Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 21. Преобразование выражений содержащих степени с положительными дробными показателями

Степенью положительного числа а с рациональным

показателем

где m – целое число, а n – натуральнее (n > 1), называют корень n-й степени из числа a^m.

ПРИМЕР:

Если а > 0 и х – произвольное дробное число, представленное в виде

где m – целое, а n – натуральное, то:

Если а = 0 и х – дробное положительное число, то:

a^x = 0.

Формулу

в элементарной математике обычно рассматривают только при а ≥ 0, так как при отрицательных значениях а выражение

а следовательно, и

может не иметь значения (в множестве действительных чисел). Дробные показатели могут быть не только положительные, но и отрицательные, т. е. любыми рациональными числами.

ПРИМЕР:

Такие выражения, как:

не имеют смысла.

ПРИМЕР:

Дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так:

Значение степени с дробным показателем не зависит от выбора способа записи числа х в виде дроби; представляя дробное число х в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат.

ПРИМЕР:

Пусть а > 0. Тогда

и значит,

a ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 2.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:

Если основания степеней положительны, то свойства степени с целым показателем остаются справедливыми и для степеней с любым дробным показателем.

Действия над степенями с любыми рациональными показателями выполняют по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.

Для любых рациональных u и v и действительного a > 0 верны равенства: