Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 22 июня 2014 г.

Урок 10. Делимость натуральных чисел

ВИДЕО УРОК
Понятие делимость чисел помогает изучать дроби, а также поможет нам узнать делится одно число на другое "нацело" или нет. Деление иногда выполняется без остатка, или, как, говорят, "нацело", а иногда с остатком. Возникают вопросы: какими должны быть данные числа, чтобы они могли разделиться без остатка одно на другое ? Можно ли по каким-нибудь признакам этих чисел установить, что деление в данном случае выполнимо ?

Если одно число делится без остатка на другое, то первое называется кратным второго, а второе – делителем первого.

ПРИМЕР:

Число  6  будет кратно  3  (трём), а само число  3  будет делителем  6  (шести).

Число может быть кратно нескольким числам.

ПРИМЕР:

Число  36  кратно числам: 

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, и  36.

Числа, делящиеся на  2, называются чётными. Число нуль тоже относится к чётным числам. Все же остальные числа называются нечётными.

Делимость суммы.

Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится на это число.

ПРИМЕР: 

14  делится на  7,  и  21  делится на  7, значит их сумма 

14 + 21 = 35 

тоже делится на  7.

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на некоторое число, а это одно на него не делится, то сумма всех этих слагаемых на него не разделится.

ПРИМЕР:

Проверим, разделиться ли число  150  на  14. Представим  150  следующим образом:

150 = 140 + 10.

Первое слагаемое этой суммы (140)  делится на  14, но так как второе слагаемое, т. е.  10, на  14  не делится, то и  150  на  14  не разделится.
Если же два или больше слагаемых не делится на какое-нибудь число, то о делимости суммы нельзя сказать ничего определённого: в одних случаях она делится, а в других не делится на данное число.

ПРИМЕР:

13  и  7  не делятся ни на  5, ни на  6;
сумма  13 + 7  делится на  5, но не делится на  6.

Делимость разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делится нацело на какое-нибудь число, то и разность разделится на это же число.      

ПРИМЕР: 

45  делится на  9,  и  18  делится на  9, значит их разность  45 – 18 = 27  тоже делится на  9.

Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое – делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.

Если ни уменьшаемое, ни вычитаемое не делятся на данное число, то разность их может делиться, а может и не делиться на это же число.

ПРИМЕР:

100  и  30  не делятся ни на  7  ни на  13. Их разность 

100 – 30 

делится на  7, но на  13  не делится.

Делимость произведения на число и числа на произведение.

Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

Если же ни один из сомножителей не делится на данное число, то из этого ещё не следует, что на данное число не разделится и их произведение.

ПРИМЕР:

Ни  15, ни  10  не делится на  6, а их произведение 

15 × 10 

на  6  делится.

Если данное число делится на произведение, то оно делится также на каждый из сомножителей этого произведения.

Обратное утверждение ошибочно. Если какое-нибудь число делится в отдельности на несколько данных чисел, то на произведение оно может и не разделиться.

ПРИМЕР:

180  делится и на  5, и на  9, и на  6, но на произведение 

5 × 9 × 6 

оно не делится.

Если же данное число делится на несколько попарно взаимно простых чисел (см. ниже), то оно делится и на их произведение.

ПРИМЕР:

180  делится на  5, 3,  и  4;
эти числа попарно взаимно простые, поэтому  180  делится и на произведение 

5 × 3 × 4.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Признак делимости на  2.

На  2  делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются чётной цифрой.

ПРИМЕР:

Число  140  делится на  2, так как оно оканчивается чётной цифрой.
Число  1306  делится на  2, так как оно оканчивается чётной цифрой.

Признак делимости на  3.

На  3  делятся все те, и только те числа, у которых сумма цифр делится на  3.

ПРИМЕР:

Число  31521  делится на  3, так как сумма его цифр 

3 + 1 + 5 + 2 + 1 = 12 

делится на  3.

Признак делимости на  4.

На  4  делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на  4.

ПРИМЕР:

Число  4600  делится на  4, так как оно оканчивается двумя нулями.
Число  1264  делится на  4, так как  64  делится на  4.

Признак делимости на  5.

На  5  делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются  0  или цифрой  5.

ПРИМЕР:

Число  2035  делится на  5, так как оканчивается цифрой  5.

Признак делимости на  6.

На  6  делятся все те, и только те числа, которые делятся на  2  и на  3.

ПРИМЕР:

Число  31242  делится на  6, так как оно делится на  2  и на  3  (а числа  2  и  3  не имеют общих множителей, больше  1).

Признак делимости на  8.

На  8  делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями, а также у которых три последние цифры выражают число, делящееся на  8.   

ПРИМЕР:

Число  3279000  делится на  8, так как оно оканчивается тремя нулями.
Число  5248  делится на  8, так как  248  делится на  8.

Признак делимости на  9.

На  9  делятся все те, и только те числа, у которых сумма цифр делится на  9.

ПРИМЕР:

Число  5193  делится на  9, так как сумма его цифр

5 + 1 + 9 + 3 = 18

делится на  9.
Это число делится также и на  3  (если число делится на  9, то, естественно, оно делится и на  3).

Признак делимости на  10.      

На  10  делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются нулями.

ПРИМЕР:

Число  2350  делится на  10.

Признак делимости на  12.

На  12  делятся все те, и только те числа, которые делятся на  3  и на  4.

Но не на  2  и на  6, так как  2  и  6  имеют общий множитель, поэтому, 18  делится и на  2, и на  6, но не делится на  12.

ПРИМЕР:

Число  216  делится на  12, так как оно делится на  3  и на  4.

Признак делимости на  18.

На  18  делятся все те, и только те числа, которые делятся на  2  и на  9.

ПРИМЕР:

Число  9396  делится на  18, так как оно делится на  2  и на  9.

Признак делимости на  25.

На  25  делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на  25.

ПРИМЕР:

Число  1275  делится на  25, 
так как  75  делится на  25. 

Признак делимости на  125.

На  125  делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся на  125.

ПРИМЕР:

Число  3279000  делится на  125, так как оно оканчивается тремя нулями.   

Признак делимости на  7, 11  и  13.

На  7, 11  или  13  делятся те и только те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными  цифрами (или наоборот), лелится соответственно на  7, на 11  или на  13.

ПРИМЕР:

Число  253253   делится и на  7, и на  11, и на  13, так как разность

253 – 253 = 0,

а нуль делится на любое число (не равное нудю).
Число  253264  делится на  11, но не делится ни на  7, ни на  13, так как разность

264 – 253 = 11

делится на  11, но не делится ни на  7, ни на  13.
Число  1208965  не делится ни на  7, ни на  11, ни на  13, так как разность 

1208 – 965 = 243

не делится ни на одноиз этих чисел.

Простые и составные числа.

Всякое число (здесь имеются в виду только натуральные числа) делятся на единицу и само на себя. Существуют числа, которые делятся не только на единицу и сами на себя, но имеют ещё и другие делители.

ПРИМЕР:

Число  12, кроме  1  и  12, имеет ещё делители: 2, 3, 4, 6.

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым.

Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но ещё и на другие числа, называется составным (сложным).    

Число  1  не причисляется ни к простым, ни к составным числам, оно занимает особое положение.

Разложение чисел на простые множители.

Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом. Это значит, что если, например, число  20  разложилось на две двойки и одну пятерку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнем ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т.е. с двоек, троек и т.д. Это удобнее потому, что о делимости числа на  2, на  3, на  5  легче судить, чем о делимости его, например, на  37 или  53.

ПРИМЕР:

Разложим на простые множители число  1260. Проведем правее этого числа вертикальную черту и за ней напишем первый его наименьший делитель, больший единицы. Это будет  2.

1260 | 2

Разделим наше число на  2  и напишем частное  630  левее черты под данным числом. Найдем теперь наименьший делитель для  630,

630 | 2

разделим на него это число, а частное запишем опять слева. Делитель будет  2, а частное  315. Дальнейшее действия выполняются совершенно так же.

315 | 3 
105 | 3
35 | 5

В конце мы получаем в частном простое число (7), делим его на  7  и находим последнее частное (1).

7 | 7
1 |

Значит,

1260 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7.

ПРИМЕР:

Разложить на простые множители  5600.
Замечаем, что 

5600 = 56 × 100.

Число  56  равно произведению  7 × 8, следовательно, равно произведению трёх двоек и одной семёрки. Число  100  равно произведению двух двоек и двух пятёрок. Поэтому

5600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7.      

Среди сомножителей разложения могут быть и равные числа. В таких случаях упрощают записи, используя понятие степени.

ПРИМЕР:

 5600 = 25 × 52 × 7.

Такая запись числа в виде произведения степеней разных простых чисел называется каноническим разложением данного числа.

 Задания к уроку 10
ДРУГИЕ УРОКИ
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий