Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

вторник, 13 октября 2015 г.

Урок 19. Застосовування різних способів розкладання многочлена на множники

Розкладання многочлена на множники.

Іноді можна перетворити многочлен на добуток кількох множників – многочленів чи одночленів. таке тотожне перетворення називають розкладанням многочлена на множники. І тут кажуть, що многочлен ділиться кожен із цих множників.

Розкладання многочленів на множники – операція, протилежна множенню многочленів. На множники розкладаються натуральні числа. На множники розкладаються та многочлени.

Розкласти многочлен на множники – це означає замінити його добутками кількох многочленів, тотожних даному многоочлену.

Загальні правила розкладання багаточлену на множники.

– винести загальний множник за дужки (якщо він є);

– перевірте, чи можна до виразу в дужках застосувати формули скороченого множення:

– якщо многочлен містить більше трьох членів, то необхідно його попередньо згрупувати.

При розкладанні многочленів на множники часто використовують кілька прийомів. У кожному окремому випадку треба попередньо вивчити склад даного многочлена і потім визначити, які прийоми розкладання на множники слід використовувати тут. Найчастіше доводиться застосовувати всі прийоми розкладання на множники у різній послідовності. Іноді у своїй використовують штучні прийоми.

Застосування формул скороченого множення.

За допомогою формул скороченого множення можна порівняно швидко виконати тотожні перетворення багатьох алгебраїчних виразів.

ПРИКЛАД:

mp – np + m2 – 2mn + n2 =

= (mp – np) + (m2 – 2mn + n2) =

= p(m – n) + (m – n)2 =

= (m – n)(p + m – n).

ПРИКЛАД:

1 – p2 – 2pq – q2 =

= 1 – (p2 + 2pq + q2) =

= 1 – (p + q)2 =

= (1 + p + q) (1 – p – q).

ПРИКЛАД:

x3 + 5x2 + 3x – 9 =

= x3 – 1 + 5x2 – 5 + 3x – 3 =

= (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) =

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x2 – 1) + 3(x – 1) =

= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1)(x + 1) + 3(x – 1) =

= (x – 1)[x2 + x + 1 + 5(x + 1) + 3] =

= (x – 1)(x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3) =

= (x – 1)(x2 + 6x + 9) =

= (x – 1)(x + 3)2.

ПРИКЛАД:

Спростити:

(х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3.

(х – 1)(х + 1) = х2 – 1;

(х2 – 1)(х4 + х2 + 1) = х6 – 1;

(х2 + 1)3 = х6 + 3х4 + 3х2 + 1;

х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1) =

= –3х4 – 3х2 – 2.

Однак зручніше перетворення виконувати ланцюжком.

(х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3 =

= (х2 – 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3 =

= (х6 – 1) – (х2 + 1)3 =

= х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1) =

= х6 – 1 – х6 – 3х4 – 3х2 – 1 =

= –3х4 – 3х2 – 2.

ПРИКЛАД:

Подайте у вигляді многочлена вираз:

(3 – а)2 – а(а + 1).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(3 – а)(3 – а) – а(а + 1) =

= 9 – 6а + а2 – а2 – а = –7а + 9.

ПРИКЛАД:

Перетворіть вираз

(1 + 5х)2 – 12х – 1

у многочлен стандартного виду.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(1 + 5х)2 – 12х – 1 =

= 1 + 10х + 25х2 – 12х – 1 =

= 25х2 – 2х.

ПРИКЛАД:

Спростіть вираз

 (2а – 3)2 – 4(а2 – а)

і знайдіть значення при  а = 17/8.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо відразу підставити дріб у вираз - доведеться зводити її в квадрат і взагалі робити об'ємні обчислення. Тому спочатку спростимо вираз, користуючись формулою скороченого множення і розкриємо дужки:

(2а – 3)2 – 4(а2 – а) =

= 4а2 – 12а + 9 – 4а2 + 4а =

Наведемо подібні доданки:

= –8а + 9 = –8∙17/8 + 9 =

= –17 + 9 = 8.

ПРИКЛАД:

Спростіть вираз:

(x + 2)(x – 2) – х(x + 3).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

(x + 2)(x – 2) – х(x + 3) =

= x2 – 4 – x2 – 3х = –3х – 4.

ПРИКЛАД:

Знайдіть значення виразу:

а2 – 6а + 2  при

а = 3 – √͞͞͞͞͞2 .

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

а2 – 6а + 2 =

= а2 – 6а + 9 – 9 + 2 =

= (а – 3)2 – 7.

Якщо  а = 3 – √͞͞͞͞͞2, то:

(а – 3)2 – 7 =

= (3 – √͞͞͞͞͞2  – 3)2 – 7 =

= 2 – 7 = –5.

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

4а4b3 + 16а3b4 + 16а2b5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Спочатку винесемо за дужки загальний множник. Для цього знайдемо найбільший загальний дільник коефіцієнтів  4, 16, 16  та найменші показники степенів, з якими змінні  а  або  b  входять до складених одночленів. Отримаємо:

4а2b3(а2 + 4аb + 4b2).

Далі, користуючись формулою, отримуємо:

а2 + 4аb + 4b2 = (а + 2b)2.

Остаточна відповідь:

4а4b3 + 16а3b4 + 16а2b5 =

= 4а2b3(а + 2b)2.

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

x6 – 1.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

x6 – 1 = (x3)2 – 12.

Застосувавши формулу різниці квадратів, отримаємо:

(x3 + 1)(x3 – 1).

Застосувавши формули суми кубів та різниці кубів, отримаємо:

(x + 1)(x2 – х +1)(x – 1)(x2 + х +1).

Остаточна відповідь:

x6 – 1 = (x + 1)(x2 – х +1)(x – 1)(x2 + х +1).

ПРИКЛАД:

x4 + 4у4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Додамо і віднімемо одночлен

4x2у2.

Отримаємо:

x4 + 4у4 = (x4 + 4x2у2 + 4у4) – 4x2у2 =

= (x2 + 2у2)2 – (2xу)2 =

= (x2 + 2у2 – 2ху) (x2 + 2у2 + 2ху).

Тут застосовано метод виділення повного квадрата.

 Завдання до уроку 19
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий