Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 8 июня 2019 г.

Урок 14. Теорема синусов

ВИДЕО УРОК

Теорема синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам) вычислить остальные элементы треугольника.

Во всяком треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная (для данного треугольника), равная длине диаметра описанной около треугольника окружности.

Или, другими словами:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.
где  а, b, с – стороны треугольника А, В, С обозначают ответственно  ∠ А, ∠ В, ∠ С.
Возьмём треугольник  АВС, длины сторон которого обозначим буквами  а, b, с, а величины противолежащих углов – соответственно буквами  А, В, С. Опишем вокруг треугольника  АВС  окружность. Пусть  R = ОС – радиус окружности.
Проведём диаметр  CD = 2R  и соединим вершину  В  с точкой  D. Получим треугольник  CBD  в котором угол  В  прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр  CD. Углы  ∠ BDC  и  ∠ BAC, как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу  CMB, равны между собой.

Так как  CD = 2R  и  ∠ BDC = ∠ BAC = A, то из прямоугольного треугольника  CBD  имеем: 

а = 2R sin A.

Отсюда получаем:
Подобные же соотношения получим и для других сторон и противолежащих им углов треугольника, сделав соответствующие построения:
Объединяя эти три равенства, получим:
Доказанные соотношения имеют место и в случае тупоугольного треугольника.
 Предположим, что в треугольнике  АВС угол  А – тупой.
Тогда проводим диаметр  СD  и соединяем вершину  В  треугольника  АВС  с точкой  D. Из прямоугольного треугольника  ВСD  находим:

BC = CD sin ∠ BDC.

Но угол  ВDС   в сумме с углом  А  составляет  180°  как противоположные углы выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, а потому  ∠ BDC = 180° – A. Поэтому

BC = CD sin ∠ (180° – A),

или

a = 2R sin A.

Отсюда имеем те же соотношения.
Эти соотношения имеют место и для прямоугольного треугольника.

Ряд равных отношений может быть записан и так:

a : b : c = sin A : sin B : sin C.

Теорему синусов можно вывести с помощью формулы, выражающей площадь треугольника.
Рассмотрим треугольник  АВС  со сторонами  а, b, с  и углами  α, β, γ.
 Запишем формулы для вычисления площади данного треугольника:
Откуда
Тогда
или
Из этих равенств следует:
Итак, доказана теорема, которая называется теоремой синусов:

ЗАДАЧА:

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника  АВС, равен  6 см. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника  АОС, где  О – точка пересечения биссектрис треугольника  АВС, если  ∠ АВС = 60°.

РЕШЕНИЕ:

По следствию из теоремы синусов
R1 – радиус окружности, описанной вокруг треугольника  АОС.
ОТВЕТ:  6 см.

ЗАДАЧА:

На стороне  ВС  треугольника  АВС  обозначили точку  D. Найдите отрезок  ВD, если

∠ С = 90°,

∠ ВАС = α,

∠ ВАD = β,

АВ = с.

РЕШЕНИЕ:

Треугольник  АВС – заданный,

∠ В = 90° – α.

∠ ВDА = 180° – β – (90° – α) =

= 90° + α – β.

Из ∆ АDВ:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Отрезок  АD – биссектриса треугольника  АВС,

АD = а,

∠ С = 90°, 

∠ ВАС = α.

Найдите отрезок  ВD.

РЕШЕНИЕ:

ВD – биссектриса угла  А, поэтому

∠ САD = ∠ DАВ = α/2.
В  ∆ ВСА (∠ С = 90°):

∠ В = 90° – α.

Из ∆ АВD:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Основание треугольника равно  10 см, один из углов при основании равен  45°, а противолежащий основанию угол равен  60°. Найдите сторону противолежащую углу в  45°.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомая сторона – х см. Тогда по теореме синусов имеем:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:

∠ А = 45°, ∠ С = 15°, ВС = 4√͞͞͞͞͞6.

Найти  АС.

РЕШЕНИЕ:

Пользуясь теоремой о сумме углов треугольника

∠ А + ∠ В + ∠ С = 180°,

Найдём угол  В:

∠ В = 180° – 45° – 15° = 120°.

Сторону  АС  найдём по теореме синусов:
ОТВЕТ:  АС = 12

ЗАДАЧА:

В треугольнике  КМN:

∠ K = 80°,

∠ N = 40°,

КN = 6 см.

Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Из теоремы о сумме углов треугольника, найдём неизвестный угол треугольника:

∠ М = 180° – ∠ К – ∠ N.

Подставляя значения известных углов, получим:

∠ М = 180° – ∠ 80° – ∠ 40°,

∠ М = 60°.

Далее по расширенной теореме синусов
Выразим из последнего равенства радиус описанной окружности:
Подставляя значение стороны и угла, получим:
ОТВЕТ:  R = 2√͞͞͞͞͞3 см

ЗАДАЧА:

Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны  10 см  и  8 см. Найти угол, который расположен против данного катета.

РЕШЕНИЕ:

В прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы находится угол, равный  90°. Примем неизвестный угол за  х. Тогда соотношение сторон треугольника выглядит следующим образом:
Следовательно:
Значит 

х ≈ 53,1°.

ОТВЕТ:  х ≈ 53,1°

Задания к уроку 14

ДРУГИЕ УРОКИ

на

Комментариев нет:

Отправить комментарий