Урок 19. Избавление от иррациональности в числителе или знаменателе дроби

понедельник, 13 февраля 2017 г.

Урок 19. Избавление от иррациональности в числителе или знаменателе дроби

Используя предыдущие преобразования радикалов, можно освобождать подкоренное выражение от дроби.

ПРИМЕР:

Освободить подкоренное выражение от дроби:

Чтобы из знаменателя можно было извлечь кубический корень, умножим оба члена дроби на 3².

ПРИМЕР:

Освободить подкоренное выражение от дроби:

Чтобы из знаменателя можно было извлечь корень четвёртой степени, умножим оба члена дроби на 2 (так как 8 = 2³).

Если подкоренное выражение – алгебраическая дробь, подобные примеры решаются аналогично.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Уничтожение иррациональности в знаменателе или числителе дроби.

Замена дроби, у которой знаменатель (числитель) – иррациональное выражение, тождественной ей дробью с рациональным знаменателем (числителем) называется уничтожение иррациональности в знаменателе (числителе) дроби.

Ниже рассмотрены основные приёмы уничтожения иррациональностей в знаменателях. Уничтожение иррациональностей в числителях дробей выполняется аналогично.

Дробь вида

В этом случае умножают числитель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе корень извлекался бы нацело, т. е. на

ПРИМЕР:

Дробь вида

Числитель и знаменатель умножают на сопряжённое выражение

В частном случае, когда дробь вида

то её члены умножают на

ПРИМЕР:

Дробь вида

В этом случае числитель и знаменатель дроби умножают на неполный квадрат разности или суммы:

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Если в знаменателе встречаются радикалы с разными показателями, то можно уничтожить сначала один радикал, а затем второй.

ПРИМЕР:

Если в знаменателе имеются три и более радикалов, то иногда полезно предварительно сгруппировать члены и свести данный случай к уже разобранным.

ПРИМЕР:

Избавьтесь от знака корня в знаменателе дроби:

Ближайшее натуральное число, превосходящее 3 и делящееся на 5, есть 5. Чтобы показатель шестёрки стал равен пяти, выражение в знаменателе надо умножить на

Следовательно, освобождение от иррациональности в знаменатели дроби будет способствовать выражение

На которое надо умножить числитель и знаменатель:

ПРИМЕР:

Избавьтесь от знака корня в знаменателе дроби:

Очевидно, что ближайшее натуральное число, которое превосходит 15 и при этом делится без остатка на 4, это 16. Чтобы получить показатель степени в знаменателе равным 16, нужно умножить находящееся там выражение на

Таким образом, умножение числителя и знаменателя исходной дроби на

(заметим, значение этого выражение не равно нулю при любых действительных х) позволит избавиться от иррациональности в знаменателе:

Задания к уроку 19

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 13 февраля 2017 г.