Урок 8. Действия над выражениями в которых находятся квадратные корни

Выражения, в которых находятся квадратные корни, можно складывать, отнимать, умножать и делить (на знаменатель отличный от нуля), а также возводить в степень.

Подобие радикалов.

Два или несколько радикалов называются подобными, если они одинаковой степени и имеют одинаковые подкоренные выражения.

Иногда данные радикалы оказываются подобными только после некоторых преобразований.

ПРИМЕР:

Подобны ли радикалы ?

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:

Подобны.

Сложение и вычитание.

Чтобы сложить (или вычесть) радикалы, их соединяют знаками плюс (или минус) и приводят подобные члены, если они окажутся.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения:

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения:

Так как

7 –  √͞͞͞͞͞11 ˃ 0,   3 –  √͞͞͞͞͞11 < 0, то,

учитывая определение модуля, получаем:

|7 –  √͞͞͞͞͞11|+|3 –  √͞͞͞͞͞11|=

= 7 –  √͞͞͞͞͞11 – (3 –  √͞͞͞͞͞11) = 4.

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

6√͞͞͞͞͞8  – √͞͞͞͞͞32.

РЕШЕНИЕ:

6√͞͞͞͞͞8  – √͞͞͞͞͞32 = 12√͞͞͞͞͞2  – 4√͞͞͞͞͞2  = 8√͞͞͞͞͞2.

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

10√͞͞͞͞͞3  – 0,5√͞͞͞͞͞48.

РЕШЕНИЕ:

10√͞͞͞͞͞3  – 0,5√͞͞͞͞͞48 = 10√͞͞͞͞͞3  – 0,5 ∙ 4√͞͞͞͞͞3  =

= 10√͞͞͞͞͞3  – 2√͞͞͞͞͞3  = 8√͞͞͞͞͞3.

ПРИМЕР:

Упростите выражение:

6√͞͞͞͞͞18  – 4√͞͞͞͞͞8.

РЕШЕНИЕ:

6√͞͞͞͞͞18  – 4√͞͞͞͞͞8 = 6 ∙ 3√͞͞͞͞͞2  – 4 ∙ 2√͞͞͞͞͞2  =

= 18√͞͞͞͞͞2  – 8√͞͞͞͞͞2  = 10√͞͞͞͞͞2.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

ПРИМЕР:

Выполните указанные действия:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Вычислить:

РЕШЕНИЕ:

27 + 10√͞͞͞͞͞2 = (√͞͞͞͞͞2 + 5)²,

27 – 10√͞͞͞͞͞2 = (√͞͞͞͞͞2 – 5)².

Отсюда

ОТВЕТ:  10

ПРИМЕР:

Вычислить:

РЕШЕНИЕ:

Подкоренные выражения не являются полными квадратами, то есть применить приём из предыдущего примера не удастся. Возведём вычисляемое выражение в квадрат:

Следовательно, исходное выражение может быть равно  6  или  –6. Так как

То это выражение отрицательно.

ОТВЕТ:  –6 

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

Поскольку заданное выражение содержит слагаемое

то  2 – х ≥ 0, откуда находим, что  х ≤ 2.

Значит, х – 3 < 0 , а потому

|х – 3| = –(х – 3) = 3 – х.

Итак,

и мы получаем

Умножение.

Чтобы перемножить несколько радикалов одинаковой степени, надо перемножить подкоренные выражения и из произведения извлечь корень той же степени.

ПРИМЕР:

Выполнить умножение:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Выполнить умножение:

РЕШЕНИЕ:

Деление.

Чтобы разделить радикалы с одинаковыми показателями, надо разделить их подкоренные выражения и из частного извлечь корень той же степени.

ПРИМЕР:

Выполнить деление:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

РЕШЕНИЕ:

Задания к уроку 8

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Действительные числа
• Урок 2. Арифметический квадратный корень
• Урок 3. Квалратный корень из произведения и дроби
• Урок 4. Квадратный корень из степени
• Урок 5. Вынесение множителя из-под знака корня
• Урок 6. Внесение множителя под знак корня
• Урок 7. Избавление от иррациональности в знаменателе дроби
• Урок 9. Возведение в степень арифметических квадратніх корней
• Урок 10. Корень m-й степени
• Урок 11. Корень m-й степени из произведения
• Урок 12. Корень m-й степени из дроби
• Урок 13. Корень m-й степени из степени
• Урок 14. Вынесение множителя из-под знака корня m-й степени
• Урок 15. Внесение множителуй под знак корня m-й степени
• Урок 16. Действия над радикалами m-й степени
• Урок 17. Возведение в степень корня m-й степени
• Урок 18. Извлечение корня из корня m-й степени
• Урок 19. Избавление от иррациональности в числителе или знпменателе дроби
• Урок 20. Основное свойство радикала
• Урок 21. Преобразование выражений содержащих степени с положительными дробными показателями
• Урок 22. Преобразование выражений содержащих степени с отрицательными дробными показателями