечены числами:

π/8, π/4, 3π/8, π/2, …, 2π.

Точке  О'  соответствует нулевое деление. Далее следует найти ординаты графика функции  соs x, соответствующие помеченным абсциссам. Вот здесь и используется равенство значений

соs x  и  sin (π/2 + х).

Поступаем следующим образом. Переносим по порядку параллельные ординаты концов следующих дуг окружности

π/2, 5π/8, 3π/4, 7π/8, π, …

в соответствующие точки, имеющие на оси  О'х  абсциссы:

0, π/8, π/4, 3π/8, π/2, …

Каждой паре полученных значений абсциссы и ординаты соответствует единственная точка, принадлежащая графику функции  у = соs x.

Соединив построенные точки плавной линией, получим график косинусоиды. Косинусоида представляет собой синусоиду, смещённую вдоль оси  О'х  влево на  π/2.

На основании этого заключаем, что график функции  у = соs x  может быть получен и следующим образом.

Строим в некоторой прямоугольной системе координат с осями  Ох  и  Оу  график функции  у = sin x; после этого переносим начало координат в точку  О'(π/2, 0)  и принимаем за новую ось абсцисс прямую  О'х, положительное направление которой совпадает с положительным направлением оси  Ох, а за новую ось ординат прямую  О'у', параллельную  Оу.
Любая ордината этой кривой выражает собой синус угла, отсчитанного по оси  Ох  от точки  О, или косинус угла, отсчитанного по оси  О'х  от точки  О'.

Из графика функции  у = соs x  видно, что  соs x  убывает от  1  до –1  на любом промежутке возрастания  х  от  2kπ  до  π + 2kπ  и возрастает от  –1  до  +1  на любом промежутке возрастания  х  от  2kπ + π  до  2(k + 1)π; соs x  принимает максимальные значения  (+1)  при  х = 2kπ  и минимальные значения  (–1)  при  х = π + 2kπ; соs x  при  х = π/2 + kπ  обращается в нуль  (k – любое целое число).

График функции  у = cos x  легко получить из графика функции  у = sin x.

При любом   х, согласно формуле, имеем

y = cos x = sin (x + π/2).

Следовательно, вместо значения косинуса можно взять значение синуса, увеличив аргумент на  π/2, то есть графиком функции  y = cos x  служит та же синусоида, но передвинутая на  π/2  влево по оси абсцисс.
Некоторые свойства функции  y = cos x.

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Область значений – отрезок  [–1; 1].

3. Функция периодическая, основной период равен  2π.

4. Функция  y = cos x  чётная, и её график симметричен относительно оси ординат.

5. Наибольшие и наименьшие значения. Все возможные значения функции  у = cos x  ограничены неравенствами

–1 ≤ cos x ≤ +1,

причём

cos x = +1,

если  х = 2πn, и

cos x = –1,

если  х = (2n + 1)πn,

где  n = 0; ±1; ±2; … 

6. Нулевые значения (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).

cos x = 0,

если  х = π/2 (2n + 1),

(n = 0; ±1; ±2; …).

7. Интервалы возрастания и убывания.

Из графика функция  у = cos x
видно и из определения её следует, что при изменении аргумента  х  от  0  до  π  функция  cos x  убывает от  +1  до  –1, принимая все промежуточные значения. Это означает, что:

большему значению из этого промежутка соответствует меньшее значение  cos x, то есть если

0 ≤ х1 < х2 ≤ π

то

+1 ≥ cos х1 > cos х2 ≥ –1.

Всякому значению функции  у, удовлетворяющему неравенствам

–1 ≤ у ≤ +1,

соответствует единственное значение аргумента  х, удовлетворяющее неравенствам

π ≥ х ≥ 0,

такое, что

cos x = у.

При изменении  х  от  π  до  2π  функция  cos x  возрастает от  –1  до  +1, то есть большему значению аргумента  х  из указанного промежутка соответствует большее значение функции  cos x. При этом  cos x  принимает все промежуточные значения от  –1  до  +1.

Период функции  соs x  равен  2π. Поэтому можно к границам рассмотренного промежутка прибавить по  2πn.

π + 2πn ≤ x ≤ 2π +2πn

(n = 0; ±1; ±2; …)

Задания к уроку 25

ДРУГИЕ УРОКИ

на

Комментариев нет:

Отправить комментарий