Урок 19. Формули зведення (1)

ВІДЕО УРОК

Під формулами приведення розуміють зазвичай формули, що зводять значення тригонометричної функції аргументу виду

^πn/₂ ± α,  n ∈ Z,

до функції аргументу  α.

Формули, з яких тригонометричні функції довільного кута можна призвести до функцій гострого кута, називають формулами приведення.

З'ясуємо, як обчислити значення тригонометричної функції будь-якого кута, якщо відомі значення тригонометричних функцій гострих кутів.

Формули приведення тригонометричних функцій негативного кута.

Розглянемо два кути: кут  α, утворений з віссю  Ох  рухомим радіусом  ОМ  одиничного кола,

кут  –α, по абсолютній величині рівний  α, утворений з віссю  Ох рухомим радіусом  ОМ'  одиничного кола.

На кресленні

показаний випадок, коли кут  α  закінчується у першій чверті та кут –α у четвертій чверті.
На кресленні

показаний випадок, коли кут  α  закінчується у другій чверті, а кут  –α у третій чверті.
На кресленні

маємо кут  α, що закінчується у третій чверті, і кут  –α  у другій чверті.
На кресленні

кут  α  закінчується у четвертій чверті, а кут  –α  у першій чверті.

Рухливі радіуси  ОМ  та  ОМ'  будь-яких двох кутів, рівних один одному за абсолютною величиною і протилежних за знаком, розташовані симетрично щодо осі  Ох. Кінці цих радіусів як точки, симетричні щодо осі  Ох, мають рівні абсциси, ординати ж їх відрізняються лише знаками, а це означає, що косинуси будь-яких двох кутів, рівних один одному за абсолютною величиною і протилежні за знаком, між собою рівні, а синуси цих кутів рівні один одному за абсолютною величиною та протилежні за знаком.

Таким чином, для будь-якого α мають місце формули:

sin (–α) = –sin α,

соs (–α) = соs α.

Ці формули мають місце також і при

α = 0°, α = 90°,

α = 180°, α = 270°.

ПРИКЛАД:

sin (–90°) = –sin 90° = –1,

соs (–90°) = – соs 90° = 0,

соs (–180°) = – соs 180° = –1.

ПРИКЛАД:

sin (–60°) = –sin 60° =

ПРИКЛАД:

sin (–330°) = –sin 330°.

На кресленні

видно, що  sin (–330°) – число позитивне.

ПРИКЛАД:

соs (–120°) = соs 120° – число негативне.

Внаслідок розподілу рівності

sin (–α) = –sin α

на рівність

соs (–α) = соs α

отримаємо:

або

tg (–α) = –tg α.

Так само в результаті розподілу рівності

соs (–α) = соs α

на рівність

sin (–α) = –sin α

отримаємо:

або

сtg (–α) = –сtg α.

Далі:

тобто

cosec (–α) = – cosec α.

Так само

тобто

sec (–α) = sec α.

Таким чином, маємо наступні формули приведення тригонометричних функцій негативного кута:

sin (–α) = –sin α,

cos (–α) = cos α,

tg (–α) = –tg α,

ctg (–α) = –ctg α,

sec (–α) = sec α,

cosec (–α) = –cosec α.

Функції  соs α  та  sec α – парні,

а  sin α, tg α, сtg α  та  соsec α – непарні.

Формули приведення тригонометричних функцій для кутів  90° + α.

Нехай  α – довільний кут, а  М(х,у) – точка на одиничному колі така, що кут, утворений із віссю  Ох  рухомим радіусом  ОМ, дорівнює  α.

Якщо точка  М  лежить у першій чверті, то кінець  М'(х', у')  рухомого радіуса  ОМ', що утворює з віссю  Ох  кут, що дорівнює  90° + α, буде в другій чверті.

Якщо кінець  М(х,у)  рухомого радіуса буде перебувати в другій чверті, то кінець  М'(х', у')  рухомого радіуса  ОМ'  буде в третій четверті.

Якщо кінець  М(х,у)  рухомого радіуса  ОМ  розташований у третій чверті, то кінець  М'(х', у')  рухомого радіуса  ОМ' – у четвертій чверті.

Нарешті, якщо кінець  М(х,у)  рухомого радіуса  ОМ  знаходиться в четвертій чверті, то кінець  М'(х', у')  рухомого радіуса  ОМ'  буде перебувати в першій чверті.

Опустимо з точок  М  і  М'  перпендикуляри  МР  і  М'Р'  на вісь  Ох.

Прямокутні трикутники  ОРМ  і  ОР'М'  рівні (з гіпотенузи та гострого кута).

З рівності цих трикутників випливає, що

у' = х,

х' = –у.

а це означає, що

sin (90° + α) = соs α,

тобто синус кута на  90°  більшого, ніж цей кут α, дорівнює косинусу даного кута  α. З рівності трикутників  ОРМ  і  ОР'М'  випливає також, що

соs (90° + α) = –sin α,

тобто косинус кута на  90°  більшого, ніж даний кут  α, дорівнює синусу даного кута α взятому з протилежним знаком.

Співвідношення

sin (90° + α) = соs α,

соs (90° + α) = –sin α

залишаються в силі та у випадках, коли

α = 0°, 90°, 180°, 270°.

Доведемо це.

При  α = 0°  маємо:

sin (90° + 0°) = 1 = соs 0°,

соs (90° + 0°) = 0 = –sin 0°.

При  α = 90°  маємо:

sin (90° + 90°) = 0 = соs 90°,

соs (90° + 90°) = –1 = –sin 90°.

При  α = 180°  маємо:

sin (90° + 180°) = –1 = соs 180°,

соs (90° + 180°) = 0 = –sin 180°.

При  α = 270°  маємо:

sin (90° + 270°) = 0 = соs 270°,

соs (90° + 270°) = 1 = –sin 270°.

Таким чином, співвідношення

sin (90° + α) = соs α,

соs (90° + α) = –sin α

залишаються в силі та для будь-яких значень кута  α.

На підставі формул:

отримаємо:

Формули приведення тригонометричних функцій для кутів виду

90° – α, 180° – α, 180° + α,

270° – α, 270° + α, 360° – α.

1. Доведемо, що формули

sin (90° – α) = соs α,

соs (90° – α) = sin α,

залишаються в силі для будь-якого кута  α.

Нехай  α – будь-який кут.

На підставі формули

sin (–α) = –sin α

маємо:

sin (90° – α) = –sin (α – 90°).

Але  –sin (α – 90°)  можна замінити через

соs [90° + (α – 90°)]

на підставі формули

соs (90° + α) = –sin α

попереднього уроку:

–sin (α – 90°) =

соs [90° + (α – 90°)] = соs α.

Отже, для будь-якого  α  маємо:

sin (α – 90°) = соs α.

Так само на підставі формули

соs (–α) = соs α

можна замінити  соs (90° – α)  через  соs (α – 90°):

соs (90° – α) = соs (α – 90°).

Праву частину цієї рівності на підставі формули

sin (90° + α) = соs α

можна уявити у вигляді

sin [90° + (α – 90°)]

або, коротше у вигляді  sin α.

Тоді отримаємо:

соs (90° – α) = sin α.

Формули приведення синуса та косинуса кутів виду

180° – α, 180° + α,

270° – α, 270° + α,

360° – α

виводяться за допомогою формул

sin (90° + α) = соs α

соs (90° + α) = –sin α

і щойно виведених формул

sin (90° – α) = соs α

соs (90° – α) = sin α.

Висновок всіх цих формул заснований на тому, що кожен з перерахованих кутів можна подати у вигляді суми  90°  і деякого додаткового кута, на  90°  меншого, ніж даний. Застосувавши формули

sin (90° + α) = соs α

соs (90° + α) = –sin α

до утвореної таким чином суми кутів, отримуватимемо формули приведення кутів згаданого виду.

2. Формули приведення

sin (180° – α)  и  соs (180° – α).

Угол  180° – α  можна як суму

90° + (90° – α).

Тоді маємо:

sin (180° – α) = sin [90° + (90° – α)].

На підставі формули

sin (90° + α) = соs α

отримаємо:

sin [90° + (90° – α)] = соs (90° – α).

Але  соs (90° – α) = sin α

за формулою

соs (90° – α) = sin α

отже:

sin (180° – α) = sin α.

Так само

соs (180° – α) = соs [90° + (90° – α)].

На підставі формули

соs (90° + α) = –sin α

отримаємо:

соs [90° + (90° – α)] = –sin (90° – α).

а тому що

sin (90° – α) = соs α

то

соs (180° – α) = –соs α.

Підтвердження формул

sin (180° – α) = sin α,

соs (180° – α) = –соs α

можна бачити на кресленні

ПРИКЛАД:

3. Формули приведення:

sin (180° + α)  и  соs (180° + α).

маємо:

sin (180° + α) = sin [90° + (90° + α)].

На підставі формули

sin (90° + α) = соs α

маємо

sin [90° + (90° + α)] = соs (90° – α).

Але за формулою

соs (90° + α) = –sin α

отже,

sin (180° + α) = –sin α.

Так само

соs (180° + α) = соs [90° + (90° + α)].

Але за формулою

соs (90° + α) = –sin α

соs [90° + (90° + α)] = –sin (90° + α),

а  sin (90° + α) = соs α,

тому

соs (180° + α) = –соs α.

ПРИКЛАД:

4. Формули приведення:

sin (270° – α)  и  соs (270° – α).

маємо:

sin (270° – α) =

sin [90° + (180° – α)] =

= соs (180° – α) = –соs α.

або

sin (270° – α) = –соs α.

соs (270° – α) =

соs [90° + (180° – α)] =

= –sin (180° – α) = –sin α.

або

соs (270° – α) = –sin α.

ПРИКЛАД:

5. Формули приведення:

sin (270° + α)  і  соs (270° + α).

Маємо:

sin (270° + α) =

sin [90° + (180° + α)] =

= соs (180° + α).

Але  соs (180° + α) = –соs α.

тому

sin (270° + α) = –соs α.

соs (270° + α) =

соs [90° + (180° + α)] =

= –sin (180° + α) = –(–sin α) = sin α.

Отже

соs (270° + α) = sin α.

ПРИКЛАД:

6. Формули приведення:

sin (360° – α)  и  соs (360° – α).

маємо:

sin (360° – α) =

sin [360° + (–α)] =

= sin (–α) = –sin α.

або

sin (360° – α) = –sin α.

соs (360° – α) =

соs [360° + (–α)] =

= соs (–α) = соs α.

або

соs (360° – α) = соs α.

ПРИКЛАД:

7. Тепер, скориставшись рівністю

і вже виведеними формулами, знаходимо:

Аналогічно виводяться формули:

tg (270° – α) = ctg α,

tg (270° + α) = –ctg α,

tg (360° – α) = –tg α.

Нарешті, маємо:

та аналогічно виходять формули:

сtg (180° + α) = ctg α,

сtg (270° – α) = tg α,

сtg (270° + α) = –tg α,

сtg (360° – α) = –сtg α,

8. Скориставшись формулами

можна отримати такі формули приведення:

Так само виходять формули

sec (270° – α) = –cosec α,

sec (270° + α) = cosec α,

sec (360° – α) = sec α.

Виведемо кілька формул приведення для косекансу:

І далі, аналогічно виходять формули:

cosec (270° – α) = –sec α,

cosec (270° + α) = –sec α,

cosec (360° – α) = –cosec α.

Ми отримали  48  формул приведення, подані в наступній таблиці:

Отримання формул приведення за допомогою формул додавання та віднімання аргументів тригонометричних функцій.

Користуючись формулами додавання та віднімання аргументів тригонометричних функцій і вважаючи в них послідовно

β = ^π/₂,  β = π, 

β = ^3π/₂,  β = 2π,

легко отримати наступні формули зведення:

ПРИКЛАД:

Потрібно вирахувати:

sin(^π/₂ + α).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося наступною формулою:

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α.

Маємо

sin(^π/₂ + α) =

= sin ^π/₂ cos α + sin α cos ^π/₂ =

= 1 ∙ cos α + 0 ∙ sin α = cos α.

ПРИКЛАД:

Потрібно вирахувати:

sin (π – α).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Скористаємося наступною формулою:

sin(α – β) = sin α cos β – sin β cos α,

маємо

sin(π – α) =

= sin π cos α + sin α cos π =

= 0 ∙ cos α – (–1) ∙ sin α = sin α.

Завдання до уроку 19

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень