Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій

понедельник, 25 февраля 2019 г.

Урок 8. Парність і непарність тригонометричних функцій

ВІДЕО УРОК

Функція f називається парною, якщо разом з кожним значенням змінної х з області визначення f значення (–х) також входить в область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність

f(–x) = f(x).

Або, іншими словами:

Парної називається функція, яка не змінює свого значення при зміні знака незалежної змінної.

Наприклад, функція f(x) = х² і взагалі f(x) = х^2k при будь-якому натуральному k парна. Справді, ця функція визначена на множині R, і отже, область визначення містить разом з будь-яким х и число –х. Крім того,

f(–x) = (–х)^2k = х^2k = f(x).

Графік такої функції симетричний щодо осі ординат.

Функція f називається непарною, якщо разом з кожним значенням змінної х з області визначення f значення (–х) також входить в область визначення цієї функції і при цьому виконується рівність

f(–x) = –f(x).

Або, іншими словами:

Непарної називається функція, яка змінює своє значення при зміні знака незалежної змінної.

Наприклад, функція f(x) = х³ і взагалі f(x) = х^2k+1 при будь-якому натуральному k непарна. Справді, область визначення цієї функції – множина R, і отже, область визначення містить разом з будь-яким х и число –х. Крім того

f(–x) = (–х)^2k+1 = –х^2k+1 = –f(x).

Графік такої функції симетричний відносно початку координат.

Індиферентної називається функція, яка не володіє симетрією.

З тригонометричних функцій

sin α, tg α, ctg α і cosec α непарні,

а cos α і sec α парні,

тобто

sin (–α) = –sin α;

cos (–α) = +cos α;

tg (–α) = –tg α;

ctg (–α) = –ctg α;

sec (–α) = +sec α;

cosec (–α) = –cosec α.

Для будь-якого α точки Р_α і Р_-α симетричні відносно осі абсцис.

Звідси випливає, що їх абсциси збігаються, а ординати протилежні. За означенням косинуса і синуса це означає, що при будь-якому α виконується рівності

cos α = cos (–α),

sin (–α) = –sin α.

Для тангенса і котангенса маємо:

Функції, які не є ні парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію можна завжди єдиним чином представити у вигляді суми парної і непарної функції.

ПРИКЛАД:

Функція f(x) = x² – x є сумою парному функції f₁ = x² і непарної f₂ = –x.

Деякі властивості:

– добуток і частка двох функцій однаковою парності – парна функція;

– добуток і частка двох функцій різної парності – непарна функція;

– сума і різниця парних функцій – парна функція;

– сума і різниця непарних функцій – непарна функція.

ПРИКЛАД:

Знайти значення тригонометричних функцій кута

α = – ^π/_3.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Використовуючи непарність функцій

sin α, cosec α, tg α и ctg α,

отримаємо:

Використовуючи парність функцій cos α і sec α, отримаємо:

cos (–^π/₃) = cos ^π/₃ = ¹/₂,

sec (–^π/₃) = sec ^π/₃ = 2.

ПРИКЛАД:

Знайти значення

sin (–72°).

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

sin (–72°) = – sin 72° = –0,9511.

ВІДПОВІДЬ: –0,9511.

ПРИКЛАД:

Знайти значення

соs (–108°).

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

соs (–108°) = соs 108° =

соs (90° + 18°) =

– sin 18° = –0,3090.

ВІДПОВІДЬ: –0,3090.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію

у = sin х ∙ соs х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у(–х) = sin (–х) ∙ соs (–х) =

–sin х ∙ соs х = –у(х).

Отже, функція

у = sin х ∙ соs х.

є непарної.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Отже, функціяє
парної.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

у = tg х + сtg х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у(–х) = tg (–х) + ctg (–х) =

–tg х – сtg х = –(tg х + сtg х) = –у(х).

Отже, функція

у = tg х + сtg х.

є непарної.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

у = x – sin х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у(–х) = –x – sin (–х) =

–x + sin х = –(x – sin x) = –у(х).

Отже, функція

у = x – sin х.

є непарної.

ПРИКЛАД:

Дослідити на парність функцію:

у = sin х – соs х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у(–х) = sin (–х) – соs (–х) =

–sin х – соs х.

у(–х) ≠ у(х),

у(–х) ≠ –у(х).

Отже, функція

у = sin х – соs х

не є ні парною, ні непарною, тобто це функція загального вигляду.

ПРИКЛАД:

Функція f(x) = x² + cos x є парною, так як

f(–x) = (–x)² + cos (–x) =

= x² + cos x = f(x).

ПРИКЛАД:

Довести наступне твердження:

sin (–721°) = –sin 1°.

Так як синус – непарна і періодична функція з мінімальним періодом 360°, то отримаємо

sin (–721°) = –sin 721° =

= –sin (720° + 1°) = –sin 1°.

ПРИКЛАД:

Довести наступне твердження:

cos (–13π) = –1.

Так як косинус – парна і періодична функція з мінімальним періодом 2π, то отримаємо

cos (–13π) = cos 13π =

cos (π + 6 ∙ 2π) = cos π = –1.

Завдання до уроку 8

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 25 февраля 2019 г.