Урок 7. Многочлени

У математиці часто доводиться додавати чи віднімати одночлени.

Алгебраїчна сума кількох одночленів називається многочленом.

ПРИКЛАД:

7х + 2а  – сума, а 

7х – 2а  – різниця одночленів  7х  і  2а.

Вираз  7х – 2а  можна вважати також сумою одночленів  7х  і  –2а, бо

7х + (–2а) = 7х – 2а.

Вираз  2х⁴ – 3х³ + х² – 9х – 2  – сума одночленів

2х⁴,  –3х³,  +х²,  –9х,  –2.

Кожний доданок многочлена називається його членом.

ПРИКЛАД:

Многочлен  2ху – 5х + 6  містить три члени: 2ху,  5х  і  6.

Многочлен, який містить два чи три доданки, називається відповідно двочленом чи тричленом. Одночлен також вважається окремим видом многочлена. Чи існують цілі вирази, які не є многочленами ? Існують.

ПРИКЛАД:

Вирази  (а + b)², 2a – (b + x)³  цілі, а не многочлени.

Одночлен також вважається окремим видом багаточлена.  

Зв’язки між згадуваними виразами можна ілюструвати такою схемою.

Розташовані многочлени.             

Нехай дано многочлен, що містить лише одну літеру у різних степенях. Користуючись переміщувальним законом додавання, ми можемо переставити його члени так, щоб вони були розміщені або за зростаючим або за спадаючим степенем цієї літери.

ПРИКЛАД:

Многочлен   

–15х² + 7х⁴ – 8х + 3 – 5х³ 

розташувати:

а)  за зростаючими степенями  х;

б)  за спадними степенями  х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

а)  3 – 8х – 15х² – 5х³ + 7х⁴  (за зростаючими степенями  х);

б)  7х⁴  – 5х³ – 15х² – 8х + 3  (за спадними степенями  х).

Якщо многочлен містить дві або кілька літер, то вибирають одну з них, яку називають головною, і мають у своєму розпорядженні многочлен за рівнем цієї головної літери.

Перший член розташованого многочлена, що містить головну літеру найвищою мірою, називають старшим, а останній – нижчим членом цього многочлена.

Ступінь старшого члена називається степенем і самого многочлена.

Члени многочлена можна записувати у різній послідовності. Зазвичай їх записують один за одним у міру зменшення показника степеня тієї чи іншої змінної.

ПРИКЛАД:

Упорядкуємо наступний многочлен

5ах² + 6х³ – 4а²х + а⁴,

за зменшенням показника степеня змінного  x. Отримали

6х³ + 5ах² – 4а²х + а⁴.

Якщо впорядкуємо за зменшенням показника степеня змінного, то отримаємо:

а⁴ – 4ха² + 5х²а + 6х³.

Перший многочлен буде третього степеня, тому що максимальний степінь при змінній  х  дорівнює  3, а другий многочлен буде четвертого степеня, тому що максимальний степінь при змінній  а дорівнює  4. 

ПРИКЛАД:

Впорядкувавши многочлен

5ах² + 6х³  – 4а²х + а⁴ 

за спадними степенями змінної  х, дістанемо 

6х³ + 5ах²– 4а²х + а⁴.

Найвищий показник степеня змінної  х  тут  3, тому такий многочлен називають многочленом третього степеня відносно  х. його можна впорядкувати і за спадними степенями змінної  а:

а⁴– 4а²х+ 5ах² + 6х³.

Це – многочлен четвертого степеня відносно змінної  а.

ПРИКЛАД:

Вираз   8х³ – 2ах² + а⁴х – 5а²  є многочленом, розташованим по спадаючим ступеням літери  х. Тут  8х³ – старший член, – 5а² – нижчий член, 3 – буде степенем старшого члена та степенем самого многочлена.

Числовий коефіцієнт.                                  

Розглянемо вираз  1,5а. Воно містить числовий множник  1,5  і літерний  а. Числовий множник  1,5  у вирази  1,5а  називають числовим коефіцієнтом цього виразу чи просто коефіцієнтом. Коефіцієнт виразу  –4аb  буде число  –4. Коефіцієнт пишуть перед літерними множниками. Оскільки  а = 1⋅ а, то вважають, що коефіцієнт виразу  а  дорівнює  1. Оскільки  –а = (–1)⋅ а, то коефіцієнт виразу  –а  дорівнює  –1.

Коефіцієнт може бути цілим числом.

У виразі  5ас – це  5.

Коефіцієнт може бути дробовим числом.

У виразі  ⁵/₆ ас – це  ⁵/₆.

Якщо коефіцієнт – натуральне число, то він показує, скільки разів вираз, що стоїть за ним, береться доданком.

ПРИКЛАД:

5cd = cd + cd + cd + cd + cd.

Якщо ж коефіцієнт – дробове позитивне число, то він показує, який дріб треба взяти від значення виразу, що стоїть за ним.

ПРИКЛАД:

У вираженні  ⁵/₆ ас  коефіцієнт означає, що з будь-яких значеннях  а  і  с  треба взяти  ⁵/₆  від їх добутків.

За допомогою коефіцієнтів можна коротше записати багато виразів, що містять однакові літери, з'єднані знаками  <<+>>  і  <<–>>.

ПРИКЛАД:

Надалі поняття коефіцієнта узагальнюється, навіть буквені множники можна як коефіцієнти.

ПРИКЛАД:

У вирази  2abx  коефіцієнтом при  х  є 2ab.

Многочлен може мати такі члени, тобто такі одночлени, які відрізняються лише коефіцієнтами або зовсім не відрізняються.

Приведення многочленів до стандартного вигляду.

Вважають, що многочлен записано у стандартному вигляді, якщо всі його члени – одночлени стандартного виду і серед них немає подібних.

Якщо всі члени многочлена записати в стандартному вигляді і виконати приведення таких членів, то вийде многочлен стандартного виду.

Будь-яке ціле вираження можна перетворити на многочлен стандартного виду – у цьому полягає мета перетворень (спрощень) цілих виразів.

ПРИКЛАД:

Два перших многочлени

х³ – 3х² + 3х + 7, 

ab + bc – ca, 

2ах – 3а ∙ 5х + 8,

стандартного типу, а третій – ні.

ПРИКЛАД:

2ах – 3а ∙ 5х + 8 =

2ах – 15ах + 8 = –13ах + 8.

ПРИКЛАД:

Привести многочлен

3а ∙ 5b + 3аb + 2а ∙ (–4b) + b ∙ b

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку приведемо до стандартного вигляду члени многочлена. Отримаємо:

15аb + 3аb – 8аb + b².

Після наведення подібних членів отримаємо многоочлен стандартного вигляду:

10аb + b².

ПРИКЛАД:

Привести многочлен

(3а + 5b – 2с) + (2а – b + 4с)

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо перед дужками стоїть знак плюс, то дужки можна опустити, зберігши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

3а + 5b – 2с + 2а – b + 4с.

Після наведення подібних членів отримаємо многочлен стандартного вигляду:

(3а + 2а) + (5b – b) + (–2с + 4с) =

= 5а + 4b + 2с.

ПРИМЕР:

Привести многочлен

(5а²b + аb²) – (3а²b + 4аb²)

до стандартного вигляду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знаки всіх доданків, укладених у дужки. Скориставшись цим правилом розкриття дужок, отримаємо:

5а²b + аb² – 3а²b – 4аb².

Після наведення подібних членів отримаємо многочлен стандартного вигляду:

(5а²b – 3а²b) + (аb² + 4аb²) =

= 2а²b + 5аb².

Многочлени від однієї змінної.

Многочлен  аx + b, де  а, b – числа (а ≠ 0), а  х змінна називають многочленом першого степеня. 

Многочлен   аx² + b + c, де  a, b, c – числа (а ≠ 0), а  х – змінна, називають многочленом другого ступеня або квадратним тричленом.

Многочлен   аx³ + bx² + cx + d,  де  a, b, c, d – числа (а ≠ 0), а  х – змінна називають многочленом третього степеня.

Взагалі, якщо  a, b, c, …, l, m – числа (а ≠ 0), а  х – змінна, то многочлен

axⁿ + bx^{n – 1} + cx^{n – 2} + … + lx + m

називають многочленом  n –й ступені (відносно  x)

axⁿ, bx^{n – 1}, … , lx, m – члені многочлена,

a, b, c, … , l, m – коефіцієнти,

axⁿ – коефіцієнти многочлена,

а – коефіцієнт при старшому члені,

m – вільний член многочлена.

Зазвичай многочлен записують по спадних степенях змінної, тобто степеня змінної  х  поступово зменшуються, зокрема першому місці стоїть старший член, останньому – вільний член.

Степінь многочлена – це степінь старшого члена.

ПРИКЛАД:

5х⁵ – 2х³ + 3х² + 1 –

многочлен п'ятого степеня, у якому  5х⁵ – старший член, 1 – вільний член.

Якщо коефіцієнт при старшому члені дорівнює  1, то многочлен називають наведеним, якщо зазначений коефіцієнт відрізняється від  1, то ненаведеним.

Коренем многочлена  Р(х)  називають таке значення  х, у якому многочлен перетворюється на нуль.

ПРИКЛАД:

Число  2  є коренем многочлена

Р(х) = х³ + 2х² – 7х – 2,

так як

Р(2) = 2³ + 2∙2² – 7∙2 – 2 = 0.

Завдання до уроку 7

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Раціональні алгебраїчні вирази
• Урок 2. Тотожні вирази
• Урок 3. Одночлени
• Урок 4. Множення одночленів
• Урок 5. Піднесення одночлена до степені
• Урок 6. Ділення одночленів
• Урок 8. Додавання і віднімання многочленів
• Урок 9. Множення одночлена на многочлен
• Урок 10. Множення многочлена на многочлен
• Урок 11. Винесення спільного множника за дужки
• Урок 12. Спосіб групування
• Урок 13. Добуток суми і різниці двох виразів
• Урок 14. Різниця квадратів двох чисел
• Урок 15. Квадрат суми і квадрат різниці двох чисел
• Урок 16. Перетворення многочлена у квадрат суми або різниці двох виразів
• Урок 17. Сума і різниця кубів двох чисел
• Урок 18. Куб суми і куб різниці двох чисел
• Урок 19. Застосовування різних способів розкладання многочлена на множники
• Урок 20. Алгебраїчні дроби
• Урок 21. Скорочення дробу (1)
• Урок 22. Скорочення дробу (2)
• Урок 23. Додавання алгебраїчних дробив
• Урок 24. Віднімання алгебраїчних дробив
• Урок 25. Множення алгебраїчних дробив
• Урок 26. Ділення алгебраїчних дробив
• Урок 27. Зведення алгебраїчних дробів у цілий позитивний степінь
• Урок 28. Зведення алгебраїчних дробів у цілий негативній степінь
• Урок 29. Перетворення алгебраїчних виразів