Урок 10. Делимость натуральных чисел

воскресенье, 22 июня 2014 г.

Урок 10. Делимость натуральных чисел

ВИДЕО УРОК

Понятие делимость чисел помогает изучать дроби, а также поможет нам узнать делится одно число на другое "нацело" или нет. Деление иногда выполняется без остатка, или, как, говорят, "нацело", а иногда с остатком. Возникают вопросы: какими должны быть данные числа, чтобы они могли разделиться без остатка одно на другое ? Можно ли по каким-нибудь признакам этих чисел установить, что деление в данном случае выполнимо ?

Если одно число делится без остатка на другое, то первое называется кратным второго, а второе – делителем первого.

ПРИМЕР:

Число 6 будет кратно 3 (трём), а само число 3 будет делителем 6 (шести).

Число может быть кратно нескольким числам.

ПРИМЕР:

Число 36 кратно числам:

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, и 36.

Числа, делящиеся на 2, называются чётными. Число нуль тоже относится к чётным числам. Все же остальные числа называются нечётными.

Делимость суммы.

Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится на это число.

ПРИМЕР:

14 делится на 7, и 21 делится на 7, значит их сумма

14 + 21 = 35

тоже делится на 7.

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на некоторое число, а это одно на него не делится, то сумма всех этих слагаемых на него не разделится.

ПРИМЕР:

Проверим, разделиться ли число 150 на 14. Представим 150 следующим образом:

150 = 140 + 10.

Первое слагаемое этой суммы (140) делится на 14, но так как второе слагаемое, т. е. 10, на 14 не делится, то и 150 на 14 не разделится.
Если же два или больше слагаемых не делится на какое-нибудь число, то о делимости суммы нельзя сказать ничего определённого: в одних случаях она делится, а в других не делится на данное число.

ПРИМЕР:

13 и 7 не делятся ни на 5, ни на 6;

сумма 13 + 7 делится на 5, но не делится на 6.

Делимость разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делится нацело на какое-нибудь число, то и разность разделится на это же число.

ПРИМЕР:

45 делится на 9, и 18 делится на 9, значит их разность 45 – 18 = 27 тоже делится на 9.

Если только одно из чисел – уменьшаемое или вычитаемое – делится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число.

Если ни уменьшаемое, ни вычитаемое не делятся на данное число, то разность их может делиться, а может и не делиться на это же число.

ПРИМЕР:

100 и 30 не делятся ни на 7 ни на 13. Их разность

100 – 30

делится на 7, но на 13 не делится.

Делимость произведения на число и числа на произведение.

Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число.

Если же ни один из сомножителей не делится на данное число, то из этого ещё не следует, что на данное число не разделится и их произведение.

ПРИМЕР:

Ни 15, ни 10 не делится на 6, а их произведение

15 × 10

на 6 делится.

Если данное число делится на произведение, то оно делится также на каждый из сомножителей этого произведения.

Обратное утверждение ошибочно. Если какое-нибудь число делится в отдельности на несколько данных чисел, то на произведение оно может и не разделиться.

ПРИМЕР:

180 делится и на 5, и на 9, и на 6, но на произведение

5 × 9 × 6

оно не делится.

Если же данное число делится на несколько попарно взаимно простых чисел (см. ниже), то оно делится и на их произведение.

ПРИМЕР:

180 делится на 5, 3, и 4;

эти числа попарно взаимно простые, поэтому 180 делится и на произведение

5 × 3 × 4.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Признак делимости на 2.

На 2 делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются чётной цифрой.

ПРИМЕР:

Число 140 делится на 2, так как оно оканчивается чётной цифрой.

Число 1306 делится на 2, так как оно оканчивается чётной цифрой.

Признак делимости на 3.

На 3 делятся все те, и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.

ПРИМЕР:

Число 31521 делится на 3, так как сумма его цифр

3 + 1 + 5 + 2 + 1 = 12

делится на 3.

Признак делимости на 4.

На 4 делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.

ПРИМЕР:

Число 4600 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями.

Число 1264 делится на 4, так как 64 делится на 4.

Признак делимости на 5.

На 5 делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются 0 или цифрой 5.

ПРИМЕР:

Число 2035 делится на 5, так как оканчивается цифрой 5.

Признак делимости на 6.

На 6 делятся все те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 3.

ПРИМЕР:

Число 31242 делится на 6, так как оно делится на 2 и на 3 (а числа 2 и 3 не имеют общих множителей, больше 1).

Признак делимости на 8.

На 8 делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями, а также у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 8.

ПРИМЕР:

Число 3279000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями.

Число 5248 делится на 8, так как 248 делится на 8.

Признак делимости на 9.

На 9 делятся все те, и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

ПРИМЕР:

Число 5193 делится на 9, так как сумма его цифр

5 + 1 + 9 + 3 = 18

делится на 9.

Это число делится также и на 3 (если число делится на 9, то, естественно, оно делится и на 3).

Признак делимости на 10.

На 10 делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются нулями.

ПРИМЕР:

Число 2350 делится на 10.

Признак делимости на 12.

На 12 делятся все те, и только те числа, которые делятся на 3 и на 4.

Но не на 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель, поэтому, 18 делится и на 2, и на 6, но не делится на 12.

ПРИМЕР:

Число 216 делится на 12, так как оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 18.

На 18 делятся все те, и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.

ПРИМЕР:

Число 9396 делится на 18, так как оно делится на 2 и на 9.

Признак делимости на 25.

На 25 делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 25.

ПРИМЕР:

Число 1275 делится на 25,
так как 75 делится на 25.

Признак делимости на 125.

На 125 делятся все те, и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся на 125.

ПРИМЕР:

Число 3279000 делится на 125, так как оно оканчивается тремя нулями.

Признак делимости на 7, 11 и 13.

На 7, 11 или 13 делятся те и только те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), лелится соответственно на 7, на 11 или на 13.

ПРИМЕР:

Число 253253 делится и на 7, и на 11, и на 13, так как разность

253 – 253 = 0,

а нуль делится на любое число (не равное нудю).

Число 253264 делится на 11, но не делится ни на 7, ни на 13, так как разность

264 – 253 = 11

делится на 11, но не делится ни на 7, ни на 13.

Число 1208965 не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13, так как разность

1208 – 965 = 243

не делится ни на одноиз этих чисел.

Простые и составные числа.

Всякое число (здесь имеются в виду только натуральные числа) делятся на единицу и само на себя. Существуют числа, которые делятся не только на единицу и сами на себя, но имеют ещё и другие делители.

ПРИМЕР:

Число 12, кроме 1 и 12, имеет ещё делители: 2, 3, 4, 6.

Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и само на себя, называется простым.

Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но ещё и на другие числа, называется составным (сложным).

Число 1 не причисляется ни к простым, ни к составным числам, оно занимает особое положение.

Разложение чисел на простые множители.

Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом. Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятерку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнем ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т.е. с двоек, троек и т.д. Это удобнее потому, что о делимости числа на 2, на 3, на 5 легче судить, чем о делимости его, например, на 37 или 53.

ПРИМЕР:

Разложим на простые множители число 1260. Проведем правее этого числа вертикальную черту и за ней напишем первый его наименьший делитель, больший единицы. Это будет 2.

1260 | 2

Разделим наше число на 2 и напишем частное 630 левее черты под данным числом. Найдем теперь наименьший делитель для 630,

630 | 2

разделим на него это число, а частное запишем опять слева. Делитель будет 2, а частное 315. Дальнейшее действия выполняются совершенно так же.

315 | 3

105 | 3

35 | 5

В конце мы получаем в частном простое число (7), делим его на 7 и находим последнее частное (1).

7 | 7

1 |

Значит,

1260 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7.

ПРИМЕР:

Разложить на простые множители 5600.

Замечаем, что

5600 = 56 × 100.

Число 56 равно произведению 7 × 8, следовательно, равно произведению трёх двоек и одной семёрки. Число 100 равно произведению двух двоек и двух пятёрок. Поэтому

5600 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7.

Среди сомножителей разложения могут быть и равные числа. В таких случаях упрощают записи, используя понятие степени.

ПРИМЕР:

5600 = 2⁵ × 5² × 7.

Такая запись числа в виде произведения степеней разных простых чисел называется каноническим разложением данного числа.

Задания к уроку 10

ДРУГИЕ УРОКИ

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 22 июня 2014 г.