Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій

ВІДЕО УРОК

Функція  f  називається парною, якщо разом з кожним значенням змінної  х  з області визначення  f  значення (–х) також входить в область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність

f(–x) = f(x).

Або, іншими словами:

Парної називається функція, яка не змінює свого значення при зміні знака незалежної змінної.

Наприклад, функція  f(x) = х²  і взагалі  f(x) = х^2k  при будь-якому натуральному  k  парна. Справді, ця функція визначена на множині  R, і отже, область визначення містить разом з будь-яким  х  и число   –х. Крім того,

f(–x) = (–х)^2k = х^2k = f(x).

Графік такої функції симетричний щодо осі ординат.

Функція  f  називається непарною, якщо разом з кожним значенням змінної  х  з області визначення  f  значення (–х) також входить в область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність

f(–x) = –f(x).

Або, іншими словами:

Непарної називається функція, яка змінює своє значення при зміні знака незалежної змінної.

Наприклад, функція  f(x) = х³  і взагалі  f(x) = х^2k+1  при будь-якому натуральному  k  непарна. Справді, область визначення цієї функції – множина  R, і отже, область визначення містить разом з будь-яким  х  и число   –х. Крім того

f(–x) = (–х)^2k+1 = –х^2k+1 = –f(x).

Графік такої функції симетричний відносно початку координат.

Індиферентної називається функція, яка не володіє симетрією.

З тригонометричних функцій 

sin α, tg α, ctg α  і  cosec α  непарні,

а  cos α  і  sec α  парні,

тобто

sin (–α) = –sin α;

cos (–α) = +cos α;

tg (–α) = –tg α;

ctg (–α) = –ctg α;

sec (–α) = +sec α;

cosec (–α) = –cosec α.

Для будь-якого  α  точки  Р_α  і  Р_-α  симетричні відносно осі абсцис.

Звідси випливає, що їх абсциси збігаються, а ординати протилежні. За означенням косинуса і синуса це означає, що при будь-якому  α  виконується рівності

cos α = cos (–α),

sin (–α) = –sin α.

Для тангенса і котангенса маємо:

Функції, які не є ні парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію можна завжди єдиним чином представити у вигляді суми парної і непарної функції.

ПРИКЛАД:

Функція  f(x) = x² – x  є сумою парному функції  f₁ = x²  і непарної   f₂ = –x.

Деякі властивості:

– добуток і частка двох функцій однаковою парності – парна функція;

– добуток і частка двох функцій різної парності – непарна функція;

– сума і різниця парних функцій – парна функція;

– сума і різниця непарних функцій – непарна функція.

ПРИКЛАД:

Знайти значення тригонометричних функцій кута

α = – ^π/_3.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Використовуючи непарність функцій

sin α, cosec α, tg α  и  ctg α,

отримаємо:

Використовуючи парність функцій  cos α  і  sec α, отримаємо:

cos (–^π/₃) = cos ^π/₃ = ¹/₂,

sec (–^π/₃) = sec ^π/₃ = 2.

ПРИКЛАД:

Знайти значення

sin (–72°).

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

sin (–72°) = – sin 72° = –0,9511.

ВІДПОВІДЬ:  –0,9511.

ПРИКЛАД:

Знайти значення

соs (–108°).

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

соs (–108°) = соs 108° =

соs (90° + 18°) =

– sin 18° = –0,3090.

ВІДПОВІДЬ:  –0,3090.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію

у = sin х ∙ соs х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у(–х) = sin (–х) ∙ соs (–х) =

–sin х ∙ соs х = –у(х).

Отже, функція

 у = sin х ∙ соs х.  

є непарної.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Отже, функціяє

парної.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

у = tg х + сtg х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у(–х) = tg (–х) + ctg (–х) =

–tg х – сtg х = –(tg х + сtg х) = –у(х).

Отже, функція

 у = tg х + сtg х.   

є непарної.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

у = x – sin х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у(–х) = –x – sin (–х) =

–x + sin х = –(x – sin x) = –у(х).

Отже, функція

 у = x – sin х.  

є непарної.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

у = sin х – соs х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у(–х) = sin (–х) – соs (–х) =

–sin х – соs х.

у(–х) ≠ у(х),

у(–х) ≠ –у(х).

Отже, функція

 у = sin х – соs х 

не є ні парною, ні непарною, тобто це функція загального вигляду.

ПРИКЛАД:

Функція   f(x) = x² + cos x  є парною, так як

f(–x) = (–x)² + cos (–x) =

= x² + cos x = f(x).

ПРИКЛАД:

Довести наступне твердження:

sin (–721°) = –sin 1°.

Так як синус – непарна і періодична функція з мінімальним періодом  360°, то отримаємо

sin (–721°) = –sin 721° =

= –sin (720° + 1°) = –sin 1°.

ПРИКЛАД:

Довести наступне твердження:

cos (–13π) = –1.

Так як косинус – парна і періодична функція з мінімальним періодом  2π, то отримаємо

cos (–13π) = cos 13π =

cos (π + 6 ∙ 2π) = cos π = –1.

Завдання до уроку 8

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Градусний вимір кутових величин
• Урок 2. Радіанне вимірювання кутових величин
• Урок 3. Основні тригонометричні функції
• Урок 4. Натуральні тригонометричні таблиці
• Урок 5. Періодичність тригонометричних функції
• Урок 6. Область визначення і область значення тригонометричних функцій
  
• Урок 7. Знаки тригонометричних функцій
• Урок 9. Тригонометричні функції деяких кутів
• Урок 10. Побудова кута за даним значенням його тригонометричної функції
• Урок 11. Основні тригонометричні тотожності
• Урок 12. Вирази всіх тригонометричних функцій через одну з них
• Урок 13. Розв'язання прямокутних і рівнобедрених трикутників за допомогою тригонометричних функцій
• Урок 14. Теорема синусів
• Урок 15. Теорема косинусів
• Урок 16. Рішення косокутних трикутників
• Урок 17. Приклади рішення завдань з планіметрії із застосуванням тригонометрії
• Урок 18. Рішення практичних завдань за допомогою тригонометрії
• Урок 19. Формули зведення (1)
• Урок 20. Формули зведення (2)
• Урок 21. Формули додавання і віднімання аргументів тригонометричних функцій
• Урок 22. Формули подвійних і потрійних кутів (аргументів)
• Урок 23. Формули половинного аргументу
• Урок 24. Формули перетворень суми тригонометричних функцій в добуток
• Урок 25. Графіки функції y = sin x і y = cos x
• Урок 26. Графіки функції y = tg x і ctg x
• Урок 27. Обернені тригонометричні функції
• Урок 28. Основні тотожності зворотних тригонометричних функцій
• Урок 29. Вираз одній з аркфункцій через інші
• Урок 30. Графіки зворотних тригонометричних функцій
• Урок 31. Побудова графіків тригонометричних функцій методом геометричних перетворень