Квадрат
суми двох чисел.
Нехай зводиться у квадрат сума двох одночленів:
(a + b)2.
Зведення в квадрат – це множення числа або виразу
саме на себе, тобто:
(a + b)2 = (a + b)(a + b).
Тепер можна просто розкрити дужки, перемноживши їх і
навести подібні доданки. Отримуємо:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) =
= a(a + b) + b(a
+ b) =
= aa + ab + ab + bb =
= a2 + 2ab + b2.
Квадрат суми двочлена дорівнює
квадрату першого його члена, плюс подвоєний добуток першого на другий, плюс
квадрат другого члена.
Квадрат суми дозволяє швидко писати результат
зведення суми двох доданків у квадрат.
Отримана рівність – тотожність, її називають формулою
квадрата двочлена.
ПРИКЛАД:
Розкрити
дужки:
(х + 5)2.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Без
формули:
(х + 5)2 = (х +
5)(х + 5) =
= х(х + 5) + 5(х + 5) =
= х2 + 5х + 5х + 25 =
= х2 + 10х + 25.
За
формулою:
(х + 5)2 =
= х2
+ 2 ∙ х ∙ 5
+ 52 =
= х2 + 10х + 25.
Зверніть увагу, наскільки швидше та з меншими
зусиллями отримано результат у другому випадку. А коли цю та інші формули
освоїте до автоматизму – буде ще швидше: ви зможете просто одразу писати
відповідь. Тому ці формули і називаються
ФОРМУЛАМИ СКОРОЧЕНОГО
ПОМНОЖЕННЯ
В якості а і b можуть
бути будь-які висловлювання – принцип залишається тим самим.
ПРИКЛАД:
(2х + у)2 =
= (2х)2 + 2 ∙ 2х ∙ у + у2
=
= 4х2 + 4ху + у2.
ПРИКЛАД:
(х3 + 3am)2 =
= (х3)2
+ 2∙2х3∙3am
+ (3am)2 =
= х6 + 6amх3 + 9a2m2.
ПРИКЛАД:
(3x + 2y)2
=
= (3x)2 + 2 ∙ 3x ∙ 2y
+ (2y)2 =
=
9x2 + 12xy + 4y2.
ПРИКЛАД:
(m + 5a2b)2 =
= m2
+ 10ma2b + 25a4b2.
Проміжні перетворення слід виконувати усно.
За формулою квадрата суми двочлена можна підносити
до квадрата будь-які двочлен, в том числі
– a – b.
(–a
– b)2 =
=
(–a)2 +
2(–a)(–b) + (–b)2 =
=
а2 + 2ab + b2.
ПРИКЛАД:
(a + b – c)(a + b + c) =
= ((a + b) – c)((a + b) + c)
=
= (a + b)2 – c2 =
= a2 + 2ab +
b2 – c2.
Квадрат
різниці двох чисел.
Нехай зводиться в квадрат різницю двох одночленів:
(a – b)2.
Зведення в квадрат – це множення числа або виразу
саме на себе, тобто:
(a – b)2 = (a – b)(a – b).
Тепер можна просто розкрити дужки, перемноживши їх і
навести подібні доданки. Отримуємо:
(a – b)2 = (a – b)(a – b) =
= a(a – b) – b(a – b) =
= aa – ab – ab + bb =
= a2 – 2ab + b2.
Опустивши проміжні обчислення і записавши лише початковий і кінцевий вирази, отримаємо остаточну формулу:
Квадрат різниці двочлена дорівнює квадрату першого його члена, плюс подвоєний добуток першого на другий, плюс квадрат другого члена.
За формулою квадрата різниці двочлена можна
підносити до квадрата будь-які двочлен, в том числі –a
+ b:
(–a + b)2 =
= (–a)2 + 2(–a)b + b2 =
= а2 –
2ab + b2.
Проміжні обчислення можна виконувати усно.
ПРИКЛАД:
(2x –
y)2
=
= (2x)2 – 2 ∙
2x ∙ y + y2
=
=
4x2 –
4xy + y2.
ПРИКЛАД:
(m –
5a2b)2 =
= m2
–
2 ∙
m ∙
5a2b + 25a4b2 =
= m2
–
10ma2b + 25a4b2.
ПРИКЛАД:
(3a2
– 5b3)2
=
= (3a2)2 – 2 ∙ 3a2 ∙ 5b3 + (5b3)2 =
= 9a4 – 30a2b3 + 25b6.
ПРИКЛАД:
(c – 7d)2
=
= c2
–
2 ∙ c
∙ 7d + (7d)2 =.
= c2
–
14cd + 49d2.
ПРИКЛАД:
(m –
5a2b)2 =
= m2
–
10ma2b + 25a4b2.
Зведення
у степінь за допомогою формул скороченого множення.
Для того, щоб звести в квадрат двоцифрове число,
можна скористатися формулами квадрата суми або квадрата різниці.
ПРИКЛАД:
232 = (20 + 3)2 =
= 202 + 2 ∙ 20 ∙ 3 +
32 =
= 400 + 120 + 9 = 529.
692 = (70 – 1)2 =
= 702 + 2 ∙ 70 ∙ 1 +
12 =
= 4900 – 140 + 1 = 4761.
522 = (50
+ 2)2 =
= 502 +
2 ∙ 50 ∙ 2 + 22 =
= 2500 + 200 + 4 =
2704.
792 = (80 – 1)2 =
= 802 + 2 ∙ 80 ∙ 1 +
12 =
Завдання до уроку 15
- Урок 1. Раціональні алгебраїчні вирази
- Урок 2. Тотожні вирази
- Урок 3. Одночлени
- Урок 4. Множення одночленів
- Урок 5. Піднесення одночлена до степені
- Урок 6. Ділення одночленів
- Урок 7. Многочлени
- Урок 8. Додавання і віднімання многочленів
- Урок 9. Множення одночлена на многочлен
- Урок 10. Множення многочлена на многочлен
- Урок 11. Винесення спільного множника за дужки
- Урок 12. Спосіб групування
- Урок 13. Добуток суми і різниці двох виразів
- Урок 14. Різниця квадратів двох чисел
- Урок 16. Перетворення многочлена у квадрат суми або різниці двох виразів
- Урок 17. Сума і різниця кубів двох чисел
- Урок 18. Куб суми і куб різниці двох чисел
- Урок 19. Застосовування різних способів розкладання многочлена на множники
- Урок 20. Алгебраїчні дроби
- Урок 21. Скорочення дробу (1)
- Урок 22. Скорочення дробу (2)
- Урок 23. Додавання алгебраїчних дробив
- Урок 24. Віднімання алгебраїчних дробив
- Урок 25. Множення алгебраїчних дробив
- Урок 26. Ділення алгебраїчних дробив
- Урок 27. Зведення алгебраїчних дробів у цілий позитивний степінь
- Урок 28. Зведення алгебраїчних дробів у цілий негативній степінь
- Урок 29. Перетворення алгебраїчних виразів
Комментариев нет:
Отправить комментарий