Урок 2. Тотожні вирази

Поняття тотожного перетворення виразу.

Розглянемо два вирази.

f(x) = x² – 2x  и  g(x) = 4x – 5.

При  х = 2  маємо

f(2) = 2² – 2 ∙ 2 = 0,

g(2) = 4 ∙ 2 – 5 = 3.

Числа  0  і  3  називають відповідними значеннями виразів  x² – 2x  і  4x – 5    при  х = 2. Знайдемо відповідні значення тих самих виразів при при  х = 1:

f(1) = 1² – 2 ∙ 1 = –1,

g(1) = 4 ∙ 1 – 5 = –1.

при  х = 0:

f(0) = 0² – 2 ∙ 0 = 0,

g(0) = 4 ∙ 0 – 5 = –5.

Відповідні значення двох виразів можуть бути рівними один одному (так, у розглянутому прикладі виконується рівність  f(1) = g(1)), а можуть і відрізнятися один від одного (так, у розглянутому прикладі  f(2) ≠ g(2), f(0) ≠ g(0)).

Якщо в результаті розв'язання двох різних виразів, що містять змінні, виходять однакові числові значення, то такі вирази говорять, що вони тотожно рівні або тотожні.

Два вирази називаються тотожними, якщо вони мають однакові числові значення при всіх допустимих значеннях літер, що входять.

ПРИКЛАД:

Тотожно рівними є вирази:

5а + 8а  і  13а,

бо при кожному значенні змінної  а  ці вирази мають рівні числові 
значення. Це випливає з розподільного закону множення. Тотожно рівні також вирази:

7х – 2х  і  5х,  с + 2с + 3с  і  6с.

ПРИКЛАД:

Вираз  3(а – 2) + 6  і  3а  тотожні:

при  а = 1  і  3(а – 2) + 6 = 3  і  3а = 3; 

при  а = 2  і  3(а – 2) + 6 = 6  і  3а = 6  ч т. д.

Два тотожно рівних вирази, поєднані знаком рівності, утворюють тотожність. Можна сказати і так:

Рівність, правильне при всіх допустимих значеннях букв, що входять до нього, називається тотожністю.

Рівності, в яких ліва та права частини – тотожно рівні вирази, називають тотожностями.

Вочевидь, що з будь-яких значеннях змінних тотожність перетворюється на правильне рівність. Вірні числові рівності також називають тотожністю.

ПРИКЛАД:

5а + 8а = 13а,

2(х – 3) = 2х – 6,

3(а – 2) + 6 = 3а,

х + 2х + 5х = 8х,

х⁵ = х² ∙ х³,

a + b + c = c + b + a,

(2ab)² = 4a²b².

ПРИКЛАД:

Пропорція

є тотожність при всіх значеннях а, крім а = 1, оскільки при а = 1 знаменники дробів перетворюються на нуль, тобто дроби не матимуть сенсу.

ПРИКЛАД:

Заміна виразу

(скоротили на  с) є тотожне перетворення виразу

при обмеженнях  b ≠ 0, c ≠ 0.
Значить

– тотожність при всіх змінних значеннях крім  b = 0, c = 0.

Тотожними є також усі рівності, що виражають закони складання та множення:

              а + 0 = а;             а ⋅ 1 = а;    а + b = b + а;

              а⋅ b = b⋅ а;           (а + b) + с = а + (b + с);

             (а⋅ b)с = а(b⋅ с);    а(b + с) = а⋅ b + а⋅ с.

Ці тотожності виражають властивості арифметичних дій.

Заміна даного виразу іншим, тотожним йому, називається тотожним перетворенням виразу.

ПРИКЛАД:

Суму  х + х + х   замінимо добутком  3х, різницю  8а – 8b добутком  8(а – b).

Якщо в тотожності замість змінної скрізь написати один і той же вираз, то отримаємо нову тотожність.

ПРИКЛАД:

Якщо в тотожності

4(а – 2) + 8 = 4а,

змінну  а  замінити виразом  z + 3, отримаємо рівність:

4(z + 1) + 8 = 4(z + 3),

яке також буде тотожністю.

Тотожностями також прийнято вважати правильні числові рівності:

ПРИКЛАД:

3² + 4² = 5²,    
1 + 3 + 5 + 7 = 4².

Якщо в тотожності замість змінної скрізь написати один і той самий вираз, дістанемо знову тотожність.

ПРИКЛАД:

Якщо в тотожності

4(а – 2) + 8 = 4а,

змінну  а  замінити виразом  z + 3, дістанемо рівність:

4(z + 1) + 8 = 4(z + 3),

яка також є тотожністю.

Вміння виконувати тотожні перетворення виразів дозволяє часто більш коротким шляхом проводити обчислення. Тотожні перетворення виразів широко використовуються і при розв'язках рівнянь, нерівностей, а також у багатьох інших випадках.

Приведення таких членів.

Алгебраїчні вирази називаються подібними, якщо вони рівні або відрізняються лише коефіцієнтами.

Заміна суми алгебри подібних членів одним членом, тотожним цій сумі, називається приведенням подібних членів.

Щоб навести подібні члени, треба скласти їх коефіцієнти та отриману суму записати коефіцієнтом того ж літерного виразу.

ПРИКЛАД:

Зведіть подібні доданки:

5а + а – 2а.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У заданій сумі всі доданки подібні, бо в них однакова буквена частина. Додамо коефіцієнти:

5 + 1 + (–2) = 4.

Отже,

5а + а – 2а = 4а.

ПРИКЛАД:

3a²b  – a²b + 7,4a²b =

= (3 – 1 + 7,4) a²b = 9,4a²b;

14m²n – 27m³n² + 0,7m²n + 2m³n² – 0,5m³n² – 6m²n =

= 8,7m²n – 25,5m³n².

Розкриття дужок.     

Розкрити в алгебраїчному вираженні дужки – означає замінити його тотожним виразом, що не містить дужок. Правила розкриття дужок випливають із властивостей додавання та віднімання:

 a + (b + c) = a + b + c;

a – (b – c) = a – b + c.

Формулюють це правило так:

– щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак плюс, треба записати без дужок усі члени, що стоять у дужках, з їхніми знаками;

– щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак мінус, треба записати без дужок усі члени, що стоять у дужках, із протилежними знаками.

ПРИКЛАД:

9a² + [7a² – 2a – (a² – 3a)] =

= 9a² + (7a² – 2a – a² + 3a) =

= 9a² + 7a² – 2a – a² + 3a = 15a² + a.

Укладання у дужки.

При укладанні у дужки користуються такими правилами:

– щоб укласти у дужки вираз зі знаком плюс перед дужками, треба записати у дужках усі члени виразу з їхніми знаками;

– щоб укласти у дужки вираз зі знаком мінус перед дужками, треба записати у дужках усі члени виразу із протилежними знаками.

ПРИКЛАД:

У виразі

2x³ + 5x²y – 4xy² – y³

укласти в дужки крайні члени зі знаком плюс перед дужками, а середні члени зі знаком мінус.

2x³ + 5x²y – 4xy² – y³ =

= (2x³ – y³) – (4xy² – 5x²y).

ПРИКЛАД:

У виразі

х² – y² – у + х

змінити перед дужками знак на протилежний.

х² – y² – (у – х) =

= х² – y² + (x – y)

Два вирази, відповідні числові значення яких рівні при будь-яких значеннях змінних, називаються тотожно рівними, або тотожними.

ПРИКЛАД:

Тотожно рівними є вирази:

5а + 8а  і  13а,

бо при кожному значенні змінної  а  ці вирази мають рівні числові значення. Це випливає з розподільного закону множення. Тотожно рівні також вирази:

7х – 2х  і  5х,  с + 2с + 3с  і  6с.

Два тотожно рівних вирази, сполучені знаком рівності, утворюють тотожність.

ПРИКЛАД:

5а + 8а = 13а,

2(х – 3) = 2х – 6.

Тотожністю є кожна рівність, що виражає відомі законі дій:

a + b = b + a,

a + (b + c) = (a + b)+ c,

ab = ba,    a(bc) = (ab)c,

a(b + c) = ab + ac.

Тотожностями також прийнято вважати правильні числові рівності:

ПРИКЛАД:

3² + 4² = 5²,

1 + 3 + 5 + 7 = 4².

Якщо в тотожності замість змінної скрізь написати один і той самий вираз, дістанемо знову тотожність.

ПРИКЛАД:

Якщо в тотожності

4(а – 2) + 8 = 4а,

змінну  а  замінити виразом  z + 3, дістанемо рівність:

4(z + 1) + 8 = 4(z + 3),

яка також є тотожністю.

Заміна даного виразу іншим, тотожним йому, називається тотожним перетворенням виразу.

Завдання до уроку 2

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Раціональні алгебраїчні вирази
• Урок 3. Одночлени
• Урок 4. Множення одночленів
• Урок 5. Піднесення одночлена до степені
• Урок 6. Ділення одночленів
• Урок 7. Многочлени
• Урок 8. Додавання і віднімання многочленів
• Урок 9. Множення одночлена на многочлен
• Урок 10. Множення многочлена на многочлен
• Урок 11. Винесення спільного множника за дужки
• Урок 12. Спосіб групування
• Урок 13. Добуток суми і різниці двох виразів
• Урок 14. Різниця квадратів двох чисел
• Урок 15. Квадрат суми і квадрат різниці двох чисел
• Урок 16. Перетворення многочлена у квадрат суми або різниці двох виразів
• Урок 17. Сума і різниця кубів двох чисел
• Урок 18. Куб суми і куб різниці двох чисел
• Урок 19. Застосовування різних способів розкладання многочлена на множники
• Урок 20. Алгебраїчні дроби
• Урок 21. Скорочення дробу (1)
• Урок 22. Скорочення дробу (2)
• Урок 23. Додавання алгебраїчних дробив
• Урок 24. Віднімання алгебраїчних дробив
• Урок 25. Множення алгебраїчних дробив
• Урок 26. Ділення алгебраїчних дробив
• Урок 27. Зведення алгебраїчних дробів у цілий позитивний степінь
• Урок 28. Зведення алгебраїчних дробів у цілий негативній степінь
• Урок 29. Перетворення алгебраїчних виразів