Урок 10. Корінь m-го степеня

Раніше було запроваджено поняття кореня другого степеня. Але в математиці розглядають корені не тільки другого, але й третього, четвертого, п’ятого и взагалі  m-й степенів. Нехай  m – довільне натуральне число, більше за  1, а  а – будь-яке дійсне число.

Коренем  m – степеня  з  a  називається таке число, m-й  степінь якого дорівнює  а.

ПРИКЛАД:

Корінь  3-го  степеня  64  дорівнює  4, оскільки  4³ = 64.

Корінь  5-го  степеня з  –32  дорівнює  –2, оскільки  (–2)³ = –32.

Корінь  4-го  степеня з  81 має (в множині дійсних чисел) два значення:  –3  и  3  оскільки:

(–3)⁴ = 81   и   3⁴ = 81.

Корінь  m-го  степеня з числа  а  позначають символом

Однак в випадку парного степеня, наприклад  2-го, 4-го  і т. д., цим символом позначають тільки невід’ємне значення кореня:

ПРИКЛАД:

Їх називають арифметичними значеннями корнів або, коротше арифметичними коренями.

Отже,

тільки при від’ємному  а  і непарному  m  має від’ємне значення.

При додатному  а  число

завжди додатне.

Якщо ж  а < 0, а  m  парне, то

(в множині дійсних чисел) не існує.

ПРИКЛАД:

ПРИКЛАД:

При будь-якому натуральному  n  корінь із  0  дорівнює  0.

ПРИКЛАД:

При будь-якому натуральному  n  корінь із  1  дорівнює  1.

ПРИКЛАД:

Очевидно, що при всіх значеннях  а, за яких вираз

має сенс, істинно рівність:

Корінь другого степеня прийнято називати квадратним коренем, а корінь третього степеня – кубічним коренем.

Корінь непарного степеня з негативного числа можна виразити через арифметичний корінь того ж ступеня із протилежного (позитивного) числа.

ПРИКЛАД:

ПРИКЛАД:

Запис

означає корінь третього степеня (або кубічний корінь) з  –27. Рівність істинна, оскільки  (–3)² = –27.

ПРИКЛАД:

Запис

означає невід'ємний корінь шостого степеня  64.

так як  2 – невід'ємне число та  2⁶ = 64.

Показники коренів виду  n = 2k + 1 (n – непарне число) використовують для позначення будь-яких коренів.

Корені

існують для будь-яких значень  а (a ∈ R). Показники коренів виду 

n = 2k 

(n – парне число) використовують для позначення арифметичних коренів.

Корені існують лише для  a > 0. Показником кореня може бути будь-яке натуральне число більше за  1.

Корінь другого степеня прийнято називати квадратним коренем, а корінь третього степеня – кубічним коренем.

Завдання до уроку 10

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Дійсні числа
• Урок 2. Арифметичний квадратний корінь
• Урок 3. Квадратний корінь з добутку і дробу
• Урок 4. Квадратний корінь з степеня
• Урок 5. Винесення множників за знак кореня
• Урок 6. Внесення множників під знак кореня
• Урок 7. Знищення ірраціональності в знаменнику дробу
• Урок 8. Дії над радикалами
• Урок 9. Зведення у степінь арифметичних квадратних коренів
• Урок 11. Корінь m-го степеня з добутку
• Урок 12. Корінь m-го степеня з дробу
• Урок 13. Корінь m-го степеня із степені
• Урок 14. Винесення множників за знак кореня m-го степеня
• Урок 15. Внесення множників під знак кореня m-го степеня
• Урок 16. Дії над радикалами m-го степеня
• Урок 17. Піднесення до степеня кореня m-го степеня
• Урок 18. Добування кореня із кореня m-го степеня
• Урок 19. Знищення ірраціональності в чисельнику або знаменнику дробу
• Урок 20. Основна властивість радикала
• Урок 21. Перетворення виразів що містять степені з позитивними дробовими показниками
• Урок 22. Перетворення виразів що містять степені з негативними дробовими показниками