Урок 12. Спосіб групування

воскресенье, 27 сентября 2015 г.

Урок 12. Спосіб групування

Спосіб групування заснований на тому, що розподільчий та сполучний закони складання дозволяють групувати члени многочлена різними способами. Іноді вдається таке угруповання, що залишається один і той самий многочлен, який у свою чергу як загальний множник може бути винесений за дужки.

При укладанні у дужки користуються такими правилами:

– щоб укласти у дужки многочлен зі знаком плюс перед дужками, треба записати у дужках усі члени многочлена зі своїми знаками;

– щоб укласти у дужки многочлен зі знаком мінус перед дужками, треба записати у дужках усі члени многочлена із протилежними знаками.

ПРИКЛАД:

У виразі

2х³ + 5х²у – 4ху² – у³

укласти в дужки крайні члени зі знаком плюс перед дужками, а середні члени – зі знаком мінус.

2х³ + 5х²у – 4ху² – у³ =

= (2х³ – у³) – (4ху² – 5х²у).

ПРИКЛАД:

У виразі х² – у² – (у – х) змінити перед дужками знак на протилежний.

х² – у² – (у – х) = х² – у² + (х – у).

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

х³ – 3х² + 5х – 15.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зробимо угруповання наступним чином:

(х³ – 3х²) + (5х – 15).

У першій групі винесемо за дужки загальний множник х², у другій – загальний множник 5. Отримаємо:

х²(х – 3) + 5(х – 3).

Тепер багаточлен (х – 3) як загальний множник винесемо за дужки:

(х – 3)(х² + 5).

Таким чином, отримуємо

х³ – 3х² + 5х – 15 = (х – 3)(х² + 5).

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

20х² + 3yz – 15хy – 4xz.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

20х² + 3yz – 15хy – 4xz =

= (20х² – 15хy) + (3yz – 4xz) =

= 5x(4х – 3y) – z(4x – 3y) =

= (4x – 3y)(5x – z).

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

ab + ac + xb + xc.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розіб’ємо його члени на дві групи:

(ab + ac) + (xb + xc).

Винесемо з першої групи за дужки спільний множник а, а з другої – спільний множник х. Дістанемо вираз:

a(b + c) + x(b + c).

Доданки цього виразу мають спільний множник b + c. Винесемо його за дужки, дістанемо

(b + c)(a + x).

Вказані перетворення можна записати ланцюжком:

ab + ac + xb + xc = (ab + ac) + (xb + xc) =

a(b + c) + x(b + c) = (b + c)(a + x).

Здобули такий самий результат.

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

3а – 3b + ах – bх.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Загального множника всі члени даного многочлена не мають, але якщо згрупуємо члени по два в тому порядку, як вони написані, то вираз набуде вигляду:

(3а – 3b) + (ах – bх).

Якщо винесемо в першій групі загальний множник 3, а в другій загальний множник х отримаємо:

3(а – b) + х(а – b).

У цьому вся вираженні загальним множником є а – b. отже:

3а – 3b + ах – bх =

= (а – b)(3 + х).

Даний приклад можна вирішити також іншим способом:

3а – 3b + ах – bх =

= (3а + ах) – (3b + bх) =

= а(3 + х) – b(3 + х) =

= (3 + х)(а – b).

У деяких випадках, перш ніж групувати члени, потрібно окремі члени многочлена подати у вигляді суми чи різниці.

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

a² – 7ab + 12b².

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут ніяке угруповання не призведе до появи у всіх групах одного й того ж многочлена. У таких випадках іноді виявляється корисним уявити якийсь член многочлена у вигляді деякої суми, після чого знову спробувати застосувати спосіб угруповання. У цьому прикладі доцільно подати –7ab у вигляді суми

–3ab – 4ab.

Отримаємо:

a² – 7ab + 12b² =

= a² – 3ab – 4ab + 12b² =

= (a² – 3ab) – (4ab – 12b²) =

= а(a – 3b) – 4b(a – 3b) =

= (a – 3b)(a – 4b).

ПРИКЛАД:

х² + 8х + 12 =

= х² + 6х + 2х + 12 =

= х(х + 6) + 2(х + 6) =

= (х + 6)(х + 2).

ПРИКЛАД:

х² – 2х – 8 =

= х² – 4х + 2х – 8 =

= х(х – 4) + 2(х – 4) =

= (х – 4)(х + 2).

ПРИКЛАД:

6х² – х – 1 =

= 6х² – 3х + 2х – 1 =

= 3х(2х – 1) + (2х – 1) =

= (2х – 1)(3х + 1).

Завдання до уроку 12

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

воскресенье, 27 сентября 2015 г.