Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)

ВІДЕО УРОК
Синус подвійного кута дорівнює подвоєного синуса даного кута, помноженого на косинус того ж кута.
Якщо у формулі

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

покласти α = β, то отримаємо:

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

або

sin 2α = 2 sin α cos α.

ПРИКЛАД:

Візьмемо кут 30°. Синус подвійного кута, тобто 60° за цією формулою, вийде так:

ПРИКЛАД:

Спростіть вираз:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ: –0,5

Косинус подвійного кута дорівнює квадрату косинуса даного кута мінус квадрат синуса того самого кута.
Для отримання косинуса подвійного кута скористаємося формулою

соs (α + β) = соs α cos β – sin α sin β

і покладемо у ній α = β.

Отримаємо:

соs (α + α) = соs α cos α – sin α sin α,

або

соs 2α = соs² α – sin² α.

ПРИКЛАД:
Якщо у формулі

соs 2α = соs² α – sin² α

замінити

соs² α на 1 – sin² α

або

sin² α на 1 – соs² α,

то отримаємо ще дві формули для соs 2α:

соs 2α =1 – 2 sin² α,

соs 2α = 2 соs² α – 1.

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

tg x – ctg x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Для перетворення чисельника дробу скористаємося такою формулою:

соs² α – sin² α = соs 2α

але спочатку винесемо знак мінус за дужки

sin² х – соs² х =

–(соs² х – sin² х) = – соs 2х.

Для перетворення знаменника дробу скористаємося такою формулою:

2 sin α cos α = sin 2α

sin x cos x = ¹/₂sin 2x.

В результаті отримаємо:

ВІДПОВІДЬ: –2 ctg 2x

ПРИКЛАД:

Довести тотожність:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаменник правої частини перетворимо за такою формулою:

соs 2α = соs² α – sin² α

сos х = cos² ^х/₂ – sin² ^х/₂ =

cos² ^х/₂ – (1 – cos² ^х/₂) =

2 cos² ^х/₂ – 1.

1 + сos х = 2 cos² ^х/₂.

Чисельник правої частини перетворимо за такою формулою:

sin 2α = 2 sin α cos α.

sin х = 2 sin ^х/₂ cos ^х/₂.

В результаті отримаємо:

Тангенс подвійного кута дорівнює подвоєному тангенсу даного кута, поділеному на різницю між одиницею та квадратом тангенсу даного кута.
Виведемо формулу tg 2α.
Вважаючи у формулі

отримаємо:

або

Ця формула має місце для всіх значень α, крім

α = ^π/₂ + kπ,

α = ^π/₄ + 2kπ,

де k – ціле число, оскільки за таких значень α не визначено (не існує) або tg α або tg 2α.

Ця формула може бути отримана і в результаті по членного поділу формули

sin 2α = 2 sin α cos α

на формулу

соs 2α = соs² α – sin² α

та наступних простих перетворень.

ПРИКЛАД:

Дано: tg α = ³/₄.

Знайти tg 2α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:

ПРИКЛАД:

Обчисліть

tg x,

якщо tg 2x = 2,

^3π/₂ < x < 2π.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Бо за умовою

^3π/₂ < x < 2π, то

tg 2x < 0. Маємо:

Робимо заміну t = tg x і отримуємо рівняння

t² + t – 1 = 0,

коріння якого наступне:

Так як tg x < 0, нас цікавить лише негативний корінь. Отже:

ВІДПОВІДЬ:
Котангенс подвійного кута дорівнює різниці квадрата котангенсу та одиниці, поділеної на подвоєний котангенс даного кута.
З допомогою цих формул можна висловити синус, косинус, тангенс, котангенс будь-якого (допустимого) аргументу через тригонометричні функції вдвічі меншого аргументу.

Формула

sin 2α = 2 sin α cos α

пов'язує синус будь-якого кута з синусом і косинусом кута, удвічі меншого.

ПРИКЛАД:

sin x = sin 2 ∙ ^x/₂ = 2 sin ^x/₂ cos ^x/₂,

sin 5x = sin 2 ∙ ^5x/₂ = 2 sin ^5x/₂ cos ^5x/₂,

sin ^x/₂ = 2 sin ^x/₄ cos ^x/₄.

Формула

соs 2α = соs² α – sin² α

пов'язує косинус будь-якого кута з синусом і косинусом кута, удвічі меншого. На підставі її можна, наприклад, вирази

cos 6α, соs α, соs ^x/₂

представити так:

ПРИКЛАД:

cos 6α = cos² 3α – sin² 3α,

соs α = cos² ^α/₂ – sin² ^α/₂,

соs ^x/₂ = cos² ^x/₄ – sin² ^x/₄.

Користуючись формулою тангенсу подвійного кута, можна тангенс будь-якого кута виразити через тангенс кута вдвічі меншого.

ПРИКЛАД:
Шляхом послідовного застосування формул складання аргументів тригонометричних функцій можна отримати формули 3α, 4α і так далі. Наведемо формули для потрійних кутів:

sin 3α = sin (α + 2α) =

= sin α cos 2α + sin 2α cos α =

= sin α (соs² α – sin² α) + cos α 2 sin α cos α =

= sin α (1 – 2 sin² α) + 2 sin α (1 – sin² α) =

= sin α – 2 sin³ α + 2 sin α – 2 sin³ α =

= 3 sin α – 4 sin³α,

cos 3α = соs (α + 2α) =

= cos α cos 2α – sin α sin 2α =

= соs α (соs² α – sin² α) – sin α 2 sin α cos α =

= соs α (2 соs² α – 1) – 2 соs α (1 – соs² α) =

= 2 соs³ α – соs α – 2 соs α + 2 соs³ α =

= 4 cos³α – 3 cos α,

ПРИКЛАД:

Обчислити sin 18°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємось тотожністю

sin 36° = cos 54°.

Позначимо 18° = α, бачимо, що в даному випадку

sin 2α = cos 3α, або

2 sin α cos α = 4 cos³ α – 3 cos α.

Так як cos α ≠ 0, то, після скорочення на cos α, маємо

2 sin α = 4 cos²α – 3 = 4(1 – sin²α) – 3,

звідки

4 sin²α + 2 sin α – 1 = 0.

Вирішуючи це рівняння щодо sin α, знайдемо
Оскільки в першому квадранті sin α ˃ 0, то друге значення не підходить.

ВІДПОВІДЬ:
У деяких випадках корисним є використання отриманих формул справа наліво:

Якщо формули

спочатку відняти одну з іншої, а потім скласти, то отримаємо наступні дві формули, що часто вживаються при різних тригонометричних перетвореннях:

Ці формули називаються формулами зниження ступеня. Вони дозволяють перетворювати sin 2х і cos 2х вирази, що містять перший ступінь косинуса подвійного аргументу.

ПРИКЛАД:

Використовуючи формули: