Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 30 сентября 2015 г.

Урок 15. Квадрат суми і квадрат різниці двох чисел

Квадрат суми двох чисел.

Нехай зводиться у квадрат сума двох одночленів:

(a + b)2.

Зведення в квадрат – це множення числа або виразу саме на себе, тобто:

(a + b)2 = (a + b)(a + b).

Тепер можна просто розкрити дужки, перемноживши їх і навести подібні доданки. Отримуємо:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) =

= a(a + b) + b(a + b) =

= aa + ab + ab + bb =

= a2 + 2ab + b2.

Опустивши проміжні обчислення і записавши лише початковий і кінцевий вирази, отримаємо остаточну формулу:

Квадрат суми двочлена дорівнює квадрату першого його члена, плюс подвоєний добуток першого на другий, плюс квадрат другого члена.

Квадрат суми дозволяє швидко писати результат зведення суми двох доданків у квадрат.

Отримана рівність – тотожність, її називають формулою квадрата двочлена.

ПРИКЛАД:

Розкрити дужки:

(х + 5)2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Без формули:

(х + 5)2 = (х + 5)(х + 5) =

= х(х + 5) + 5(х + 5) =

= х2 + 5х + 5х + 25 =

= х2 + 10х + 25.

За формулою:

(х + 5)2 =

= х2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52 =

= х2 + 10х + 25.

Зверніть увагу, наскільки швидше та з меншими зусиллями отримано результат у другому випадку. А коли цю та інші формули освоїте до автоматизму – буде ще швидше: ви зможете просто одразу писати відповідь. Тому ці формули і називаються

ФОРМУЛАМИ СКОРОЧЕНОГО ПОМНОЖЕННЯ

В якості  а  і  b  можуть бути будь-які висловлювання – принцип залишається тим самим.

ПРИКЛАД:

(2х + у)2 =

= (2х)2 + 2 ∙ 2х ∙ у + у2 =

= 4х2 + 4ху + у2.

ПРИКЛАД:

(х3 + 3am)2 =

= (х3)2 + 2∙2х3∙3am + (3am)2 =

= х6 + 6amх3 + 9a2m2.

ПРИКЛАД:

(3x + 2y)2 =

= (3x)2 + 2 ∙ 3x ∙ 2y + (2y)2 =

= 9x2 + 12xy + 4y2.

ПРИКЛАД:

(m + 5a2b)2 =

= m2 + 10ma2b + 25a4b2.

Проміжні перетворення слід виконувати усно.

За формулою квадрата суми двочлена можна підносити до квадрата будь-які двочлен, в том числі  – a – b.

(–a – b)2  =

= (–a)2 + 2(–a)(–b) + (–b)2 =

= а2 + 2ab + b2.

ПРИКЛАД:

(a + b – c)(a + b + c) =

= ((a + b) – c)((a + b) + c) =

= (a + b)2 – c2 =

= a2 + 2ab + b2 – c2.

Квадрат різниці двох чисел.

Нехай зводиться в квадрат різницю двох одночленів:

(a – b)2.

Зведення в квадрат – це множення числа або виразу саме на себе, тобто:

(a – b)2 = (a – b)(a – b).

Тепер можна просто розкрити дужки, перемноживши їх і навести подібні доданки. Отримуємо:

(a – b)2 = (a – b)(a – b) =

= a(a – b) – b(a – b) =

= aa – ab – ab + bb =

= a2 – 2ab + b2.

Опустивши проміжні обчислення і записавши лише початковий і кінцевий вирази, отримаємо остаточну формулу:

Квадрат різниці двочлена дорівнює квадрату першого його члена, плюс подвоєний добуток першого на другий, плюс квадрат другого члена.

За формулою квадрата різниці двочлена можна підносити до квадрата будь-які двочлен, в том числі   –a + b:

(–a + b)2  =

= (–a)2 + 2(–a)b + b2 =

= а2 – 2ab + b2.

Проміжні обчислення можна виконувати усно.

ПРИКЛАД:

(2x – y)2 =

= (2x)2 – 2 ∙ 2x ∙ y + y2 =

= 4x2 – 4xy + y2.

ПРИКЛАД:

(m – 5a2b)2 =

= m2 – 2 ∙ m ∙ 5a2b + 25a4b2 =

= m2 – 10ma2b + 25a4b2.

ПРИКЛАД:

(3a2 – 5b3)2 =

= (3a2)2 – 2 ∙ 3a2 ∙ 5b3 + (5b3)2 =

= 9a4 – 30a2b3 + 25b6.

ПРИКЛАД:

(c – 7d)2 =

= c2 – 2 ∙ c ∙ 7d + (7d)2 =.

= c2 – 14cd + 49d2.

ПРИКЛАД:

(m – 5a2b)2 =

= m2 – 10ma2b + 25a4b2.

Зведення у степінь за допомогою формул скороченого множення.

Для того, щоб звести в квадрат двоцифрове число, можна скористатися формулами квадрата суми або квадрата різниці.

ПРИКЛАД:

232 = (20 + 3)2 =

= 202 + 2 ∙ 20 ∙ 3 + 32 =

= 400 + 120 + 9 = 529.

692 = (70 – 1)2 =

= 702 + 2 ∙ 70 ∙ 1 + 12 =

= 4900 – 140 + 1 = 4761.

522 = (50 + 2)2 =

= 502 + 2 ∙ 50 ∙ 2 + 22 =

= 2500 + 200 + 4 = 2704.

792 = (80 – 1)2 =

= 802 + 2 ∙ 80 ∙ 1 + 12 =

= 6400 – 160 + 1 = 6241.

 Завдання до уроку 15
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий