Урок 21. Формулі додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій

ВІДЕО УРОК

Формули дозволяють визначити за відомими тригонометричними функціями аргументів  α  і  β  значення цих функцій для сум чи різниць заданих аргументів.

Синус суми двох кутів дорівнює добутку синуса першого кута на косинус другого плюс добуток косинуса першого кута на синус другого.

Нехай до кута  α < 90°  додається кут  β < 90°, причому  

α + β < 90°.

Із загальної вершини  О  цих кутів описано одиничне коло. З точки  F  опустимо перпендикуляри

FA ⊥ OE₁  і  FC ⊥ OC

на сторони кутів  α  і  β. Проведемо

CD ⊥ AF  і  CB ⊥ OE₁.

З креслення маємо:

Так як  AD = BC, а 

BC = OC sin α  (з трикутника  ОВС) та

OC = OF cos α = 1 ∙ cos β

(з трикутника  ОСF), то

AD = sin α ∙ cos β.

З трикутника  CDF  маємо:

DF = CF соs α,

а з трикутника  OCF  маємо:

CF = OF sin β = 1 ∙ sin β.

На підставі цієї рівності

CF = OF sin β = 1 ∙ sin β

рівність

DF = CF соs α

набуде вигляду:

DF = соs α sin β.

Замінюючи у рівності

sin (α + β) = AD + DF

AD  і  DF  їх значеннями

AD = sin α cos β

DF = соs α sin β,

отримаємо:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

sin 75°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

sin 75° = sin (30° + 45°).

Скористаємося такою формулою:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

при  α = 30°, β = 45°, отримаємо

sin (30° + 45°) =

sin 30° cos 45° + sin 45° cos 30°.

Відомо що

Значить,

ВІДПОВІДЬ:

Косинус суми двох кутів дорівнює добутку косинуса першого кута на косинус другого мінус добуток синуса першого кута на синус другого.

З креслення

 маємо:

Але 

OB = OC соs α = OF ∙ cos α cos β,

оскільки  OC = OF cos β  (з трикутника  OCF).

Але,

OB = cos α cos β,

AB = DC = CF sin α,

CF = OF sin β  (з трикутника  OCF),

отже,

AB = sin α sin β.

На підставі рівностей

OB = cos α cos β,

AB = sin α sin β

рівність

cos (α + β) = OB – AB

набуде вигляду:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

соs 75°

як косинус суми кутів  30°  і  45°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

соs 75° = соs (30° + 45°).

Скористаємося такою формулою:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

при  α = 30°, β = 45°, отримаємо

соs (30° + 45°) =

соs 30° cos 45° – sin 45° sin 30°.

Відомо що

Значить,

що збігається зі значенням  соs 75°, взятим з таблиць.

ВІДПОВІДЬ:  ≈ 0,2588

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористайтеся для

наступними формулами:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α,

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

та враховуючи, що

Отримаємо:

ВІДПОВІДЬ:  tg α

Синус різниці двох кутів дорівнює добутку синуса першого кута на косинус другого мінус добуток косинуса першого кута на синус другого.

Щоб вивести формулу синуса різниці кутів  α  і  β, тобто формулу, що виражає  sin (α – β)  через синус та косинус кутів  α  та  β, представимо різницю  α – β  у вигляді суми  α + (–β)  та застосуємо до цієї суми формулу

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Маємо:

sin (α – β) = sin (α + (–β)) =

= sin α cos (–β) + cos α sin (–β).

Но  cos (–β) = cos β  и 

sin (–β) = –sin β,

а тому

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β.

ПРИКЛАД:

Обчислити

sin 15°

як синус різниці

45°  і  30°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відомо, що

Тоді за формулою

sin(α – β) = sin α cos β – sin β cos α

отримуємо

sin 15° = sin (45° – 30°) =

sin 45° cos 30° – sin 30° cos 45°,

або

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Обчислити

sin 15°

як синус різниці

60°  і  45°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Відомо, що

Тоді за формулою

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α

отримуємо

sin 15° = sin (60° – 45°) =

sin 60° cos 45° – sin 45° cos 60°,

або

ВІДПОВІДЬ:

Косинус різниці двох кутів дорівнює добутку косинуса першого кута на косинус другого плюс добуток синуса першого кута на синус другого.

Щоб вивести формулу косинуса різниці кутів  α  і  β, тобто формулу, що виражає  соs (α – β)  через синус і косинус кутів  α  і  β, представимо різницю  α – β  у вигляді суми  α + (–β)  і застосуємо до цієї суми формулу

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

Маємо:

соs (α – β) = соs (α + (–β)) =

= соs α cos (–β) – sin α sin (–β).

Але  cos (–β) = cos β  і 

sin (–β) = –sin β,

а тому

соs (α – β) = соs α cos β + sin α sin β.

ПРИКЛАД:

Обчислити:

cos 15°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

cos 15° = cos (45° – 30°).

Скористаємося такою формулою:

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

при  α = 45°, β = 30°, отримаємо

cos 15° = cos (45° – 30°) =

cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°.

Відомо що

Значить,

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Обчислити:

cos 15°

як косинус різниці кутів

60°  і  45°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

cos 15° = cos (60° – 45°).

Скористаємося такою формулою:

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

при  α = 60°, β = 45°, отримаємо

cos 15° = cos (60° – 45°) =

cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45°.

Відомо що

Значить,

ВІДПОВІДЬ:

ПРИКЛАД:

Спростимо вираз:

cos (α + β) + cos (α – β).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скориставшись формулами косинуса суми і косинуса різниці, дістанемо:

cos (α + β) + cos (α – β) =

cos α cos β – sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β =

= 2cos α cos β.

Перераховані вище формули справедливі для будь-яких  α, β.

Тангенс суми двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є сума тангенсів цих кутів, а знаменник є різниця між одиницею та добутком тангенсів тих самих кутів.

Ця формула вірна при  α, β, α + β, відмінних від

^π/₂ + πk, k ∈ Z.

Користуючись формулою, що виражає залежність між тангенсом, синусом та косинусом будь-якого кута, маємо:

На підставі формул

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

отримаємо:

Розділивши чисельник та знаменник правої частини на  cos α соs β, отримаємо:

Отже,

ПРИКЛАД:

Знайти  tg 75°, знаючи, що

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ПРИКЛАД:

Знайти

tg (^π/₄ + α),

якщо

tg α = ³/₄.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося наступною формулою

та враховуючи, що

tg ^π/₄ = 1,

отримаємо:

ПРИКЛАД:

Довести тотожність:

tg(α + β) – tg α – tg β = tg α tg β tg(α + β).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо ліву частину тотожності. Винесемо за дужки

tg(α + β),

скориставшись формулою

маємо

tg(α + β) – tg α – tg β =

tg(α + β) – (tg α + tg β) =

tg(α + β) – tg(α + β)(1 – tg α tg β)

= tg(α + β)(1 – 1 + tg α tg β) =

tg(α + β) tg α tg β.

Тангенс різниці двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є різниця тангенсів цих кутів, а знаменник – сума одиниці та добутку тангенсів тих самих кутів.

Ця формула вірна при  α, β, α – β, відмінних від

^π/₂ + πk, k ∈ Z.

Користуючись формулою, що виражає залежність між тангенсом, синусом та косинусом будь-якого кута, маємо:

На підставі формул

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β,

соs (α – β) = соs α cos β + sin α sin β

отримаємо:

Розділивши чисельник та знаменник правої частини на  cos α соs β, отримаємо:

Отже,

Отримана формула могла бути отримана з формули

заміною у ній кута  β  на  –β.

Оскільки котангенс є величина, обернена до тангенсу, то формули для вираження

сtg (α + β),

сtg (α – β)

через  tg α  і  tg β  можна отримати з формул

помінявши у кожному їх місцями чисельник і знаменник.

Формули для вираження

сtg (α + β),

сtg (α – β)

через  сtg α  і  сtg β  можна отримати скориставшись формулами:

Отримаємо такі формули:

Котангенс суми двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є різниця добутку котангенсів цих кутів та одиниці, а знаменник – сума котангенсів цих кутів.

Котангенс різниці двох кутів дорівнює дробу, чисельник якого є сума добутку котангенсів цих кутів та одиниці, а знаменник – різниця котангенсів цих кутів.

Завдання до уроку 21

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень