Урок 11. Винесення спільного множника за дужки

Ви вмієте розкладати на множники натуральні числа.

ПРИКЛАД:

15 = 3 ∙ 5;

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5;

1001 = 7 ∙ 11 ∙ 13.

Подібно до цього розкладають на множники і многочлени.

Один із способів розкладання многочлена на множники – винесення спільного множника за дужки.

Розкладання многочлена на множники.

Іноді можна перетворити многочлен на добуток кількох множників – многочленів чи одночленів. таке тотожне перетворення називають розкладанням многочлена на множники. У цьому випадку кажуть, що многочлен ділиться на кожен із цих множників.

Розкласти многочлен на множники – це означає замінити його добутком кількох многочленів, тотожним даному многочлену.

Винесення загального множника за дужки.

Один із способів розкладання многочлена на множники – винесення загального множника за дужки. Це перетворення є безпосереднім наслідком розподільчого закону

Щоб розкласти многочлен на множники винесенням загального множника за дужки, треба:

– визначити цей загальний множник;

– розділити на нього всі члени многочлена;

– записати добуток спільного множника на отриману частку, взявши цу частку у дужки.

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

ах + ау.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Кожний член многочлена  ах + ау  має спільний множник  а. На підставі розподільного закону множення:

ах + ау = а(х + у).

Це означає, що даний многочлен  ах + ау  розкладено на два множники:  а  і  х + у.

Щоб переконатись, що розклад многочлена на множники виконано правильно, слід перемножити отримані множники. В результаті має утворитись даний многочлен. Іноді доводиться розкладати на множн6ики і такі вирази, що мають спільний многочленний множник.

Якщо правильно зроблено розкладання на множники, то в результаті має вийти цей многочлен.

Як правило, намагаються винести за дужки такий загальний множник, щоб у дужках залишався найпростіший вираз. Тому часто коефіцієнт загального множника беруть найбільший загальний дільник коефіцієнтів всіх членів даного многочлена чи його модулів. Зазвичай при винесенні загального множника за дужки кожну змінну, що входить у всі члени многочлена, виносять з найменшим показником, який вона має у цьому многочлені. Якщо всі коефіцієнти многочлена – цілі числа, то як коефіцієнт загального множника беруть найбільший за модулем спільний дільник.

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

2m – 7m + 3m.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У даному виразі всі доданки мають спільний множник  m. Отже,

2m – 7m + 3m =

= m(2 – 7 + 3).

У дужках записано суму коефіцієнтів усіх доданків. Вона дорівнює  –2:

2 – 7 + 3 = –2.

Тому

2m – 7m + 3m = –2m.

У виразі

2m – 7m + 3m

усі доданки мають однакову буквену частину. Такі доданки називають подібними доданками. Подібні доданки можуть відрізнятися один вид одного лише коефіцієнтами.

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

28х³ – 35х⁴.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

28х³ – 35х⁴ =

= 7х³ ∙ 4 – 7х³ ∙ 5х =

= 7х³ ∙ (4 – 5х).

ПРИКЛАД:

Розкласти на множники:

4ab + 2aс.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Кожний доданок  4ab  і  2aс  має спільний множник  2а, бо

4ab = 2a∙ 2b  і

2aс = 2a∙ с.

Отже,

4ab + 2aс = 2a∙ 2b + 2a∙ с =

= 2a∙ (2b + с).

ПРИКЛАД:

2ax³ – 4a²x² = 2ax²(x – 2a²).

40m²n – 25mn² + 30mn =

= 5mn(8m – 5n + 6).

ПРИКЛАД:

Чому дорівнює значення виразу

3а² – 12а – 2,

якщо

а² – 4а + 2 = 6 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо  а² – 4а + 2 = 6,

то  а² – 4а = 4.

Перетворимо цей вираз наступним чином:

3а² – 12а – 2 =

= 3(а² – 4а) – 2.

Підставимо замість  а² – 4а   4, отримаємо:

3 ∙ 4 – 2 = 10.

Іноді доводиться розкладати на множники і такі вирази, які мають загальний багаточленний множник.

ПРИКЛАД:

В виразі

a(b – c) + x(b – c).

Спільний множник  b – c. Його також можна винести за дужки:

a(b – c) + x(b – c) = (b – c)(а + х).

ПРИКЛАД:

У виразі  x(p – a) – y(p – a) – z(p – a)  загальний множник  (p – a). Його також можна винести за дужки:

x(p – a) – y(p – a) – z(p – a) = (p – a)(x – y – z).

ПРИКЛАД:

У виразі

a²(x – 1) – b(1 – x)

загальний множник  (x – 1). Його також можна винести за дужки:

a²(x – 1) – b(1 – x) =

= a²(x – 1) + b(x – 1) =

= (x – 1)(a² + b).

ПРИКЛАД:

4ab – 2ab² =

= 2ab ∙ 2 – 2ab ∙ b =

= 2ab(2 – b).

3x + 6x² – 9x³ =

= 3x ∙ 1 + 3x ∙ 2x – 3x ∙ 3x² =

= 3x(1 + 2x – 3x²).

Завдання до уроку 11

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Раціональні алгебраїчні вирази
• Урок 2. Тотожні вирази
• Урок 3. Одночлени
• Урок 4. Множення одночленів
• Урок 5. Піднесення одночлена до степені
• Урок 6. Ділення одночленів
• Урок 7. Многочлени
• Урок 8. Додавання і віднімання многочленів
• Урок 9. Множення одночлена на многочлен
• Урок 10. Множення многочлена на многочлен
• Урок 12. Спосіб групування
• Урок 13. Добуток суми і різниці двох виразів
• Урок 14. Різниця квадратів двох чисел
• Урок 15. Квадрат суми і квадрат різниці двох чисел
• Урок 16. Перетворення многочлена у квадрат суми або різниці двох виразів
• Урок 17. Сума і різниця кубів двох чисел
• Урок 18. Куб суми і куб різниці двох чисел
• Урок 19. Застосовування різних способів розкладання многочлена на множники
• Урок 20. Алгебраїчні дроби
• Урок 21. Скорочення дробу (1)
• Урок 22. Скорочення дробу (2)
• Урок 23. Додавання алгебраїчних дробив
• Урок 24. Віднімання алгебраїчних дробив
• Урок 25. Множення алгебраїчних дробив
• Урок 26. Ділення алгебраїчних дробив
• Урок 27. Зведення алгебраїчних дробів у цілий позитивний степінь
• Урок 28. Зведення алгебраїчних дробів у цілий негативній степінь
• Урок 29. Перетворення алгебраїчних виразів