Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 21 февраля 2017 г.

Урок 21. Преобразование выражений содержащих степени с положительными дробными показателями

Степенью положительного числа  а  с рациональным
показателем
где  m – целое число, а  n – натуральнее  (n > 1), называют корень  n-й  степени из числа  am.
ПРИМЕР:
Если  а > 0  и  х – произвольное дробное число, представленное в виде
где  m – целое, а  n – натуральное, то:
Если  а = 0  и  х – дробное положительное число, то: 

ax = 0

Формулу
в элементарной математике обычно рассматривают только при  а ≥ 0, так как при отрицательных значениях  а  выражение
а следовательно, и
может не иметь значения (в множестве действительных чисел). Дробные показатели могут быть не только положительные, но и отрицательные, т. е. любыми рациональными числами.

ПРИМЕР:

Такие выражения, как:
не имеют смысла.

ПРИМЕР:

Дробное число  0,75  можно представить в виде дроби так:
Значение степени с дробным показателем не зависит от выбора способа записи числа  х  в виде дроби; представляя дробное число  х  в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат.

ПРИМЕР:

Пусть  а > 0. Тогда
и значит,
a ≥ 0,  n N,  n 2.

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
Если основания степеней положительны, то свойства степени с целым показателем остаются справедливыми и для степеней с любым дробным показателем.

Действия над степенями с любыми рациональными показателями выполняют по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.

Для любых рациональных  u  и  v  и действительного  a > 0  верны равенства:

ПРИМЕР:

Упростить выражение:
РЕШЕНИЕ:

Приведём радикалы к одному показателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное чисел  8  и  12, то есть

НОК(8, 12) = 24.

Далее показатели корня и степени подкоренного выражения для первого из перемножаемых радикалов следует умножить на  3, а для второго – на  2. Получим:
На практике при выполнении действий над радикалами довольно часто переходят к дробным показателям. Например:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
Данная дробь определена при  х > 0. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и сократим  её:
Выражение
тождественно равно первоначальному на множестве положительных значений  х, т. е. на области определения исходной дроби.

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Упростить выражение:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Найдите значение выражения:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Упростить:
РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:
Задания к уроку 21
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий