Урок 7. Многочлени

четверг, 10 сентября 2015 г.

Урок 7. Многочлени

У математиці часто доводиться додавати чи віднімати одночлени.

Алгебраїчна сума кількох одночленів називається многочленом.

ПРИКЛАД:

7х + 2а – сума, а

7х – 2а – різниця одночленів 7х і 2а.

Вираз 7х – 2а можна вважати також сумою одночленів 7х і –2а, бо

7х + (–2а) = 7х – 2а.

Вираз 2х⁴ – 3х³ + х² – 9х – 2 – сума одночленів

2х⁴, –3х³, +х², –9х, –2.

Кожний доданок многочлена називається його членом.

ПРИКЛАД:

Многочлен 2ху – 5х + 6 містить три члени: 2ху, 5х і 6.

Многочлен, який містить два чи три доданки, називається відповідно двочленом чи тричленом. Одночлен також вважається окремим видом многочлена. Чи існують цілі вирази, які не є многочленами ? Існують.

ПРИКЛАД:

Вирази (а + b)², 2a – (b + x)³ цілі, а не многочлени.

Одночлен також вважається окремим видом багаточлена.

Зв’язки між згадуваними виразами можна ілюструвати такою схемою.

Розташовані многочлени.

Нехай дано многочлен, що містить лише одну літеру у різних степенях. Користуючись переміщувальним законом додавання, ми можемо переставити його члени так, щоб вони були розміщені або за зростаючим або за спадаючим степенем цієї літери.

ПРИКЛАД:

Многочлен

–15х²+ 7х⁴ – 8х + 3 – 5х³

розташувати:

а) за зростаючими степенями х;

б) за спадними степенями х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

а) 3 – 8х – 15х²– 5х³ + 7х⁴ (за зростаючими степенями х);

б) 7х⁴ – 5х³– 15х²– 8х + 3 (за спадними степенями х).

Якщо многочлен містить дві або кілька літер, то вибирають одну з них, яку називають головною, і мають у своєму розпорядженні многочлен за рівнем цієї головної літери.

Перший член розташованого многочлена, що містить головну літеру найвищою мірою, називають старшим, а останній – нижчим членом цього многочлена.

Ступінь старшого члена називається степенем і самого многочлена.

Члени многочлена можна записувати у різній послідовності. Зазвичай їх записують один за одним у міру зменшення показника степеня тієї чи іншої змінної.

ПРИКЛАД:

Упорядкуємо наступний многочлен

5ах²+ 6х³ – 4а²х + а⁴,

за зменшенням показника степеня змінного x. Отримали

6х³ + 5ах² – 4а²х + а⁴.

Якщо впорядкуємо за зменшенням показника степеня змінного, то отримаємо:

а⁴ – 4ха² + 5х²а + 6х³.

Перший многочлен буде третього степеня, тому що максимальний степінь при змінній х дорівнює 3, а другий многочлен буде четвертого степеня, тому що максимальний степінь при змінній а дорівнює 4.

ПРИКЛАД:

Впорядкувавши многочлен

5ах² + 6х³ – 4а²х + а⁴

за спадними степенями змінної х, дістанемо

6х³+ 5ах²– 4а²х + а⁴.

Найвищий показник степеня змінної х тут 3, тому такий многочлен називають многочленом третього степеня відносно х. його можна впорядкувати і за спадними степенями змінної а:

а⁴– 4а²х+ 5ах² + 6х³.

Це – многочлен четвертого степеня відносно змінної а.

ПРИКЛАД:

Вираз 8х³ – 2ах² + а⁴х – 5а² є многочленом, розташованим по спадаючим ступеням літери х. Тут 8х³ – старший член, – 5а² – нижчий член, 3 – буде степенем старшого члена та степенем самого многочлена.

Числовий коефіцієнт.

Розглянемо вираз 1,5а. Воно містить числовий множник 1,5 і літерний а. Числовий множник 1,5 у вирази 1,5а називають числовим коефіцієнтом цього виразу чи просто коефіцієнтом. Коефіцієнт виразу –4аb буде число –4. Коефіцієнт пишуть перед літерними множниками. Оскільки а = 1⋅ а, то вважають, що коефіцієнт виразу а дорівнює 1. Оскільки –а = (–1)⋅ а, то коефіцієнт виразу –а дорівнює –1.

Коефіцієнт може бути цілим числом.

У виразі 5ас – це 5.

Коефіцієнт може бути дробовим числом.

У виразі ⁵/₆ ас – це ⁵/₆.

Якщо коефіцієнт – натуральне число, то він показує, скільки разів вираз, що стоїть за ним, береться доданком.

ПРИКЛАД:

5cd = cd + cd + cd + cd + cd.

Якщо ж коефіцієнт – дробове позитивне число, то він показує, який дріб треба взяти від значення виразу, що стоїть за ним.

ПРИКЛАД:

У вираженні ⁵/₆ ас коефіцієнт означає, що з будь-яких значеннях а і с треба взяти ⁵/₆ від їх добутків.

За допомогою коефіцієнтів можна коротше записати багато виразів, що містять однакові літери, з'єднані знаками <<+>> і <<–>>.

ПРИКЛАД:

Надалі поняття коефіцієнта узагальнюється, навіть буквені множники можна як коефіцієнти.

ПРИКЛАД:

У вирази 2abx коефіцієнтом при х є 2ab.

Многочлен може мати такі члени, тобто такі одночлени, які відрізняються лише коефіцієнтами або зовсім не відрізняються.

Приведення многочленів до стандартного вигляду.

Вважають, що многочлен записано у стандартному вигляді, якщо всі його члени – одночлени стандартного виду і серед них немає подібних.

Якщо всі члени многочлена записати в стандартному вигляді і виконати приведення таких членів, то вийде многочлен стандартного виду.

Будь-яке ціле вираження можна перетворити на многочлен стандартного виду – у цьому полягає мета перетворень (спрощень) цілих виразів.

ПРИКЛАД:

Два перших многочлени

х³– 3х² + 3х + 7,

ab + bc – ca,

2ах – 3а ∙ 5х + 8,

стандартного типу, а третій – ні.

ПРИКЛАД:

2ах – 3а ∙ 5х + 8 =

2ах – 15ах + 8 = –13ах + 8.

ПРИКЛАД:

Привести многочлен

3а ∙ 5b + 3аb + 2а ∙ (–4b) + b ∙ b

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку приведемо до стандартного вигляду члени многочлена. Отримаємо:

15аb + 3аb – 8аb + b².

Після наведення подібних членів отримаємо многоочлен стандартного вигляду:

10аb + b².

ПРИКЛАД:

Привести многочлен

(3а + 5b – 2с) + (2а – b + 4с)

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо перед дужками стоїть знак плюс, то дужки можна опустити, зберігши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

3а + 5b – 2с + 2а – b + 4с.

Після наведення подібних членів отримаємо многочлен стандартного вигляду:

(3а + 2а) + (5b – b) + (–2с + 4с) =

= 5а + 4b + 2с.

ПРИМЕР:

Привести многочлен

(5а²b + аb²) – (3а²b + 4аb²)

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

5а²b + аb² – 3а²b – 4аb².

Після наведення подібних членів отримаємо многочлен стандартного вигляду:

(5а²b – 3а²b) + (аb² + 4аb²) =

= 2а²b + 5аb².

Многочлени від однієї змінної.

Многочлен аx + b, де а, b – числа (а ≠ 0), а х змінна називають многочленом першого степеня.

Многочлен аx² + b + c, де a, b, c – числа (а ≠ 0), а х – змінна, називають многочленом другого ступеня або квадратним тричленом.

Многочлен аx³ + bx² + cx + d, де a, b, c, d – числа (а ≠ 0), а х – змінна називають многочленом третього степеня.

Взагалі, якщо a, b, c, …, l, m – числа (а ≠ 0), а х – змінна, то многочлен

axⁿ + bx^{n –}¹ + cx^{n –}² + … + lx + m

називають многочленом n –й ступені (відносно x)

axⁿ, bx^{n –}¹, … , lx, m – члені многочлена,

a, b, c, … , l, m – коефіцієнти,

axⁿ – коефіцієнти многочлена,

а – коефіцієнт при старшому члені,

m – вільний член многочлена.

Зазвичай многочлен записують по спадних степенях змінної, тобто степеня змінної х поступово зменшуються, зокрема першому місці стоїть старший член, останньому – вільний член.

Степінь многочлена – це степінь старшого члена.

ПРИКЛАД:

5х⁵ – 2х³ + 3х² + 1 –

многочлен п'ятого степеня, у якому 5х⁵ – старший член, 1 – вільний член.

Якщо коефіцієнт при старшому члені дорівнює 1, то многочлен називають наведеним, якщо зазначений коефіцієнт відрізняється від 1, то ненаведеним.

Коренем многочлена Р(х) називають таке значення х, у якому многочлен перетворюється на нуль.

ПРИКЛАД:

Число 2 є коренем многочлена

Р(х) = х³ + 2х² – 7х – 2,

так як

Р(2) = 2³ + 2∙2² – 7∙2 – 2 = 0.

Завдання до уроку 7

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 10 сентября 2015 г.