Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 8 июня 2019 г.

Урок 14. Теорема синусов

ВИДЕО УРОК

Теорема синусов позволяет по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам) вычислить остальные элементы треугольника.

Во всяком треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная (для данного треугольника), равная длине диаметра описанной около треугольника окружности.

Или, другими словами:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.
где  а, b, с – стороны треугольника А, В, С обозначают ответственно  А, В, С.
Возьмём треугольник  АВС, длины сторон которого обозначим буквами  а, b, с, а величины противолежащих углов – соответственно буквами  А, В, С. Опишем вокруг треугольника  АВС  окружность. Пусть  R = ОС – радиус окружности.
Проведём диаметр  CD = 2R  и соединим вершину  В  с точкой  D. Получим треугольник  CBD  в котором угол  В  прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр  CD. Углы   BDC  и  BAC, как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу  CMB, равны между собой.

Так как  CD = 2R  и  BDC = BAC = A, то из прямоугольного треугольника  CBD  имеем: 

а = 2R sin A.

Отсюда получаем:
Подобные же соотношения получим и для других сторон и противолежащих им углов треугольника, сделав соответствующие построения:
Объединяя эти три равенства, получим:
Доказанные соотношения имеют место и в случае тупоугольного треугольника.
Предположим, что в треугольнике  АВС угол  А – тупой.
Тогда проводим диаметр 
СD  и соединяем вершину  В  треугольника  АВС  с точкой  D. Из прямоугольного треугольника  ВСD  находим:

BC = CD sin BDC.

Но угол  ВDС   в сумме с углом  А  составляет  180°  как противоположные углы выпуклого четырёхугольника, вписанного в окружность, а потому  BDC = 180° – A. Поэтому

BC = CD sin (180° – A),

или

a = 2R sin A.

Отсюда имеем те же соотношения.
Эти соотношения имеют место и для прямоугольного треугольника.

Ряд равных отношений может быть записан и так:

a : b : c = sin A : sin B : sin C.

Теорему синусов можно вывести с помощью формулы, выражающей площадь треугольника.
Рассмотрим треугольник  АВС  со сторонами  а, b, с  и углами  α, β, γ.
Запишем формулы для вычисления площади данного треугольника:
Откуда
Тогда
или
Из этих равенств следует:
Итак, доказана теорема, которая называется теоремой синусов:

ЗАДАЧА:

Радиус окружности, описанной вокруг треугольника  АВС, равен  6 см. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника  АОС, где  О – точка пересечения биссектрис треугольника  АВС, если  АВС = 60°.

РЕШЕНИЕ:

По следствию из теоремы синусов
R1 радиус окружности, описанной вокруг треугольника  АОС.
ОТВЕТ:  6 см.

ЗАДАЧА:

На стороне  ВС  треугольника  АВС  обозначили точку  D. Найдите отрезок  ВD, если

С = 90°,

ВАС = α,

ВАD = β,

АВ = с.

РЕШЕНИЕ:

Треугольник  АВС – заданный,

В = 90° – α.

В = 180° – β – (90° – α) =

= 90° + αβ.

ИзА:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Отрезок  АDбиссектриса треугольника  АВС,

АD = а,

С = 90°

ВАС = α.

Найдите отрезок  ВD.

РЕШЕНИЕ:

ВDбиссектриса угла  А, поэтому

САD = DАВ = α/2.
В  ВСА (С = 90°):

В = 90° – α.

ИзАВD:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

Основание треугольника равно  10 см, один из углов при основании равен  45°, а противолежащий основанию угол равен  60°. Найдите сторону противолежащую углу в  45°.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомая сторона – х см. Тогда по теореме синусов имеем:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:

В треугольнике  АВС:

А = 45°, С = 15°, ВС = 4√͞͞͞͞͞6.

Найти  АС.

РЕШЕНИЕ:

Пользуясь теоремой о сумме углов треугольника

А + В +С = 180°,

Найдём угол  В:

В = 180° – 45° – 15° = 120°.

Сторону  АС  найдём по теореме синусов:
ОТВЕТ:  АС = 12

ЗАДАЧА:

В треугольнике  КМN:

K = 80°,

N = 40°,

КN = 6 см.

Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

РЕШЕНИЕ:

Из теоремы о сумме углов треугольника, найдём неизвестный угол треугольника:

М = 180° –К – N.

Подставляя значения известных углов, получим:

М = 180° –80°40°,

М = 60°.

Далее по расширенной теореме синусов
Выразим из последнего равенства радиус описанной окружности:
Подставляя значение стороны и угла, получим:
ОТВЕТ:  R = 2√͞͞͞͞͞3 см

ЗАДАЧА:

Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны  10 см  и  8 см. Найти угол, который расположен против данного катета.

РЕШЕНИЕ:

В прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы находится угол, равный  90°. Примем неизвестный угол за  х. Тогда соотношение сторон треугольника выглядит следующим образом:
Следовательно:
Значит 

х 53,1°.

ОТВЕТ:  х 53,1°

Задания к уроку 14

ДРУГИЕ УРОКИ

Комментариев нет:

Отправить комментарий