вторник, 6 октября 2015 г.

Урок 17. Сума і різниця кубів двох чисел

Сума кубів двох чисел.

Для розкладання на множники суми кубів використовується тотожність:

яку називають формулою суми кубів.

Щоб довести це тотожність, помножимо двочлен  а + b  на тричлен 

а2 – ab + b2:

(а + b)(а2 – ab + b2) =

= а3 – a2b + ab2 + a2b  – ab2 + b3 =

= а3 + b3.

Множник  а2 – ab + b2  у правій частині формули нагадує тричлен  а2 – 2ab + b2, який дорівнює квадрату різниці  а  та  b. Проте замість подвоєного добуткцу  а  і  b  у ньому просто їхній добуток.

Тричлен  

а2 – аb + b2 

називають неповним квадратом різниці  а  та  b. Отже:

Сума кубів двох чисел рівна добутку сумі цих чисел и неповного квадрата різниці.

ПРИКЛАД:

8 + х3 = 23 + х3 =

(2 + х)(4 – 2х + х2).

ПРИКЛАД:

p3 + 64q3 = p3 + (4q)3 =

(p + 4q)(p2 – 4pq + 16q2).

Якщо наведену вище формулу прочитати справа наліво, одержимо:

Добуток суми двох чисел на неповний квадрат їх різниці дорівнює сумі кубів цих чисел.

ПРИКЛАД:

 (0,8а2 + 5b)(0,64а4 – 4a2b + 25b2) =

= (0,8a2)3 + (5b)3 = 0,512a6 + 125b3.

ПРИКЛАД:

 (3а + 1)(9а2 – 3a + 1) =

= (3a)3 + 1 = 27a3 + 1.

ПРИКЛАД:

 (5х + у)(25х2 – 5ху + у2) =

= 125х3 + у3.

Різниця кубів двох чисел.

Для розкладання на множники кубів різниці використовується тотожність:

яке називають формулою різниці кубів.

Щоб довести це тотожність, помножимо двочлен  а – b  на тричлен 

а2 + ab + b2:

(а – b)(а2 + ab + b2) =

= а3 + a2b + ab2 – a2b  – ab2 – b3 =

= а3 – b3.

Множник  а2 + ab + b2  у правій частині формули нагадує тричлен  а2 + 2ab + b2, який дорівнює квадрату різниці  а  та  b. Проте замість подвоєного добутка  а  і  b  у ньому просто їхній добуток.

Тричлен  

а2 + аb + b2 

називають неповним квадратом суми  а  і  b. Отже:

Різність кубів двох чисел рівна добутку різниці цих чисел и неповного квадрата сумі.

ПРИКЛАД:

 8 – х3 = 23 – х3 =

(2 – х)(4 + 2х + х2).

ПРИКЛАД:

 27х3 – 8у3 = (3х)3 – (2у)3 =

(3х – 2у)(9х2 + 6ху + 4у2).

Ця формула читається і справа наліво:

Добуток різниці двох чисел  на неповний квадрат іх суми дорівнює різниці кубів цих чисел.

ПРИКЛАД:

(c – 2d) (c2 + 2cd + 4d2) =

= c3 – 8d3.

ПРИКЛАД:

 (0,8а2 – 5b) (0,64а4 + 4a2b + 25b2)

= (0,8a2)3 – (5b)3 = 0,512a6 – 125b3.   

Завдання до уроку 17
Інші уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)