Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 10. Корень m-й степени

Раньше было введено понятие корня второй степени. Но в математике рассматриваются корни не только второй, но и третьей, четвёртой, пятой и вообще m-й степени. Пусть m – произвольное натуральное число больше 1, а а – любое действительное число.

Корнем m – степени из числа a называется такое число, m – я степень которого равна а.

ПРИМЕР:

Корень 3-й степени из 64 равен 4, так как 4³ = 64.

Корень 5-й степени из –32 равен –2, так как (–2)³ = –32.

Корень 4-й степени из 81 имеет (в множестве действительных чисел) два значения: –3 и 3 так как:

(–3)⁴ = 81 и 3⁴ = 81.

Корень m-й степени из числа а обозначается символом:

Однако в случае корня чётной степени, например 2-й, 4-й и т. д., этим символом обозначают только неотрицательное значение корня:

ПРИМЕР:

Их называют арифметическими значениями корней или короче арифметическими корнями.

Следовательно,

только при отрицательном а и нечётном m имеет отрицательное значение. При положительном а число

всегда положительно. Если же а < 0 , а m чётное, то

(в множестве действительных чисел) не существует.

ПРИМЕР:

так как 2⁵ = 32;

ибо (–5)³ = –125.

ПРИМЕР:

– арифметический корень,

– не арифметический корень.

При любом натуральном n корень из 0 равен 0.

ПРИМЕР:

При любом натуральном n корень из 1 равен 1.

ПРИМЕР:

Очевидно, что при всех значениях а, при которых выражение

имеет смысл, истинно равенство:

Корень второй степени принято называть квадратным корнем, а корень третьей степени – кубическим корнем.

Корень нечётной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень той же степени из противоположного (положительного) числа.

ПРИМЕР: