Урок 1. Раціональні алгебраїчні вирази

пятница, 20 марта 2015 г.

Урок 1. Раціональні алгебраїчні вирази

Основні поняття.

Формули.

У математиці багато правил записують за допомогою літер. У таких випадках кажуть, що правило записано формулою. За допомогою формул ми вже записували закони додавання та множення.

Плата за проїзд на таксі обчислюється за правилом: 20 коп. множиться на кількість пройдених кілометрів і до отриманого добутку додається 20 коп.

Наприклад, якщо пасажир проїхав на таксі 3 км, то проїзд буде коштувати:

20 ∙ 3 + 20 = 80 коп.

Правило, яким обчислюють вартість проїзду за таксі, можна записати з допомогою букв. Позначимо пройдений шлях буквою s, а вартість проїзду буквою N, тоді:

N = 20s + 20.

Ми записали правило перебування вартості проїзду на таксі у вигляді рівності. Таку рівність називають формулою. Користуючись формулою

N = 20s + 20,

можна для будь-якого значення s знайти значення N та за будь-яким значенням N знайти значення s.

ПРИКЛАД:

Пасажир проїхав на таксі 8 км, отже, s = 8, тоді

N = 20 ∙ 8 + 20, N = 180.

ВІДПОВІДЬ: пасажир заплатив 1 крб 80 коп.

Розглянемо такий приклад. Нехай відомо, що автомобіль був у дорозі 3 год і їхав зі швидкістю 60 км/год. Тоді він проїхав відстань 60 ∙ 3, тобто 180 км. Взагалі, пройдений шлях дорівнює добутку швидкості на час руху (за умову, що за рівні проміжки часу автомобіль проїжджає однакові відрізки шляху, тобто швидкість стала). Як правило, довжину шляху позначають буквою S, швидкість – буквою v, час – буквою t. Таким чином, дістанемо формулу шляху:

Найменування одиниць вимірювання у формулі не пишуть, але у відповіді забувати про найменування не можна.

ПРИКЛАД:

Мотоцикліст їхав 4 год зі швидкістю 75 км/год. Який шлях він проїхав за цей час ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Тут t = 4 год, і v = 75 км/год.

Отже:

S = 75 ∙ 4 = 300.

ВІДПОВІДЬ: мотоцикліст проїхав 300 км.

ПРИКЛАД:

Спортсмен пробіг за 25 сек відстань 200 м. З якою швидкістю він біг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки t = 25 сек і S = 200 м, то, використовуючи формулу шляху, знайдемо швидкість:

v = S : t = 200 : 25 = 8.

ВІДПОВІДЬ: спортсмен біг зі швидкістю 8 м/сек.

Виведемо ще одну формулу.

Щоб послати телеграму, треба заплатити за послугу 20 коп, и за кожне слово в тексті по 5 коп. Отже, якщо позначити кількість слів у телеграмі буквою n, а її вартість буквою М, то

M = 20 + 5n.

ПРИКЛАД:

Батько заплатив за телеграму 65 коп. Скільки слів у цій телеграмі ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Підставимо у формулу:

M = 20 + 5n

заміст М число 65.

65 = 20 + 5n.

Знайдемо n.

5n = 65 – 20,

5n = 45, n = 9.

ВІДПОВІДЬ: у телеграмі 9 слів.

ПРИКЛАД:

Петрик купив m булочок по 4 грн і торт за 30 грн. Складіть формулу для обчислення вартості покупки та обчисліть цю вартість, якщо m = 4, m = 12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За m булочок Петрик заплатив 4m грн. Позначивши вартість покупки буквою k, отримаємо формулу:

k = 4m + 30.

Якщо m = 4, то k = 4 ∙ 4 + 30 = 46.

Якщо m = 12, то k = 4 ∙ 12 + 30 = 78.

ВІДПОВІДЬ:

k = 4m + 30, 46 грн, 78 грн.

Запис, в якому використовують букви, числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається буквеним виразом. Значення буквеного виразу залежить від значень букв, які входять до нього.

Вживання букв.

В алгебрі для позначення чисел, крім цифр, користуються буквами, найчастіше латинського алфавіту.

Букви вживають:

– для позначення невідомих чисел;

ПРИКЛАД:

Визначити х, якщо

х + 0,9 = 2,7.

– для позначення довільних чисел.

ПРИКЛАД:

Коли хочуть сказати, що переставний закон додавання має місце для будь-яких раціональних чисел, пишуть: які б не були раціональні числа а і b,

a + b = b + a.

Звичайно невідомі числа позначають останніми буквами латинського алфавіту (x, y, z), а відомі – першими (a, b, c, d и т. д.). Цілі числа найчастіше позначають буквами m, n, к, l та ін. Однак цих угод не завжди дотримуються: можуть бути невідомими і числа, позначені буквами a, b, n, і відомими вважатися x, y, z и т. д.

З буквами, що позначають числа, в алгебрі оперують, як з числами, позначеними цифрами.

ПРИКЛАД:

Якщо треба додати а і b, пишуть a + b. Цей запис і називають сумою чисел а і b.

Перед множниками, вираженими буквами, знак множення не ставлять, а тільки розуміють.

ПРИКЛАД:

Замість a × b × c; 4 × х

пишуть аbc; 4х.

Однак перед множниками, позначеними цифрами, знак множення пишуть обов’язково.

ПРИКЛАД:

Замість 9 × 3; 3 × ¹/₂

писати 93; 3¹/₂ не можна.

Алгебраїчні вирази – це одна або кілька алгебраїчних величин (чисел і змінних), пов'язаних між собою знаками арифметичних операцій: додавання, віднімання, множення та поділу, а також вилучення кореня та зведення в ступінь (причому показники кореня та ступеня повинні обов'язково бути цілими числами) та знаками послідовності застосування цих операцій (зазвичай дужками різного виду).

Кількість величин, що входять до виразу алгебри, має бути кінцевим.

ПРИКЛАД:

Вираження алгебри може складатися з однієї букви, може зовсім не містити чисел, позначених буквами. У останньому випадку (див. два останні приклади) їх називають також арифметичними виразами.

Види алгебраїчних виразів.

Якщо вираз алгебри не містить поділу на змінні і вилучення кореня зі змінних (зокрема, зведення в ступінь з дробовим показником), то його називають цілим.

ПРИКЛАД:
Якщо вираз алгебри складено з чисел і змінних за допомогою дій складання, віднімання, множення, зведення в ступінь з натуральним показником і поділу, причому використовується поділ на вирази зі змінними, то його називають дробовим виразом.

ПРИКЛАД:
Цілі та дробові вирази називають раціональними виразами.

ПРИКЛАД:
Якщо в алгебраїчному вираженні використовується вилучення кореня зі змінних (або зведення змінних в дробовий ступінь), його називають ірраціональним виразом.

ПРИКЛАД:
Отже, алгебраїчні вирази можуть бути раціональними та ірраціональними.
Раціональні вирази алгебри діляться на цілі числа і вирази і дробові числа і вирази.

Раціональне вираження алгебри називається цілим, якщо воно не утримує ділення на буквеному вираженні.

ПРИКЛАД:

Дробові вирази – частка двох цілих виразів.

ПРИКЛАД:

Числове значення вираження алгебри.

За допомогою чисел, знаків дій і дужок можна скласти різні числові вирази. В результаті рішення числового вираження виходить число, яке називається числовим значенням вираження або, коротше, значенням вираження. Вираження може полягати і з одного числа. В цьому випадку значення вираження є саме число. Є вирази в яких не усі дії можна виконати (ділення на нуль неможливе!). Про такі вирази говорять, що вони не мають сенсу. Таким чином числове вираження може мати або одно значення або не мати жодного значення.

Значення вираження а(а + 1), що містить змінну а, залежить від значення цієї змінної. Кожному значенню змінної а відповідає певне значення вираження а(а + 1), тобто у виразах зі змінними при різних значеннях цих змінних можуть бути і різні значення виразів.

Числовим значенням вираження алгебри при цьому значенні букв, що входять в нього, називається число, отримане в результаті підстанови замість букв відповідних чисел і виконання вказаних дій.

ПРИКЛАД:

Визначити числове значення вираження:

3а + 5 при а = 5,7.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Якщо а = 5,7, то

3а + 5 = 3 × 5,7 + 5 = 22,1.

ВІДПОВІДЬ:

При а = 5,7 числове значення цього вираження рівне 22,1.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення виразу

х + 0,5у, якщо

х = 4, у = –3,4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х + 0,5у = 4 + 0,5 ∙ (–3,4) =

= 4 – 1,7 = 2,3.

ВІДПОВІДЬ: при х = 4, у = –3,4 числове значення даного виразу дорівнює 2,3

ПРИКЛАД:

Знайти значення виразу:

при а = 5, b = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Порядок дій.

У алгебрі зберігаються правила про порядок виконання дій, які прийняті в арифметиці, за винятком одного, а саме: в алгебрі під вираженням a : bc завжди розуміють

(а ділене на добуток bc).

У виразах без дужок, що містять дії різних ступенів, спочатку потрібно виконати піднесення до степеня, потім множення, ділення і, нарешті, складання і віднімання. Якщо у вираженні є дужки, то дії над числами, поміщеними в дужки, виконуються першими.

ПРИКЛАД:

Визначити числове значення вираження:

при a = –1; b = 0,5.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Якщо a = –1; b = 0,5, то

ВІДПОВІДЬ: 4.

Допустимі значення змінних. Область визначення алгебраїчного виразу.

Числові значення, які можуть приймати букви в цьому вираженні алгебри, не позбавляючи його сенсу, називаються допустимими значеннями для цих букв.

Багато всіх допустимих значень змінних називають областю визначення алгебраїчного виразу (або областю допустимих значень – ОДЗ).

Цілий вираз має сенс за будь-яких значень вхідних до нього змінних.

ПРИКЛАД:
Ірраціональний вираз не має сенсу при тих значеннях змінних, які перетворюють на негативне число вираз, що міститься під знаком кореня парного ступеня або під знаком зведення в дробовий ступінь.

ПРИКЛАД:
Має сенс лише за тих a, b за яких a + b ≥ 0.

ПРИКЛАД:
Має сенс тільки при a ≥ 0, b ≥ 0.

Дробові вирази не мають сенсу при тих значеннях змінних, які перетворюють знаменник на нуль.

ПРИКЛАД:
Має сенс за всіх а, крім а = 1.

ПРИКЛАД:
Має сенс за всіх а, b, с, крім значень
а = 0, b = 0.

ПРИКЛАД:

Визначити числове значення вираження:

при a = 1 и n = –2,5.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Проте на 0 ділити не можна, отже, при цих значеннях букв це вираження алгебри не має числового значення. Говорять також, що при a = 1 і n = – 2,5 цей вираз позбавлений сенсу або що ці значення недопустимі для цього вираження.

Завдання до уроку 1

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 20 марта 2015 г.