Урок 5. Пропорциональное деление

воскресенье, 21 февраля 2016 г.

Урок 5. Пропорциональное деление

ВИДЕОУРОК

Деление числа на части прямо пропорционально данным числам.

Чтобы разделить число на части прямо пропорционально нескольким данным числам, достаточно разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из этих чисел.

ЗАДАЧА:

Разделить число 100 на две части прямо пропорционально числам 2 и 3.

РЕШЕНИЕ:

Эту задачу следует понимать так: разделить 100 на две части, чтобы первая относилась ко второй, как 2 и 3. Если обозначить искомые числа буквами х₁ и х₂, то эту задачу можно сформулировать и так. Найти х₁ и х₂ такие, чтоб

х₁ + х₂ = 100,

х₁ : х₂ = 2 : 3.

ОТВЕТ:

40 и 60.

ЗАДАЧА:

Двое рабочих заработали 9000 руб. Один работал 2 недели, а другой 8 недель. Сколько денег заработал каждый ?

РЕШЕНИЕ:

Исходя из условия задачи, можно найти как оплачивается одна неделя такой работы:

9000 : (8 + 2) = 900 руб за неделю.

Теперь можно рассчитать, сколько заработал каждый рабочий пропорционально времени потраченному каждым из них на работу:

900 ∙ 2 = 1800 руб – первый рабочий,

900 ∙ 8 = 7200 руб – второй рабочий.

ОТВЕТ: 1800 руб, 7200 руб

ЗАДАЧА:

Два куска одинаковой ткани стоят 360 руб. В одном из них 5 м, а в другом 4 м. Сколько стоит каждый кусок ткани ?

РЕШЕНИЕ:

Составим краткую запись к задаче в виде таблицы.

Поскольку в задаче указана одинаковая ткань, значит, и цена у неё одинаковая. Нужно узнать стоимость каждого куска ткани. Чтобы найти стоимость куска ткани, надо знать цену и количество метров ткани. В данной задаче не известна цена ткани. Чтобы знать цену, нужно узнать стоимость и количество ткани.

Мы знаем стоимость 2 кусков ткани – 360 руб.

Значит, можем узнать, за сколько метров заплатили 360 руб.

5 + 4 = 9 (м).

Теперь найдём, сколько стоит 1 м ткани.

360 : 9 = 40 (руб).

Затем найдём стоимость каждого куска ткани, так как уже знаем количество ткани и стоимость 1 м.

40 ∙ 5 = 200 (руб),

40 ∙ 4 = 160 (руб).

ОТВЕТ: 200 руб, 160 руб

ЗАДАЧА:

В одном мешке было 56 кг муки, а в другом – 24 кг муки. Эту муку расфасовали в 40 пакетов поровну. Сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка ?

РЕШЕНИЕ:

Составим краткую запись в виде таблицы.

В задаче сказано, что муку расфасовали поровну, значит, в каждом пакете одинаковое количество килограммов. Известно, что муку расфасовали в 40 пакетов. Чтобы узнать, сколько потребовалось пакетов для расфасовки муки из каждого мешка, сначала нужно узнать массу одного пакета. Чтобы узнать массу одного пакета, нужно знать массу всей муки и количество всех пакетов.
Найдём массу всей муки.
56 + 24 = 80 (кг).

Теперь найдём, сколько муки находится в одном пакете.

80 : 40 = 2 (кг).

Так как в одном пакете 2 кг муки, а в первом мешке 56 кг, значит для расфасовки 56 кг муки необходимо 28 пакетов.

56 : 2 = 28.

А для расфасовки 24 кг муки необходимо 12 пакетов.

24 : 2 = 12.

ОТВЕТ: 24 пакета, 12 пакетов

ЗАДАЧА:

Двое рабочих вместе заработали 12500 руб, один рабочий работал 4 дня, а другой работал 6 дней. Как они должны разделить заработанные деньги ?

РЕШЕНИЕ:

Прежде всего, устанавливается какая зависимость между этими величинами. Она прямо пропорциональная.

Первый рабочий должен взять 4 такие части общего заработка, каких второй рабочий возьмёт 6, то есть заработок первого рабочего, относится к заработку второго рабочего, как

4 : 6.

Если обозначить

х₁ – заработок первого рабочего, а

х₂ – заработок второго рабочего,

то можно записать:

х₁ : х₂ = 4 : 6 = 2 : 3.

Так как

х₁ = 12500 – х₂, то

(12500 – х₂) : х₂ = 2 : 3, или

(12500 – х₂) ∙ 3 = 2 ∙ х₂,

37500 – 3х₂ = 2х₂

х₂ = 37500 : 5 = 7500 (руб),

х₁ = 12500 – 7500 = 5000 (руб).

ОТВЕТ: 7500 руб, 5000 руб

Рассмотрим задачи деления числа прямо пропорционально трём и более числам.

ЗАДАЧА:

Чтобы приготовить щи из свежей капусты, берут мясо, свежую капусту, помидоры и масло в отношении

25 : 25 : 10 : 2.

Сколько надо взять этих продуктов, если мяса взяли 300 г ?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим величину одной части – х, тогда

25х (г) – капуста,

25х (г) – мясо,

10х (г) – помидоры,

2х (г) – масло.

Так как мяса взяли 300 г, то вес одной части будет равен:

25х = 300, х = 12.

Вычислив вес одной части, можно найти массу каждого из продуктов:

25 ∙ 12 = 300 (г) – капуста,

10 ∙ 12 = 120 (г) – помидоры,

2 ∙ 12 = 24 (г) – масло.

ОТВЕТ:

300 г, 300 г, 120 г, 24 г

ЗАДАЧА:

В тугоплавком стекле содержится кремнезём, известь и поташ в отношении 9 : 1,7 : 1,3. Определите вес колбы, сделанной из этого стекла, если она содержит кремнезёма на 385 г больше, чем поташе.

РЕШЕНИЕ:

кремнезем : известь : поташ =

= 9 : 1,7 : 1,3 = 90 : 17 : 13.

х – коэффициент пропорциональности, тогда

90х – кремнезем,

17х – известь,

13х – поташ.

Известно, что кремнезема на 385 (г) или (90х – 13х) (г) больше, чем поташе, значит

77х = 385,

х = 5.

тогда вес колбы будет равен:

90х + 17х + 13х =

= х(90 + 17 + 13) =

= 5 ∙ 120 = 600 (г).

ОТВЕТ: 600 г

ЗАДАЧА:

Разделите 38 груш на три части так, чтобы:

РЕШЕНИЕ:

Записать отношения в виде одного ряда невозможно, так как в первом и втором отношении II часть выражена различными числами, поэтому, сначала освобождаемся от дробей:

I : II = 32 : 15,

II : III = 1 : 7.

А затем преобразуем отношения так, чтобы в обеих строчках II часть была выражена одинаковым числом, желательно наименьшим, то есть этим числом является

НОК (1:15) = 15.

Получаем

I : II = 32 : 15,

II : III = 15 : 105,

откуда

I : II : III = 32 : 15 : 105.

х – коэффициент пропорциональности, тогда:

32х – I часть груш,

15х – II часть груш,

105х – III часть груш,

Всего 38 груш, или

32х + 15х + 105х = 152х,

152х = 38,

32х = ¹/₄ ∙ 32 = 8 (груш),

15х = ¹/₄ ∙ 15 = 3³/₄ (груш),

105х = ¹/₄ ∙ 105 = 26¹/₄ (груш),

ОТВЕТ: 8 груш, 3³/₄ груш, 26¹/₄ груш

ЗАДАЧА:

Разделить 780 на четыре части пропорционально числам

1,5, 0,75, 0,4, 1,25.

РЕШЕНИЕ:

Эту задачу следует понимать так: если обозначить искомые числа через х₁, х₂, х₃ и х₄, то:

Умножив каждый из знаменателей на 100 и воспользовавшись свойством равных отношений, получим:

Откуда:

х₁ = 300, х₂ = 150,

х₃ = 80, х₄ = 250.

Деление числа на части обратно пропорционально данным числам.

Чтобы разделить число на части обратно пропорционально данным числам, надо разделить его прямо пропорционально числам, обратным данным.

ПРИМЕР:

4 : 5 отношение чисел, а обратное отношение 5 : 4, причём

5 : 4 = ¹/₄ : ¹/₅,

то есть, обратное отношение двух чисел равно отношению чисел, обратных данным.

ЗАДАЧА:

Разделить число 52 на три части обратно пропорционально числам

4, 6 и 8.

РЕШЕНИЕ:

Числа, обратные данным:

¹/₄, ¹/₆ и ¹/₈.

Следовательно,

х₁= ¹/₄× 96 = 24,

х₂= ¹/₆× 96 = 16,

х₃= ¹/₈× 96 = 12.

ОТВЕТ:

24, 16 и 12.

ЗАДАЧА:

Разделить число 200 обратно пропорционально 3 и 5.

РЕШЕНИЕ:

Тут другая формулировка требования: разделить 200 в отношении, обратном 3 и 5, то есть, в первом из искомых чисел должно быть пять таких частей, каких во втором три.

Значит:

х₁ : х₂ = 5 : 3,

х₁ = ²⁰⁰/₈ ∙ 5 = 125,

х₂ = ²⁰⁰/₈ ∙ 3 = 75.

ЗАДАЧА:

Разделить число 130 обратно пропорционально 2, 3 и 4.

РЕШЕНИЕ:

х₁ : х₂ = 3 : 2 = 6 : 4,

х₂ : х₃ = 4 : 3.

Можно свести обратно пропорциональное деление к делению прямо пропорциональному, то есть перейти к одному ряду соотношений:

х₁ : х₂ : х₃ = 6 : 4 : 3,

откуда:

х₁ = 60, х₂ = 40, х₃ = 30.

ЗАДАЧА:

Разделить число 680 обратно пропорционально ¹/₂, ³/₄, ⁵/₆.

РЕШЕНИЕ:

х₁ : х₂ = ³/₄ : ¹/₂ = 3 : 2 = 15 : 10,

х₂ : х₃ = ⁵/₆ : ³/₄ = 10 : 9.

х₁ : х₂ : х₃= 15 : 10 : 9.

откуда:

х₁ = 300, х₂ = 200, х₃ = 180.

ЗАДАЧА:

Разделить число 420 обратно пропорционально 3, 5 и 6.

РЕШЕНИЕ:

х₁ : х₂ = 5 : 3 = 10 : 6,

х₂ : х₃ = 6 : 5.

х₁ : х₂ : х₃= 10 : 6 : 5.

Откуда:

х₁ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 10 = 200,

х₂ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 6 = 120.

х₃ = ⁴²⁰/₂₁ ∙ 5 = 100.

Но если 420 разделить прямо пропорционально

¹/₃, ¹/₅, ¹/₆, то

х₁ : х₂ : х₃= ¹/₃ : ¹/₅ : ¹/₆ = 10 : 6 : 5,

то есть результат вычисления получится такой же.

ЗАДАЧА:

Один рабочий выполняет норму за 6 час, другой за 5 час, а третий за 4,5 час. Работая вместе, они изготовили 795 деталей. Сколько деталей изготовил каждый рабочий ?

РЕШЕНИЕ:

Время работы обратно пропорционально количеству изготовленных деталей.

х₁ – количество деталей, изготовленных первым рабочим,

х₂ – количество деталей, изготовленных вторым рабочим,

х₃ – количество деталей, изготовленных третьим рабочим,

х₁ : х₂ : х₃= ¹/₆ : ¹/₅ : ¹/_4,5 = 15 : 18 : 20.