Уроки математики и физики для школьников и родителей: Урок 3. Величины прямо пропорциональные

ВИДЕОУРОК

Пропорциональные переменные.

Если для любой пары соответственных значений переменных х и у отношение ^у/_х равно одному и тому же числу, отличному от нуля, то переменная у пропорциональна переменной х.

В практике часто бывает неизвестно, в какой зависимости находится одна переменная от другой. Чтобы установить, является ли эта зависимость прямой пропорциональностью, достаточно сравнить отношения их соответственных значений.

Рассмотрим задачу, в которую входят две следующие величины: количество ткани и ее стоимость.

ЗАДАЧА:

15 м ткани стоят 120 руб. Найдите стоимость этой ткани для некоторых других количеств метров, указанных в таблице.
По данной таблице мы можем проследить, как равномерно растет цена продукта в зависимости от роста его количества. В верхней строке таблицы стоят числа, обозначающие число метров ткани, под каждой из них написано число, выражающее стоимость соответствующего количества товара. Даже при быстром обзоре этой таблицы и при сравнении отдельных столбцов оказывается, что во всех случаях значение второй величины возрастает во столько же раз, во сколько возрастают значения первой, т.е. если значение первой величины возрастет, допустим, в 10 раз, то и значение второй величины увеличится также в 10 раз. Если мы будем просматривать таблицу справа налево, увидим, что эти значения величин будут уменьшаться в одинаковое число раз.

ЗАДАЧА:

Лыжник вышел из села В и через х час оказался на расстоянии у км от него. Зависимость у от х показана в таблице:

Является ли эта зависимость прямой пропорциональностью ?

Для каждой пары значений х и у найдём отношение ^у/_х.

Можно сделать вывод, что зависимость у от х близка к прямой пропорциональности. Отношение ^у/_х характеризует скорость движения лыжника. Практически можно сказать, что лыжник шёл с постоянной скоростью.

Пара величин, с которыми мы встретились, называются прямо пропорциональными.

Если две величины связаны между собой так, что при увеличении (уменьшении) значения одного из них в несколько раз значение второй увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными.

Такие величины говорят также, что они связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью. В природе и в окружающей жизни встречается много таких величин.

ПРИМЕР:

Время работы (день, два дня, три дня и т.д.) и заработок, полученный за это время при оплате труда.

Коэффициент пропорциональности.

Пусть переменная у пропорциональна переменной х. По определению отношение ^у/_х для любой пары соответственных значений равно одному и тому же числу, отличному от нуля. Обозначим это число буквой k:

Число k называют коэффициентом пропорциональности.

В случае пропорциональности однородных величин отношение их соответственных значений, полученных при измерении этих величин одной и той же единицей, а значит коэффициент пропорциональности, не зависит от того, каковы единицы измерения. Если же речь идёт о пропорциональности разнородных величин, то отношение их значений, а значит и коэффициент пропорциональности, зависит от выбора единиц измерения.

Если переменная у пропорциональна переменной х и k –коэффициент пропорциональности, то зависимость у от х выражается формулой:

где k ≠ 0.

В самом деле, из равенства

^у/_х = k

следует, что

y = kx.

Наоборот, если зависимость переменной у от переменной х выражается формулой y = kx, где k – не равное нулю число, то отношение ^у/_х (при х ≠ 0) постоянно: ^у/_х = k, т. е. переменная у пропорциональна переменной х.

Если переменная у пропорциональна переменной х и коэффициент пропорциональности равен k, то и переменная х пропорциональна переменной у, причём коэффициент пропорциональности равен ¹/_k.

Действительно, если ^у/_х = k (k ≠ 0),

то ^x/_y = ¹/_k,

или х = ¹/_k × у.

ПРИМЕР:

Если ^у/_х = 3,

то ^x/_y = ¹/₃, или

х = ¹/₃ × у.

Свойство пропорциональных переменных.

Мы уже знаем, что когда две величины прямо пропорциональны, то каждая из них в процессе своей смены увеличивается во столько же раз, во сколько раз увеличивается и вторая. Отсюда сразу получается, что если мы возьмем отношение каких-либо двух значений первой величины, то оно будет равно соотношению двух соответствующих значений второй величины.

ПРИМЕР:

6 : 2 = 3;

120 : 40 = 3.

Почему это так ? А потому, что эти величины прямо пропорциональны, то есть, когда одна из них увеличилась в 20 раз, то и вторая увеличилась в 20 раз.

Итак, мы пришли к такому выводу: если взять два каких-либо значения первой величины и разделить их друг на друга, а затем разделить одно на одно соответствующие им значения второй величины, то в обоих случаях получим одно и то же число, то есть одно и то же отношение. Значит, два отношения, которые мы выше писали, можно соединить знаком равенства, то есть

6 : 2 = 120 : 40.

Нет сомнения в том, что если бы мы взяли не эти отношения, а другие и не в том порядке, а в обратном, то также получили равенство отношений. Действительно, будем рассматривать значение наших величин слева направо:

2 : 6 = ¹/₃;

40 : 120 = ¹/₃.

Итак, мы можем написать:

2 : 6 = 40 : 120.

Отсюда следует такой вывод.

Если переменные пропорциональны, то отношение двух значений одной из них равно отношению соответствующих значений другой.

Верно и обратное.

Если отношение двух произвольных значений одной переменной равно отношению соответствующих значений другой, то переменные пропорциональны.

Это предложение выражает признак пропорциональности переменных. В случае, когда речь идёт о зависимости между переменными, значения которых выражаются положительными числами, признак пропорциональности можно сформулировать так:

Если с увеличением (уменьшением) значения одной переменной в несколько раз соответствующие значения другой увеличиваются (уменьшаются) во столько же раз, то переменные пропорциональны.

Задачи на тройное правило.

Наиболее часто встречаются арифметические задачи на так называемое простое тройное правило. В этих задачах даны три числа и требуется определить четвёртое, пропорциональное к ним.

ЗАДАЧА:

10 болтов весят 4 кг. Сколько весят 25 таких болтов ?

РЕШЕНИЕ:

ПЕРВЫЙ СПОСОБ (способ приведения к единице).

Определим вес одного болта.

4 кг : 10 = 0,4 кг.

Теперь найдём вес 25 болтов.

0,4 кг × 25 = 10 кг.

ВТОРОЙ СПОСОБ (способом пропорций)

Так как вес болтов прямо пропорционален их количеству, то отношение весов равно отношению штук (болтов). Обозначим искомый вес буквой х, получим пропорцию

х : 4 = 25 : 10.

откуда

ОТВЕТ:

25 болтов весит 10 кг.

ЗАДАЧА:

12 килограммов кокса заменяют 20 килограммов каменного угля. Сколько килограммов каменного угля заменят 210 килограммов кокса ?

РЕШЕНИЕ:

Если 12 кг кокса заменяют 20 кг угля, то пусть 210 кг кокса заменяют х кг угля. Составим пропорцию:

12 кг –––– 20 кг угля;

210 кг –––– х кг угля.

Или: 12 кг кокса так относятся к 20 кг угля, как 210 кг кокса относятся к х кг угля:

12 : 20 = 210 : х.

Решим эту пропорцию. Чтобы найти х, нужно произведение средних членов 20 и 210 разделить на крайний член 12.
Так как х = 350 кг, значит, 350 кг каменного угля заменят 210 кг кокса.

ОТВЕТ: 350 кг

ЗАДАЧА:

Пекарь за 8 часов испёк 70 булочек. Сколько булочек он испечёт за 12 часов ?

РЕШЕНИЕ:

Если 70 булочек пекарь печёт 8 часов, то пусть х булочек он испечёт за 12 часов. Составим пропорцию:

70 булочек –––– 8 часов;

х булочек –––– 12 часов.

Или: 70 булочек так относятся к 8 часам, как х булочек относятся к 12 часам:

70 : 8 = х : 12.

Решим эту пропорцию. Чтобы найти х, нужно произведение крайних членов 70 и 12 разделить на средний член 8.
Так как х = 105, значит, 105 булочек пекарь печёт за 12 часов.

ОТВЕТ: 105 булочек

ЗАДАЧА:

За 8 часов трактор вспахал 0,6 га. За сколько часов он вспашет 4,2 га ?

РЕШЕНИЕ:

Если за 8 часов трактор вспахал 0,6 га, то за х часов трактор вспашет 4,2 га. Составим пропорцию:

8 часов –––– 0,6 га;

х часов –––– 4,2 га.

Или: 8 часов так относятся к 0,6 га, как х часов относятся к 4,2 га:

8 : 0,6 = х : 4,2.

Решим эту пропорцию. Чтобы найти х, нужно произведение крайних членов 8 и 4,2 разделить на средний член 0,6.
Так как х = 56, значит, за 56 часов трактор вспашет 4,2 гектара.

ОТВЕТ: 56 часов

ЗАДАЧА:

На 20 гектарах пашни было посеяно 3,4 т овса. Сколько зерна потребуется для засева 1980 гектаров пашни ?

РЕШЕНИЕ:

Если на 20 гектарах пашни было посеяно 3,4 т овса, то х т овса надо чтобы засеять 1980 гектаров пашни. Составим пропорцию:

3,4 т –––– 20 га;

х т –––– 1980 га.

Или: 3,4 т так относятся к 20 га, как х т относятся к 1980 га:

3,4 : 20 = х : 1980.

Решим эту пропорцию. Чтобы найти х, нужно произведение крайних членов 3,4 и 1980 разделить на средний член 20.
Так как х = 336,6 т, значит, для засева 1980 га необходимо 336,6 т овса.

ОТВЕТ: 336,6 т

ЗАДАЧА:

Токарь за 8 часов изготовил 70 деталей. Сколько деталей он изготовит за 12 часов ?

РЕШЕНИЕ:

Если 70 деталей токарь изготовит за 8 часов, то пусть х деталей он изготовит за 12 часов. Составим пропорцию:

70 деталей –––– 8 часов;

х деталей –––– 12 часов.

Или: 70 деталей так относятся к 8 часам, как х деталей относятся к 12 часам:

70 : 8 = х : 12.

Решим эту пропорцию. Чтобы найти х, нужно произведение крайних членов 70 и 12 разделить на средний член 8.
Так как х = 105, значит, 105 деталей токарь изготовит за 12 часов.

ОТВЕТ: 105 деталей

Задачи на сложное тройное правило.

Для решения многих типовых задач существуют специальные правила их решения. Задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, называются задачами на тройное правило.

Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называется пятерным. Аналогично для четырёх величин существовало семеричное правило.

Задачи, в которых по данному ряду соответствующих друг другу значений нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений остальных величин, называют задачами на сложное тройное правило.

Сложное тройное правило применяется при решении задач, в которых участвует n (n ˃ 2) величин

x₁, x₂,…, х_n_{– 1}, х_n.

В этом случае у n – 1 величин x₁, x₂,…, х_n_{– 1} известны по два значения a₁, a₂, b₁, b₂, …, l₁, l₂, а у х_n известно только одно значение k₁, другое – k₂ подлежит определению.

Практически сложное тройное правило представляет собой последовательное применение простого тройного правила.

Чтобы получить искомое число, достаточно данное значение той же величины умножить последовательно на отношения данных значений остальных величин, беря отношение нового значения к прежнему, если величина прямо пропорциональна той, значение которой отыскивается, и прежнего значения к новому, когда величина обратно пропорциональна той, значение которой отыскивается.

ЗАДАЧА:

5 насосов в течение 3 час выкачали 1800 вёдер воды. Сколько воды выкачивают 4 таких насоса в течение 4 час ?

РЕШЕНИЕ:

1 способ.

Сначала найдём, сколько вёдер воды выкачал 1 насос в течение 3 час.

1800 : 5 = 360 (вёдер).

Затем найдём, сколько вёдер воды выкачал 1 насос в течение 1 часа.

3600 : 3 = 120 (вёдер).

Теперь определим, сколько воды выкачивают 4 насоса за 1 час.

120 ∙ 4 = 480 (вёдер).

А теперь определим, сколько воды выкачивают 4 насоса за 4 часа.

480 ∙ 4 = 1920 (вёдер).

2 способ.

Составим пропорцию:

5 нас. 3 час ---------- 1800 вёд.

4 нас. 4 час ---------- х вёд.

Сокращённое решение по числовой формуле:

ЗАДАЧА:

За 18 рабочих дней бригада лесорубов в составе 15 человек заготовила 972 м³ дров. Сколько дров заготовят 12 человек за 25 дней при такой же самой производительности труда ?

РЕШЕНИЕ:

1 способ .

Приведение к единице.

Сколько кубометров дров заготовил бы 1 человек за 18 рабочих дней ?

Сколько кубометров дров заготовил бы 1 человек за 1 рабочий день ?

Сколько кубометров дров заготовили бы 12 человек за 1 день ?

Сколько кубометров дров заготовит бригада из 12 человек за 25 дней при такой же самой производительности труда ?

2 способ.

Этот способ связан с введением человеко-дня и приведением к единице.

Сколько человеко-дней затрачено, чтобы заготовить 972 м³ дров ?

15 ∙ 18 = 270.

Сколько кубометров заготовленных дров приходится на 1 человеко-день ?

Сколько человеко-дней затратит вторая бригада за 25 дней ?

12 ∙ 25 = 300.

Сколько кубометров дров заготовит бригада из 12 человек за 25 рабочих дней при той же самой производительности труда ?

3 способ.

Эту задачу можно привести до задачи на простое тройное правило, которую можно решить с помощью пропорций. Это можно осуществить, решив предварительно первый и третий вопрос по предыдущему способу:

270 ----- 972

300 ----- х,

4 способ.

Укороченная запись:

18 ----- 15 ----- 972

25 ----- 12 ----- х

Решения и объяснения.

х₁ = 972 м³

Если 15 человек работали 18 дней.

Если же работал 18 дней 1 человек, то он заготовит в 15 раз меньше, то естьЕсли за этот самый период будут работать 12 человек, то будет заготовлено в 12 раз больше:

Если за этот самый период будут работать 12 человек, то будет заготовлено в 12 раз больше:

Мы определили, сколько кубометров дров заготовят 12 человек за 18 дней. Если они будут работать один день, то х₄ будет в 18 раз меньше, то есть
а если за 25 дней, то в 25 раз больше, то есть: