Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 20. Основное свойство радикала

Если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

Если а ≥ 0, а n,k, m – натуральные числа, то:

ПРИМЕР:

Из этого свойства получаем следующие:

– радикалы разных степеней можно привести к одинаковым показателям;

Выполняют это так: находят общее кратное (лучше наименьшее) показателей всех радикалов и умножают показатель каждого из них на соответствующий дополнительный множитель, возвышая вместе с тем каждое подкоренное выражение в надлежащую степень.

ПРИМЕР:

Привести к общему показателю радикалы:

РЕШЕНИЕ:

Наименьшее общее кратное показателей радикалов 6; дополнительные множители будут: для первого радикала 3; для второго 2. Тогда:

ПРИМЕР:

РЕШЕНИЕ:

Наименьшее общее кратное показателей радикалов 4n; дополнительные множители соответственно будут n, 2 и 4. Тогда

– если подкоренное выражение есть степень, показатель которой имеет общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно разделить оба показателя;

Эта теорема требует дополнительного условия:

должен существовать, так как без этого теорема может быть неверной.

ПРИМЕР:

Вместо

нельзя писать

так как последний корень в области действительных чисел не существует.

Всегда верно следующее равенство:

В частности,

ПРИМЕР:

Упростить:

РЕШЕНИЕ:

Разделим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на одно и то же натуральное число. В рассматриваемом примере разделим указанные показатели на 3, получим:

– если подкоренное выражение есть произведение нескольких степеней, показатели которых имеют один и тот же множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно разделить все показатели;

ПРИМЕР:

Сократить показатели корней и подкоренных выражений: