Урок 19. Задачи на встречное движение

вторник, 8 марта 2016 г.

Урок 19. Задачи на встречное движение

ВИДЕОУРОК

К арифметическим задачам на движение принадлежат такие, в которых на основании зависимости между временем, скоростью и расстоянием при равномерном движении надо найти одну из этих величин. Для решения задач на движение также используют разные модели решений. При этом все значения величин следует выражать в соответствующих единицах измерения. В задачах на движение обычно используют следующие величины:

скорость, время движения и пройденный путь

Скоростью называют путь, пройденный за единицу времени.

Каждая из этих величин имеет свои единицы измерения.

Основные единицы измерения пути:

километр, метр, дециметр, сантиметр, миллиметр.

Основные единицы измерения времени:

час, минута, секунда.

Основные единицы измерения скорости:

км/час (километр в час), м/мин (метры в минуту), м/сек (метры в секунду).

Если время дано в часах, а расстояние в километрах, то скорость нужно выражать в километрах в час.

Обозначения:

S – это пройденный путь, или расстояние,

v – скорость движения,

t – время движения.

Расстояние – это произведение скорости на время движения:

S = v∙ t,

Скорость – это частное от деления расстояния на время движения:

v = S : t,

Время – это частное от деления расстояния на скорость движения:

t = S : v.

Скорость сближения.

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причём скорость первого будет 100 м/мин, а второго – 105 м/мин, то скорость сближения будет составлять

100 + 105 = 205 (м/мин).

Это значит, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Предположим, что пешеходы встретились через три минуты после начала движения. Зная, что они встретились через три минуты, мы можем узнать расстояние между двумя пунктами.

Каждую минуту пешеходы преодолевали расстояние равное двухсот пяти метрам. Через 3 минуты они встретились. Значит, умножив скорость сближения на время движения, можно определить расстояние между двумя пунктами:

205 ∙ 3 = 615 (м).

Можно и по другому определить расстояние между пунктами. Для этого следует найти расстояние, которое прошёл каждый пешеход до встречи.

Так, первый пешеход шёл со скоростью 100 м/мин. Встреча состоялась через три минуты, значит за 3 минуты он прошёл

100 ∙ 3 = 300 (м).

А второй пешеход шёл со скоростью 105 м/мин. За три минуты он прошёл

105 ∙ 3 = 315 (м).

Теперь можно сложить полученные результаты и таким образом определить расстояние между двумя пунктами:

300 м + 315 м = 615 м.

ЗАДАЧА:

Из двух населённых пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 10 км/час, а скорость второго – 12 км/час. Через 2 часа они встретились. Определите расстояние между населёнными пунктами.

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость сближения велосипедистов:

10 км/час + 12 км/час = 22 км/час.

Определим расстояние между населёнными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения:

22 ∙ 2 = 44 (км).

Решим эту задачу вторым способом. Для этого найдём расстояния, пройденные велосипедистами, и сложим полученные результаты.

Найдём расстояние, пройденное первым велосипедистом:

10 ∙ 2 = 20 (км).

Найдём расстояние, пройденное вторым велосипедистом:

12 ∙ 2 = 24 (км).

Сложим полученные расстояния.

20 км + 24 км = 44 км.

ОТВЕТ: 44 км

ЗАДАЧА:

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 60 км, навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 14 км/час, а скорость второго – 16 км/час. Через сколько часов они встретились ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость сближения велосипедистов:

14 км/час + 16 км/час = 30 км/час.

За один час расстояние между велосипедистами уменьшается на 30 км. Чтобы определить, через сколько часов они встретятся, нужно расстояние между населёнными пунктами разделить на скорость сближения:

60 км : 30 км/час = 2 час.

ОТВЕТ: 2 часа

ЗАДАЧА:

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 56 км, навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Через два часа они встретились. Первый велосипедист ехал со скоростью 12 км/час, Определить скорость второго велосипедиста.

РЕШЕНИЕ:

Определим расстояние, пройденное первым велосипедистом. Как и второй велосипедист в пути он провёл 2 часа. Умножив скорость первого велосипедиста на 2 часа, сможем узнать, сколько километров он проехал до встречи.

12 ∙ 2 = 24 (км).

За два часа первый велосипедист проехал 24 км.

Вычтем из общего расстояния (56 км) расстояние, пройденное первым велосипедистом (24 км). Так определим, сколько километров прошёл второй велосипедист.

56 км – 24 км = 32 км.

Второй велосипедист, как и первый, провёл в пути 2 часа. Если мы разделим пройденное им расстояние на 2 часа, то узнаем, с какой скоростью он двигался:

32 : 2 = 16 (км/час).

ОТВЕТ: 16 (км/час).

ЗАДАЧА:

Из двух городов, расстояние между которыми равно 588 км, выехали навстречу друг другу два автомобиля, которые встретились через 6 часов после начала движения. Скорость одного автомобиля составляла 46 км/час. Найдите скорость второго автомобиля.

РЕШЕНИЕ:

588 : 6 = 96 (км) – на столько уменьшается расстояние между ними каждый час.

98 – 46 = 52 (км/час) – скорость второго автомобиля.

ОТВЕТ: 52 км/час

ЗАДАЧА:

От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли два катера, которые встретились через 5 часов после начала движения. Один из катеров двигался со скоростью 28 км/час, а второй – со скоростью 36 км/час. Найдите расстояние между пристанями.

РЕШЕНИЕ:

28 + 36 = 64 (км) – на столько километров сближались катера каждый час.

64 ∙ 5 = 320 (км) – расстояние между пристанями.

ОТВЕТ: 320 км

ЗАДАЧА:

Из города А в 11 час выехала легковая машина и движется со средней скоростью 50 км/час по направлению к городу В. Через 30 мин навстречу ей из города В вышла грузовая машина со средней скоростью 35 км/час. В котором часу произойдёт их встреча, если расстояние между городами равно 195 км ?

РЕШЕНИЕ:

Определим расстояние, которое пройдёт легковая машина до выхода грузовой.

50 × 0,5 = 25 (км).

Найдём расстояние, которое пройдут до встречи при совместном движении легковая и грузовая машины.

195 – 25 = 170 (км).

Затем определим, на сколько километров сближаются за один час легковая и грузовая машины.

50 + 35 = 85 (км).

Через сколько часов после выхода грузовой машины они встретятся ?

170 : 85 = 2 (час),

Теперь определим, в котором часу произойдёт встреча машин.

11 час + 30 мин + 2 час = 13 час 30 мин.

ОТВЕТ:

Встреча произойдёт в 13 час 30 мин.

ЗАДАЧА:

Из двух пунктов, расстояние между которыми 37 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Первый проходил за час на 0,5 км больше второго. С какой скоростью шёл каждый турист, если через 2,5 час после выхода расстояние между ними было 18,25 км ?

РЕШЕНИЕ:

Оба туриста прошли за 2,5 час расстояние:

37 – 18,25 = 18,75 (км).

За час они прошли:

18,75 : 2,5 = 4 (км).

Если бы скорость первого туриста была такая же, как и второго, они за час прошли бы:

7,5 – 0,5 = 7 (км).

Тогда второй турист за час проходил:

7 : 2 = 3,5 (км),

а первый –

3,5 + 0,5 = 4 (км).

ОТВЕТ:

4 км и 3,5 км.

ЗАДАЧА:

От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли два теплохода, и через 6 час они встретились. Какое расстояние до встречи прошёл каждый теплоход и какое расстояние между пристанями, если один теплоход шёл со скоростью 21 км/час, а другой – со скоростью 24 км/час ?

РЕШЕНИЕ:

Определим расстояние, пройденное первым теплоходом. Для этого умножим его скорость на время движения до встречи:

21 ∙ 6 = 126 (км).

Определим расстояние, пройденное вторым теплоходом. Для этого умножим его скорость на время движения до встречи:

24 ∙ 6 = 144 (км).

Определим расстояние между пристанями. Для этого сложим расстояния, пройденные первым и вторым теплоходами:

126 км + 144 км = 270 км.

ОТВЕТ: 126 км, 144 км, 270 км

ЗАДАЧА:

От двух пристаней, расстояние между которыми 75 км, навстречу друг другу одновременно отошли две моторные лодки. Одна шла со скоростью 16 км/час, а скорость другой составляла 75% скорости первой лодки. Какое расстояние будет между лодками через 2 час ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость второй лодки. Она составляет 75% скорости первой лодки. Поэтому чтобы найти скорость второй лодки, нужно найти 75% от 16 км/час.

16 ∙ 0,75 = 12 (км/час).

Найдём скорость сближения лодок:

16 км/час + 12 км/час = 28 км/час.

С каждым часом расстояние между лодками будет уменьшаться на 28 км. Через 2 часа оно уменьшится на

28 ∙ 2 = 56 (км).

Чтобы узнать какое будет расстояние между лодками в этот момент, нужно из 75 км вычесть 56 км:

75 – 56 = 19 (км).

ОТВЕТ: 19 км

ЗАДАЧА:

Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два поезда и через 18 часов, встретились. Определите скорости поездов, зная, что их разность равна 10 км/час, а расстояние между городами составляет 1620 км.

РЕШЕНИЕ:

На сколько километров больше прошёл поезд с большей скоростью, чем поезд с меньшей скоростью ?

10 км ∙ 18 = 180 км.

Какой путь прошли бы эти поезда вместе за 18 часов, если бы их скорости были бы одинаковыми и равны меньшей скорости ?

1620 – 180 = 1440 (км).

Сколько километров составляет путь, пройденный поездом с меньшей скоростью ?

1440 : 2 = 720 (км).

Найдём скорости поездов:

720 км : 18 час = 40 км/час,

40 км/час + 10 км/час = 50 км/час.

ОТВЕТ: 40 км/час, 50 км/час

ЗАДАЧА:

Одновременно из Москвы и Уфы вышли два поезда. Через 16 час они встретились. Московский поезд шёл со скоростью 51 км/час. С какой скоростью шёл поезд, вышедший из Уфы, если расстояние между Москвой и Уфой 1520 км ? Какое расстояние было между поездами через 5 час после их встречи ?

РЕШЕНИЕ:

Определим, сколько километров до встречи прошёл поезд, вышедший из Москвы. Для этого умножим его скорость на 16 час.

51 ∙ 16 = 826 (км).

Узнаем, сколько километров до встречи прошёл поезд, вышедший из Уфы. Для этого из расстояния между Москвой и Уфой вычтем расстояние, пройденное поездом, вышедшим из Москвы.

1520 – 816 = 704 (км).

Определим скорость с которой шёл поезд, вышедший из Уфы. Для этого расстояние, пройденное им до встречи, нужно разделить на 16 час.

704 : 16 = 44 км/час.

Определим расстояние, которое будет между поездами через 5 часов после их встречи. Для этого найдём скорость удаления поездов и умножим эту скорость на 5.

51 км/час + 44 км/час = 95 км/час.

95 ∙ 5 = 475 (км).

ОТВЕТ: 44 км/час, 475 км

ЗАДАЧА:

Расстояние от Ростова-на-Дону до Москвы 1230 км. Из Москвы и Ростова навстречу друг другу вышли два поезда. Поезд из Москвы идёт со скоростью 63 км/час, а скорость ростовского поезда составляет ²⁰/₂₁ скорости московского поезда. На каком расстоянии от Ростова встретятся поезда ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость ростовского поезда. Она составляет ²⁰/₂₁ скорости московского поезда. Поэтому, чтобы определить скорость ростовского поезда, нужно найти ²⁰/₂₁ от 63 км.