Урок 2. Пропорции

вторник, 1 июля 2014 г.

Урок 2. Пропорции

ВИДЕОУРОК
Понятие о пропорции.

Пропорцией называют равенство двух отношений.

Общий вид пропорции:

ПРИМЕР:

2 : 1 = 10 : 5,

²/₃ = ⁸/₁₂,

10 : 2¹/₂ = 1¹/₃ : ¹/₃,

20 м : 4 м = 10 кг : 2 кг.

Пропорции читают так:

<<2 относится к 1, как 10 к 5>>,

<<10 относится к 2¹/₂, как 1¹/₃ к ¹/₃>> и т. д.

Или:

<<отношение 2 к 1 равно отношению 10 до 5>>,

<<10 во столько больше 2¹/₂, во сколько раз 1¹/₃ больше ¹/₃>>.

Члены отношений, составляющих пропорции, называются членами пропорции. Пропорция состоит из четырёх членов. Первый и последний члены, стоящие по краям, называются крайними, а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Так, у первой пропорции числа 2 и 5 будут крайними, а числа 1 и 10 – средними членами пропорции.

Все члены пропорции могут быть абстрактными числами, но два члена одного отношения (или обоих отношений) могут быть и однородными именованными числами.

ПРИМЕР:

3¹/₂ кг : 5 кг = ¹/₂м : ⁵/₇м.

Основное свойство пропорции.

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних её членов.

В общем виде это свойство пропорции

записывают так:

Основное свойство пропорции может быть использовано для проверки правильности составленных пропорций.

ПРИМЕР:

Проверить правильность пропорции:

¹/₂ : ¹/₄₈ = 20 : ⁵/₆.

¹/₂ × ⁵/₆ = ¹/₄₈ × 20.

Пропорция правильная, так как выполняется основное свойство пропорции:

⁵/₁₂ = ⁵/₁₂.

Итак, из приведённых примеров видно, что мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоить произведение одних двух чисел, а в правой – произведение двух других чисел, то из этих четырёх чисел можно составить пропорцию.

Вычисление неизвестных членов пропорции.

Вычисление неизвестного члена пропорции называют решением пропорции. Для вычисления членов пропорции используются следствия из её основного свойства.

– неизвестный крайний член пропорции равен произведению средних членов, делённому на известный крайний,

– неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов, делённому на известный средний,

Если пропорция имеет вид:

ПРИМЕР:

Найдите неизвестный член пропорции:

х : 12 = 4³/₄ : 7¹/₈.

РЕШЕНИЕ:
Если пропорция имеет вид:

ПРИМЕР:

Найдите неизвестный член пропорции:

15 : х = 30 : 10.

РЕШЕНИЕ:
Если пропорция имеет вид:

ПРИМЕР:

Найдите неизвестный член пропорции:

10,4 : 3⁵/₇ = х : ⁵/₁₁.

РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Найдите неизвестный член пропорции:

16 : 20 = х : 5.

РЕШЕНИЕ:
Если пропорция имеет вид:

ЗАДАЧА:

Среди приведённых записей укажите неправильную пропорцию.

25 : 20 = 10 : 2,

2 : 6 = 3 : 9.

18 : 9 = 6 : 3.

12 : 4 = 27 : 9.

РЕШЕНИЕ:

Из пропорции 25 : 20 = 10 : 2 получим:

25 ∙ 2 ≠ 20 ∙ 10, тому

25 : 20 ≠ 10 : 2.

ЗАДАЧА:

Сколько килограммов сушёных грибов получат из 18 кг свежих, если из 6 кг свежих грибов получается 0,9 кг сушёных.

РЕШЕНИЕ:
Перестановка членов пропорции.

В каждой пропорции можно переставить:

– средние члены;

– крайние;

– средние и крайние;

– крайние на место средних и средние на место крайних членов.

Всего можно получить из данной пропорции 8 пропорций (включая данную). В буквенной записи они принимают такой вид:

a : b = c : d, c : d = a : b,

d : b = c : a, b : d = a : c,

a : c = b : d, c : a = d : b,

d : c = b : a, b : a = d : c.

Для всех этих пропорций выполняется основное свойство:

ПРИМЕР:

Выполнить возможные перестановки членов в пропорции:

5 : 3 = 20 : 12.

РЕШЕНИЕ:

5 : 3 = 20 : 12,
3 : 5 = 12 : 20,

5 : 20 = 3 : 12,
3 : 12 = 5 : 20,

20 : 5 = 12 : 3,
12 : 20 = 3 : 5,

20 : 12 = 5 : 3,
12 : 3 = 20 : 5.

Упрощение пропорций.

К числу преобразований, не нарушающих пропорцию, относится одновременное увеличение или уменьшение в одинаковое число раз:

– обоих членов любого отношения;

– обоих предыдущих или обоих последующих членов;

– всех членов пропорции.

Перечисленные преобразование дают возможность упрощать пропорции, в частности освобождать их от дробных членов.

ПРИМЕР:

Упростить пропорцию:

¹/₂ : ¹/₄₈ = 20 : ⁵/₆.

Умножив все члены пропорции на 48, получим:

24 : 1 = 960 : 40, или

24 : 1 = 96 : 4.

Пропорция не нарушится, если ми одновременно увеличим или уменьшим в одинаковое число раз любой крайний член пропорции и любой средний.

Если две переменные величины связаны между собой так, что при уменьшение, или увеличение одной из них другая тоже уменьшается или соответственно увеличиваются во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными, а зависимость между ними – прямо пропорциональною.

Если две величины обратно пропорциональные, то отношения двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Если две переменные величины связаны между собою так, что при уменьшении или увеличении одной величины другая увеличивается или соответственно уменьшается во столько же раз, то они называются обратно пропорциональными, а зависимость между ними – обратно пропорциональной.

Чтобы поделить некоторое число на части, пропорционально данным числам, необходимо поделить его на сумму этих чисел и полученное частное последовательно умножить на каждое из них.

Чтобы разделить некоторое число на части, обратно пропорциональные данным числам, необходимо поделить его на прямо пропорциональные обратные числа.

Производные пропорции.

Если к обеим частям данной пропорции: