Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 1 марта 2019 г.

Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)

ВІДЕО УРОК
Синус подвійного кута дорівнює подвоєного синуса даного кута, помноженого на косинус того ж кута.
Якщо у формулі

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

покласти  α = β, то отримаємо:

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α

або

sin 2α = 2 sin α cos α.

 ПРИКЛАД:

Візьмемо кут  30°. Синус подвійного кута, тобто  60°  за цією формулою, вийде так:
ПРИКЛАД:

Спростіть вираз:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВІДПОВІДЬ:  –0,5

Косинус подвійного кута дорівнює квадрату косинуса даного кута мінус квадрат синуса того самого кута.
Для отримання косинуса подвійного кута скористаємося формулою

соs (α + β) = соs α cos β – sin α sin β

і покладемо у ній  α = β.

Отримаємо:

соs (α + α) = соs α cos α – sin α sin α,

або

соs 2α = соs2 α – sin2 α.

ПРИКЛАД:
Якщо у формулі

соs 2α = соs2 α – sin2 α

замінити

соs2 α  на  1 – sin2 α

або

sin2 α  на  1 – соs2 α,

то отримаємо ще дві формули для  соs 2α:

соs 2α =1 – 2 sin2 α,

соs 2α = 2 соs2 α – 1.

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

tg x – ctg x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Для перетворення чисельника дробу скористаємося такою формулою:

соs2 α – sin2 α = соs 2α

але спочатку винесемо знак мінус за дужки

sin2 х – соs2 х =

–(соs2 х – sin2 х) = – соs 2х.

Для перетворення знаменника дробу скористаємося такою формулою:

2 sin α cos α = sin 2α

sin x cos x = 1/2 sin 2x.

В результаті отримаємо:
ВІДПОВІДЬ:  –2 ctg 2x

ПРИКЛАД:

Довести тотожність:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знаменник правої частини перетворимо за такою формулою:

соs 2α = соs2 α – sin2 α

сos х = cos2 х/2 sin2 х/2 =

cos2 х/2 (1 – cos2 х/2) =

2 cos2 х/2 – 1.

1 + сos х = 2 cos2 х/2.

Чисельник правої частини перетворимо за такою формулою:

sin 2α = 2 sin α cos α.

sin х = 2 sin х/2 cos х/2.

В результаті отримаємо:
Тангенс подвійного кута дорівнює подвоєному тангенсу даного кута, поділеному на різницю між одиницею та квадратом тангенсу даного кута.
Виведемо формулу  tg 2α.
Вважаючи у формулі
отримаємо:
або
Ця формула має місце для всіх значень  α, крім

α = π/2 + kπ,

α = π/4 + 2,

де  k – ціле число, оскільки за таких значень  α  не визначено (не існує) або  tg α  або  tg 2α.

Ця формула може бути отримана і в результаті по членного поділу формули

sin 2α = 2 sin α cos α

на формулу

соs 2α = соs2 α – sin2 α

та наступних простих перетворень.

ПРИКЛАД:

Дано:  tg α = 3/4.

Знайти  tg 2α.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Маємо:
ПРИКЛАД:

Обчисліть

tg x,

якщо  tg 2x = 2,

3π/2 < x < 2π.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Бо за умовою 

3π/2 < x < 2π, то 

tg 2x < 0. Маємо:
Робимо заміну  t = tg x  і отримуємо рівняння

t2 + t – 1 = 0,

коріння якого наступне:
Так як  tg x < 0, нас цікавить лише негативний корінь. Отже:
ВІДПОВІДЬ:
Котангенс подвійного кута дорівнює різниці квадрата котангенсу та одиниці, поділеної на подвоєний котангенс даного кута.
З допомогою цих формул можна висловити синус, косинус, тангенс, котангенс будь-якого (допустимого) аргументу через тригонометричні функції вдвічі меншого аргументу.

Формула

sin 2α = 2 sin α cos α

пов'язує синус будь-якого кута з синусом і косинусом кута, удвічі меншого.

ПРИКЛАД:

sin x = sin 2 x/2 = 2 sin x/2 cos x/2,

sin 5x = sin 2 5x/2 = 2 sin 5x/2 cos 5x/2,

sin x/2 = 2 sin x/4 cos x/4.

Формула

соs 2α = соs2 α – sin2 α

пов'язує косинус будь-якого кута з синусом і косинусом кута, удвічі меншого. На підставі її можна, наприклад, вирази

cos 6α, соs α, соs x/2

представити так:

ПРИКЛАД:

cos 6α = cos2 3α – sin2 3α,

соs α = cos2 α/2sin2 α/2,

соs x/2 = cos2 x/4sin2 x/4.

Користуючись формулою тангенсу подвійного кута, можна тангенс будь-якого кута виразити через тангенс кута вдвічі меншого.

ПРИКЛАД:
Шляхом послідовного застосування формул складання аргументів тригонометричних функцій можна отримати формули  ,  і так далі. Наведемо формули для потрійних кутів:

sin 3α = sin (α + 2α) =

= sin α cos 2α + sin 2α cos α =

= sin α (соs2 α – sin2 α) + cos α 2 sin α cos α =

= sin α (1 – 2 sin2 α) + 2 sin α (1 – sin2 α) =

= sin α  – 2 sin3 α + 2 sin α – 2 sin3 α =

= 3 sin α – 4 sin3α,

cos 3α = соs (α + 2α) =

= cos α cos 2α – sin α sin 2α =

= соs α (соs2 α – sin2 α) – sin α 2 sin α cos α =

= соs α (2 соs2 α – 1) – 2 соs α (1 – соs2 α) =

= 2 соs3 α – соs α – 2 соs α + 2 соs3 α =

= 4 cos3α – 3 cos α,
ПРИКЛАД:

Обчислити  sin 18°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємось тотожністю 

sin 36° = cos 54°.

Позначимо  18° = α, бачимо, що в даному випадку 

sin 2α = cos 3α, або 

2 sin α cos α = 4 cos3 α 3 cos α.

Так як  cos α 0, то, після скорочення на  cos α, маємо

2 sin α = 4 cos2α – 3 = 4(1 – sin2α) – 3,

звідки

4 sin2α + 2 sin α – 1 = 0.

Вирішуючи це рівняння щодо  sin α, знайдемо
Оскільки в першому квадранті  sin α ˃ 0, то друге значення не підходить.

ВІДПОВІДЬ:
У деяких випадках корисним є використання отриманих формул справа наліво:
Якщо формули
спочатку відняти одну з іншої, а потім скласти, то отримаємо наступні дві формули, що часто вживаються при різних тригонометричних перетвореннях:
Ці формули називаються формулами зниження ступеня. Вони дозволяють перетворювати  sin 2х  і  cos 2х  вирази, що містять перший ступінь косинуса подвійного аргументу.

ПРИКЛАД:

Використовуючи формули:
можна здобути такі рівності:
Формули
використовують і <<праворуч наліво>> для перетворення сум

1 + сos 2х, 1 – сos 2х

у добуток.

ПРИКЛАД:
ПРИКЛАД:

Обчислити:

sin4 х + сos4 х,

якщо відомо, що

сos 2х = 5/13.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скориставшись тим, що

sin4 х = (sin2 х)2,

сos4 х = (сos2 х)2,

застосуємо формули зниження ступеня:
Отримаємо:
Зведемо в квадрат чисельники та знаменники дробів і приведемо їх до спільного знаменника:
Скориставшись формулами квадрата різниці та квадрата суми двох чисел.
Отримаємо:
ВІДПОВІДЬ:  97/169

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Щоб спростити цей вираз використовуватимемо формулу зниження синуса:
а також представимо тангенс у вигляді:
ВІДПОВІДЬ:  1/2

ПРИКЛАД:

Знайти період функції:

y = 15 sin2 12x + 12 sin2 15x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зводимо функцію до суми найпростіших:
НОК (5π, 4π) = 20π,
Інші тотожності:

cos α cos (60°α) cos (60° + α) = 1/4 cos 3α,

tg α tg (60°α) tg (60° + α) = tg 3α,

ctg α ctg (60°α) ctg (60° + α) = ctg 3α.

ПРИКЛАД:

Спростити вираз:

A = tg 3° tg 17° tg 23° tg 37° tg 43° tg 57° tg 63° tg 77° tg 83°.

Представимо цей вираз у вигляді

A = (tg 3° tg 57° tg 63°)( tg 17° tg 43° tg 77°)( tg 23° tg 37° tg 83°)

і скористаємось тотожністю для тангенсів

tg α tg (60°α) tg (60° + α) = tg 3α.

Тоді

A = tg 9° tg 51° tg 69° = tg 27°.

ВІДПОВІДЬ:  A = tg 27°

Завдання до уроку 22
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий