Урок 6. Прямоугольный параллелепипед

ВИДЕОУРОК

Посмотрите на спичечный коробок. Он даёт представление о геометрической фигуре, которая называется прямоугольным параллелепипедом.

Прямой параллелепипед, основаниями которого будут прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом.

Прямоугольный параллелепипед является четырёхугольной прямой призмой.

Спичечная коробка, кусок мыла, кирпич дают представление про прямоугольный параллелепипед. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников. Каждый из этих прямоугольников называется гранью прямоугольного параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде противоположные грани равны. Грань, на которой <<стоит>> прямоугольный параллелепипед, и противоположная ей грань называются основаниями параллелепипеда. Остальные грани называются боковыми гранями. 

Стороны прямоугольников называются ребрами прямоугольного параллелепипеда. Каждое ребро, образованное при пересечении двух боковых граней, называется боковым ребром. Все боковые ребра прямоугольного параллелепипеда равны между собою. Каждое из них является высотой прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения – длину, ширину и высоту. Длина каждого из трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, которые выходят из одной вершины, называется измерением параллелепипеда.

Всего у прямоугольного параллелепипеда  8  вершин и  12  рёбер. Его поверхность образуют  6  прямоугольников, которые называются гранями. В прямоугольном параллелепипеде  4  ребра одинаковой длины и таких четвёрок – три. Короче говоря, прямоугольный параллелепипед имеет рёбра  а, b  и  с. Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда с рёбрами  а, b,  і  с  равна    

4(а + b + с).

 Некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

– все грани – прямоугольники;

– диагональные сечения – прямоугольники;

– все двугранные и плоские углы – прямые;

– рёбра, которые выходят из одной вершины, взаимно перпендикулярные;

– в прямоугольном параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны;

– диагонали прямоугольного параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам;

– сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер;

– квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений;

– в прямоугольном параллелепипеде все четыре диагонали равны между собой.

Теорема Пифагора для пространства.

Квадрат длины отрезка равен сумме квадратов длин его проекций на три взаимно перпендикулярные прямые.

Если прямая образует с взаимно перпендикулярными прямыми углы  φ₁ , φ₂  и  φ₃, то

cos²φ₁ + cos²φ₂ + cos²φ₃ = 1.

Из следствия пространственной теоремы Пифагора имеем ещё одно свойство прямоугольного параллелепипеда:

Сумма  квадратов косинусов углов, которые диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами, равна единицы.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда.

Боковою поверхностью прямоугольного параллелепипеда называется сумма площадей всех её боковых граней.

Полною поверхностью прямоугольного параллелепипеда называется сумма её боковой поверхности и площади оснований.

Боковая поверхность прямоугольного параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту прямоугольного параллелепипеда.

ЗАДАЧА:

Дано изображение прямоугольного параллелепипеда  

ABCDA₁B₁C₁D₁. 

Определите взаимное размещение плоскости  АВС  и прямых:

а) A₁B₁;  б) BB₁;  
в) DB₁;    г) CD.

Обозначим плоскость  АВС  через  α.

a) поскольку  A₁B₁ ∥ AB, AB ∈ α, то A₁B₁ ∥ α;

б) поскольку  BB₁ ⊥ AB, A₁B₁ ⊥ BC  и  AB ∈ α, BC ∈ α, то BB₁ ⊥ α;

в) поскольку  прямая  DB, и плоскость  α  имеют общую точку  D, то прямая  DB₁  пересекает плоскость  α;

г) прямая  CD  принадлежит плоскости  α.

ЗАДАЧА:

Дано изображение прямоугольного параллелепипеда  

ABCDA₁B₁C₁D₁. 

Пользуясь рисунком, определите:

а) плоскость, которая пересекает плоскость ABС;  

б) плоскость, которая параллельна плоскости АBС.

 а) плоскость ABB₁  пересекает плоскость АВС  по прямой АВ;

    плоскость BB₁C₁  пересекает плоскость АВС  по прямой ВС;

    плоскость DD₁С₁  пересекает плоскость АВС  по прямой DС;

    плоскость AA₁D₁  пересекает плоскость АВС  по прямой АD;

б) плоскость A₁B₁C₁  параллельная плоскости АBС.

ЗАДАЧА:

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как  1 : 7, длины диагоналей боковых граней равны  13 см  и  37 см. Определите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Так как противоположные грани прямоугольного параллелепипеда – равные прямоугольники, то в задаче данными будут длины диагоналей смежных боковых граней.

Пусть в прямоугольном параллелепипеде  

ABCDA₁B₁C₁D₁  

отрезки  D₁A  и  D₁C – диагонали смежных боковых граней. 

D₁A = 13 см, D₁C = 37 см. 

Стороны основания  DA  и  DC  будут ортогональными проекциями на плоскость основания диагоналей  D₁A  и  D₁C  соответственно. Поскольку большей наклонной соответствует большая проекция, то  AD < CD  и согласно условию  

AD : CD = 1 : 7. 

Пусть  

AD = k см, 
CD = 7k см (k > 0). 
DD₁ = Н см. 

Тогда из  

∆D₁DA (∠ D = 90°)  и  
∆D₁DC (∠ D = 90°)  

по теореме Пифагора получим:

откуда  

37² – 13² = 48k², k = 5.

Поэтому, 

AD = 5 см, CD = 35 см,

Тогда:

S_осн = AD×CD = 
5×35 = 175 (см²),

P = 2(AD + CD) = 
2(5 + 35) = 80 (см),

S_б = P×H = 
80×12 = 960 (см²),

S_п = S_б + 2S_осн = 
960 + 2×175 = 1310 (см²).

ОТВЕТ:  1310 см².

Решение стереометрических задач с помощью тригонометрии.

ЗАДАЧА:

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна  d  и образует с плоскостью одной боковой грани угол  α, а с плоскостью другой боковой грани – угол  β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть  ABCDA₁B₁C₁D₁ – заданный прямоугольный параллелепипед

В₁D – диагональ, В₁D = d, А₁D – проекция диагонали  В₁D  на грань  АА₁D₁D, поэтому  ∠ В₁DА₁ – угол, образующий диагональ с плоскостью этой грани. По условию, ∠ В₁DА₁ = α.

Аналогично  ∠ В₁DC₁ – это угол, образующий диагональ с плоскостью боковой грани  DD₁C₁C. По условию,  ∠ В₁DC₁ = β.

Из  ∆B₁BD (∠ B = 90º):

B₁B = d sin α.

Из  ∆B₁C₁D (∠ C₁ = 90º):

B₁C₁ = d sin β, DC₁ = d cos /β

Из  ∆DCC₁ (∠ C = 90º):

S_б = P∙ H = 2(BC + DC) ∙ B₁B =

ОТВЕТ:

Задания к уроку 6

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Прямые и плоскости в пространстве
• Урок 2. Прямая призма
• Урок 3. Наклонная призма
• Урок 4. Правильная призма
• Урок 5. Параллелепипед
• Урок 7. Куб
• Урок 8. Пирамида
• Урок 9. Правильная пирамида
• Урок 10. Усечённая пирамида
• Урок 11. Цилиндр
• Урок 12. Вписанная и описанная призмы
• Урок 13. Конус
• Урок 14. Усечённый конус
• Урок 15. Вписанная и описанная пирамиды
• Урок 16. Сфера и шар
• Урок 17. Комбинация тел