Уроки математики и физики (RU + UA)

четверг, 10 сентября 2015 г.

Урок 7. Многочлени

У математиці часто доводиться додавати чи віднімати одночлени.

Алгебраїчна сума кількох одночленів називається многочленом.

ПРИКЛАД:

7х + 2а  – сума, а 

  – різниця одночленів  7х  і  2а.

Вираз    можна вважати також сумою одночленів  7х  і  , бо

7х + () = .

Вираз  4 – 3х3 + х2 – 9х 2  – сума одночленів

43,  +х2,  –9х,  2.

Кожний доданок многочлена називається його членом.

ПРИКЛАД:

Многочлен  2ху – 5х + 6  містить три члени: 2ху,  5х  і  6.

Многочлен, який містить два чи три доданки, називається відповідно двочленом чи тричленом. Одночлен також вважається окремим видом многочлена. Чи існують цілі вирази, які не є многочленами ? Існують.

ПРИКЛАД:

Вирази  (а + b)2, 2a – (b + x)3  цілі, а не многочлени.

Одночлен також вважається окремим видом багаточлена.  

Зв’язки між згадуваними виразами можна ілюструвати такою схемою.

Розташовані многочлени.             

Нехай дано многочлен, що містить лише одну літеру у різних степенях. Користуючись переміщувальним законом додавання, ми можемо переставити його члени так, щоб вони були розміщені або за зростаючим або за спадаючим степенем цієї літери.

ПРИКЛАД:

Многочлен   

15х2 + 7х48х + 35х3 

розташувати:

аза зростаючими степенями  х;

бза спадними степенями  х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

а38х – 15х2 5х3 + 7х4  (за зростаючими степенями  х);

б7х4  5х3 15х2 8х + 3  (за спадними степенями  х).

Якщо многочлен містить дві або кілька літер, то вибирають одну з них, яку називають головною, і мають у своєму розпорядженні многочлен за рівнем цієї головної літери.

Перший член розташованого многочлена, що містить головну літеру найвищою мірою, називають старшим, а останній – нижчим членом цього многочлена.

Ступінь старшого члена називається степенем і самого многочлена.

Члени многочлена можна записувати у різній послідовності. Зазвичай їх записують один за одним у міру зменшення показника степеня тієї чи іншої змінної.

ПРИКЛАД:

Упорядкуємо наступний многочлен

5ах2 + 6х34а2х + а4,

за зменшенням показника степеня змінного  x. Отримали

6х3 + 5ах24а2х + а4.

Якщо впорядкуємо за зменшенням показника степеня змінного, то отримаємо:

а44ха2 + 5х2а + 6х3.

Перший многочлен буде третього степеня, тому що максимальний степінь при змінній  х  дорівнює  3, а другий многочлен буде четвертого степеня, тому що максимальний степінь при змінній  а дорівнює  4

ПРИКЛАД:

Впорядкувавши многочлен

5ах2 + 6х3  – 4а2х + а4 

за спадними степенями змінної  х, дістанемо 

6х3 + 5ах24а2х + а4.

Найвищий показник степеня змінної  х  тут  3, тому такий многочлен називають многочленом третього степеня відносно  х. його можна впорядкувати і за спадними степенями змінної  а:

а44а2х+ 5ах2 + 6х3.

Це – многочлен четвертого степеня відносно змінної  а.

ПРИКЛАД:

Вираз   8х32ах2 + а4х – 5а2  є многочленом, розташованим по спадаючим ступеням літери  х. Тут  3 – старший член, – 2 – нижчий член, 3 – буде степенем старшого члена та степенем самого многочлена.

Числовий коефіцієнт.                                  

Розглянемо вираз  1,5а. Воно містить числовий множник  1,5  і літерний  а. Числовий множник  1,5  у вирази  1,5а  називають числовим коефіцієнтом цього виразу чи просто коефіцієнтом. Коефіцієнт виразу  –4аb  буде число  –4. Коефіцієнт пишуть перед літерними множниками. Оскільки  а = 1 а, то вважають, що коефіцієнт виразу  а  дорівнює  1. Оскільки  –а = (–1) а, то коефіцієнт виразу  –а  дорівнює  1.

Коефіцієнт може бути цілим числом.

У виразі  5ас – це  5.

Коефіцієнт може бути дробовим числом.

У виразі  5/6 ас – це  5/6.

Якщо коефіцієнт – натуральне число, то він показує, скільки разів вираз, що стоїть за ним, береться доданком.

ПРИКЛАД:

5cd = cd + cd + cd + cd + cd.

Якщо ж коефіцієнт – дробове позитивне число, то він показує, який дріб треба взяти від значення виразу, що стоїть за ним.

ПРИКЛАД:

У вираженні  5/6 ас  коефіцієнт означає, що з будь-яких значеннях  а  і  с  треба взяти  5/6  від їх добутків.

За допомогою коефіцієнтів можна коротше записати багато виразів, що містять однакові літери, з'єднані знаками  <<+>>  і  <<>>.

ПРИКЛАД:
Надалі поняття коефіцієнта узагальнюється, навіть буквені множники можна як коефіцієнти.

ПРИКЛАД:

У вирази  2abx  коефіцієнтом при  х  є 2ab.

Многочлен може мати такі члени, тобто такі одночлени, які відрізняються лише коефіцієнтами або зовсім не відрізняються.

Приведення многочленів до стандартного вигляду.

Вважають, що многочлен записано у стандартному вигляді, якщо всі його члени – одночлени стандартного виду і серед них немає подібних.

Якщо всі члени многочлена записати в стандартному вигляді і виконати приведення таких членів, то вийде многочлен стандартного виду.

Будь-яке ціле вираження можна перетворити на многочлен стандартного виду – у цьому полягає мета перетворень (спрощень) цілих виразів.

ПРИКЛАД:

Два перших многочлени

х3 3х2 + 3х + 7

ab + bc – ca, 

2ах – 3а 5х + 8,

стандартного типу, а третій – ні.

ПРИКЛАД:

2ах – 3а 5х + 8 =

2ах – 15ах + 8 = –13ах + 8.

ПРИКЛАД:

Привести многочлен

3а 5b + 3аb + 2а (–4b) + b b

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку приведемо до стандартного вигляду члени многочлена. Отримаємо:

15аb + 3аb – 8аb + b2.

Після наведення подібних членів отримаємо многоочлен стандартного вигляду:

10аb + b2.

ПРИКЛАД:

Привести многочлен

(3а + 5b – 2с) + (2а b + 4с)

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо перед дужками стоїть знак плюс, то дужки можна опустити, зберігши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

3а + 5b – 2с + 2а b + 4с.

Після наведення подібних членів отримаємо многочлен стандартного вигляду:

(3а + 2а) + (5b b) + (–2с + 4с) =

= 5а + 4b + 2с.

ПРИМЕР:

Привести многочлен

(5а2b + аb2)(3а2b + 4аb2)

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

5а2b + аb23а2b 4аb2.

Після наведення подібних членів отримаємо многочлен стандартного вигляду:

(5а2b 3а2b) + (аb2 + 4аb2) =

= 2а2b + 5аb2.

Многочлени від однієї змінної.

Многочлен  аx + b, де  а, bчисла (а ≠ 0), а  х змінна називають многочленом першого степеня

Многочлен   аx2 + b + c, де  a, b, c числа (а ≠ 0), а  хзмінна, називають многочленом другого ступеня або квадратним тричленом.

Многочлен   аx3 + bx2 + cx + d,  де  a, b, c, dчисла (а ≠ 0), а  хзмінна називають многочленом третього степеня.

Взагалі, якщо  a, b, c, …, l, m числа (а ≠ 0), а  хзмінна, то многочлен

axn + bxn – 1 + cxn – 2 + … + lx + m

називають многочленом  n –й ступені (відносно  x)

axn, bxn – 1, … , lx, mчлені многочлена,

a, b, c, … , l, mкоефіцієнти,

axnкоефіцієнти многочлена,

акоефіцієнт при старшому члені,

mвільний член многочлена.

Зазвичай многочлен записують по спадних степенях змінної, тобто степеня змінної  х  поступово зменшуються, зокрема першому місці стоїть старший член, останньому – вільний член.

Степінь многочлена – це степінь старшого члена.

ПРИКЛАД:

5х5 – 2х3 + 3х2 + 1

многочлен п'ятого степеня, у якому  5 – старший член, 1 – вільний член.

Якщо коефіцієнт при старшому члені дорівнює  1, то многочлен називають наведеним, якщо зазначений коефіцієнт відрізняється від  1, то ненаведеним.

Коренем многочлена  Р(х)  називають таке значення  х, у якому многочлен перетворюється на нуль.

ПРИКЛАД:

Число  2  є коренем многочлена

Р(х) = х3 + 2х2 – 7х – 2,

так як

Р(2) = 23 + 222 – 72 – 2 = 0.

Завдання до уроку 7

Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий