Урок 20. Задачи на движение в одном направлении

четверг, 10 марта 2016 г.

Урок 20. Задачи на движение в одном направлении

ВИДЕОУРОК

Объекты движения движутся в одном направлении, выезжая из одного пункта одновременно.

Рассмотрим случай, когда объекты движения могут двигаться в одном направлении, причём с различной скоростью.

Например, из одного пункта одновременно могут выехать велосипедист и мотоциклист, причём скорость велосипедиста может составлять 20 км/час, а скорость мотоциклиста – 40 км/час.

После начала движения, через один час, мотоциклист будет впереди велосипедиста на 20 км. Это связано с тем, что за один час он преодолевает на 20 км больше, чем велосипедист. Поэтому каждый час расстояние между велосипедистом и мотоциклистом будет увеличиваться на двадцать километров. В данном случае 20 км/час являются скоростью удаления мотоциклиста от велосипедиста. Через два часа расстояние, пройденное велосипедистом, будет составлять 40 км. Мотоциклист же проедет 80 км, отдалившись от велосипедиста ещё на 20 км. Тогда расстояние между ними составит уже 40 км.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

В приведённом примере, скорость удаления составляет 20 км/час. Её можно найти путём вычитания скорости велосипедиста из скорости мотоциклиста. Скорость велосипедиста составляла 20 км/час, а скорость мотоциклиста – 40 км/час. Скорость мотоциклиста больше, поэтому из 40 вычитаем 20.

40 км/час – 20 км/час = 20 км/час.

ЗАДАЧА:

Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 120 км/час, а скорость автобуса 80 км/час. Какое расстояние будет между ними через 1 час ? 2 часа ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую скорость:

120 км/час – 80 км/час = 40 км/час.

Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 2 часа в два раза больше:

40 ∙ 2 = 80 (км).

ОТВЕТ: 80 км

ЗАДАЧА:

Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного 35 км/час, а скорость другого составляла 80% скорости первого мотоциклиста. Какое расстояние будет между ними через 5 часов ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость второго мотоциклиста. Она составляет 80% скорости первого мотоциклиста. Поэтому чтобы найти скорость второго мотоциклиста, нужно найти 80% от 35 км/час.

35 ∙ 0,80 = 28 км/час.

Первый мотоциклист двигается на 7 км/час быстрее:

35 км/час – 28 км/час = 7 км/час.

За один час первый мотоциклист преодолевает на 7 км больше. С каждым часом он будет отдаляться от второго мотоциклиста на эти 7 км. Через 5 час первый мотоциклист пройдёт:

35 ∙ 5 = 175 (км),

а второй:

28 ∙ 5 = 140 (км),

Определим расстояние, которое будет между ними через 5 час:

175 км – 140 км = 35 км.

ОТВЕТ: 35 км

ЗАДАЧА:

Автомобиль и автобус выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость автомобиля 53 км/час, скорость автобуса 41 км/час. Через сколько часов после выезда автомобиль будет впереди автобуса на 48 км ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость удаления автомобиля от автобуса:

53 км/час – 41 км/час = 12 км/час.

С каждым часом автомобиль будет удаляться от автобуса на 12 км. Чтобы узнать через сколько часов автомобиль будет впереди автобуса на 48 км, нужно определить сколько раз 48 км содержат по 12 км:

48 : 12 = 4 (час).

ОТВЕТ: 4 час

ЗАДАЧА:

Из одного города одновременно в одном направлении выехали грузовик со скоростью 48 км/год и легковой автомобиль со скоростью 64 км/год. Каким будет расстояние между ними через 3 часа после начала движения ?

РЕШЕНИЕ:

64 – 48 = 16 (км) – на столько километров увеличится расстояние между автомобилями каждый час.

16 ∙ 3 = 48 (км) – расстояние между автомобилями через 3 час.

ОТВЕТ: 48 км

ЗАДАЧА:

Из города Минск в Смоленск, расстояние между которыми 346 км, отправились одновременно велосипедист и автомобилист. Скорость автомобиля 20 м/сек, а велосипедиста 20 км/час. Какое расстояние будет между ними через 2 часа ?

РЕШЕНИЕ:

Нельзя складывать разные единицы измерения, поэтому надо перевести метры в секунду в километры в час. Так как в

1 километре – 1000 метров, а в

1 часе – 3600 секунд, тогда

1 км/час = 1000 : 3600 = ⁵/₁₈ м/сек.

Составим пропорцию:

1 км/час ----------- ⁵/₁₈ м/сек,

х км/час ----------- 20 м/сек,

Скорость автомобиля – 72 км/час.

Так как автомобилист и велосипедист выехали из одного места и двигаются в одном направлении, расстояние между ними за один час будет нарастать со скоростью:

72 – 20 = 52 (км/час).

А через 2 часа оно будет равно:

52 ∙ 2 = 104 (км).

ОТВЕТ: 104 км

Объекты движения движутся в одном направлении, выезжая из разных пунктов одновременно.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты начали своё движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Пусть имеется дом, школа и аттракцион. От дома до школы 700 м. Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причём первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 100 м/мин, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 80 м/мин. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 минуты ? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго ?

Ответим на первый вопрос задачи – какое расстояние будет между пешеходами через две минуты ?

Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 2 мин. Он двигался со скоростью 100 м/мин. За две минуты он пройдёт в два раза больше, то есть 200 м.

100 ∙ 2 = 200 (м).

Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 2 мин. Он двигался со скоростью 80 м/мин. За две минуты он пройдёт в два раза больше, то есть 160 м.

80 ∙ 2 = 160 (м).

Теперь нужно найти расстояние между пешеходами. Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (700 м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (160 м) и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (200 м).

700 м + 160 м = 860 м,

860 м – 200 м = 660 м.

Либо из расстояния от дома до школы (700 м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (200 м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (160 м).

700 м – 200 м = 500 м,

500 м + 160 м = 660 м.

Таким образом, через две минуты расстояние между пешеходами будет составлять 660 м.

Ответим на следующий вопрос задачи. Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго ? Посмотрим какой была ситуация в самом начале пути – когда пешеходы ещё не начали движение. Расстояние между пешеходами в начале пути составляло 700 м. Но уже через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 680 м, поскольку первый пешеход двигается на 20 м быстрее второго:

100 м ∙ 1 = 100 м,

80 м ∙ 1 = 80 м,

700 м + 80 м – 100 м =

= 780 м – 100 м = 680 м.

Через две минуты после начала движения, расстояние уменьшится ещё на 20 м и будет составлять 660 м.

100 м ∙ 2 = 200 м,

80 м ∙ 2 = 160 м,

700 м + 160 м – 200 м =

= 860 м – 200 м = 660 м.

Через три минуты расстояние уменьшится ещё на 20 м и будет уже составлять 640 м.

100 м ∙ 3 = 300 м,

80 м ∙ 3 = 240 м,

700 м + 240 м – 300 м =

= 940 м – 300 м = 640 м.

Мы видим, что с каждой минутой первый пешеход будет приближаться ко второму на 20 м, и, в конце концов, догонит его. Можно сказать, что скорость равная двадцати метрам в минуту является скоростью сближения пешеходов. Правила нахождения скорости сближения и удаления при движении в одном направлении идентичны.

Чтобы найти скорость сближения при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

А раз изначальные 700 м с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 20 м, то можно узнать сколько раз 700 м содержат по 20 м, тем самым определим, через сколько минут первый пешеход догонит второго:

700 : 20 = 35.

Значит, через 35 мин после начала движения первый пешеход догонит второго. Узнаем, сколько метров прошёл к этому времени каждый пешеход.

Первый двигался со скоростью 100 м/мин. За 35 мин он прошёл в 35 раз больше:

100 м ∙ 35 = 3500 м.

Второй двигался со скоростью 80 м/мин. За 35 мин он прошёл в 35 раз больше:

80 м ∙ 35 = 2800 м.

Первый прошёл 3500 м, а второй 2800 м. Первый прошёл на 700 м больше, поскольку он шёл от дома. Если вычесть эти 700 м из 3500 м, то мы получим 2800 м.

ЗАДАЧА:

Из двух сёл, расстояние между которыми 40 км, одновременно в одном направлении выехали автобус и велосипедист. Скорость велосипедиста 15 км/час, а скорость автобуса 35 км/час. Через сколько часов автобус догонит велосипедиста ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость сближения:

35 км/час – 15 км/час = 20 км/час.

Определим, через сколько часов автобус догонит велосипедиста:

40 : 20 = 2 (час).

ОТВЕТ: 2 час

ЗАДАЧА:

Расстояние между двумя посёлками равно 24 км. Из этих посёлков одновременно в одном направлении вышли пешеход, и выехал велосипедист. Впереди шёл пешеход. Через сколько часов после начала движения велосипедист догонит пешехода, если пешеход шёл со скоростью 4 км/час, а велосипедист ехал со скоростью 12 км/час ?

РЕШЕНИЕ:

12 – 4 = 8 (км) – на столько уменьшилось расстояние между велосипедистом и пешеходом за один час.

24 : 8 = 3 (час) – время, за которое велосипедист догнал пешехода.

ОТВЕТ: 3 год

Объекты движения движутся в одном направлении, но один из объектов начал своё движение раньше другого.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты движутся в одном направлении, но один из объектов начал своё движение раньше другого.

Пусть имеется дом и школа. Первый пешеход отправился в школу со скоростью 80 м/мин. Через 5 мин вслед за ним в школу отправился второй пешеход со скоростью 100 м/мин. Через сколько минут второй пешеход догонит первого ?

Второй пешеход начал своё движение через 5 мин. К этому времени первый пешеход уже отдалился от него на какое-то расстояние. Найдём это расстояние. Для этого умножим его скорость (80 м/мин) на 5 мин.

80 ∙ 5 = 400 (м).

Первый пешеход отдалился от второго на 400 м. Поэтому в момент, когда второй пешеход начнёт своё движение, между ними будут эти самые 400 м. Но второй пешеход двигается со скоростью 100 м/мин. То есть двигается на 20 м быстрее первого пешехода, а значит с каждой минутой расстояние между ними будет уменьшаться на 20 м. Надо узнать через сколько минут второй пешеход догонит первого. Например, уже через минуту расстояние между пешеходами будет составлять 380 м. Первый пешеход к своим 400 м пройдёт ещё 80 м, а второй пройдёт 100 м. Расстояние между пешеходами в момент движения второго пешехода необходимо разделить на скорость сближения пешеходов. Скорость сближения в данном случае равна двадцати метрам. Поэтому, чтобы определить через сколько минут второй пешеход догонит первого, нужно 400 м разделить на 20.

400 : 20 = 20 (мин).

Значит, через 20 мин второй пешеход догонит первого.

ЗАДАЧА:

Легковая машина, скорость которой 62 км/час, догоняет грузовую машину, скорость которой 47 км/час. Через сколько времени и на каком расстоянии от начала движения легковая машина догонит грузовую, если первоначальное расстояние между ними было 60 км ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость сближения:

62 км/час – 47 км/час = 15 км/час.

Если первоначально расстояние между машинами было 60 км, то с каждым часом это расстояние будет уменьшаться на 15 км, и в конце концов легковая машина догонит грузовую. Чтобы узнать, через сколько часов это произойдёт, нужно определить сколько раз 60 км содержит по 25 км.

60 : 15 = 4 (час).

Узнаем, на каком расстоянии от начала движения, легковая машина догнала грузовую машину. Для этого умножим скорость легковой машины на время её движения до встречи.

62 ∙ 4 = 248 (км)

ОТВЕТ: 4 час, 248 км

ЗАДАЧА:

Мотоциклист, скорость которого 43 км/час, догоняет велосипедиста, скорость которого 13 км/час. Через сколько часов мотоциклист догонит велосипедиста, если первоначальное расстояние между ними было 120 км ?

РЕШЕНИЕ:

Найдём скорость сближения:

43 км/час – 13 км/час = 30 км/час.

Если первоначальное расстояние между мотоциклистом и велосипедистом было 120 км, то с каждым часом это расстояние будет уменьшаться на 30 км, и, в конце концов, мотоциклист догонит велосипедиста. Чтобы узнать, через сколько часов это произойдёт, нужно определить сколько раз 120 км содержит по 30 км:

120 : 30 = 4 (час).

Значит, через 4 часа мотоциклист догонит велосипедиста.

ОТВЕТ: 4 час

ЗАДАЧА:

Велосипедист, скорость которого 12 км/час, догоняет велосипедиста, скорость которого составляет 75% от его скорости. Через 6 час второй велосипедист догнал велосипедиста, ехавшего первым. Какое расстояние было между ними первоначально ?

РЕШЕНИЕ:

Определим скорость велосипедиста, ехавшего впереди. Для этого найдём 75% от скорости велосипедиста, ехавшего сзади:

612 ∙ 0,75 = 9 (км/час).

Узнаем, сколько километров проехал каждый велосипедист до того как второй догнал первого:

12 ∙ 6 = 72 (км),

9 ∙ 6 = 54 (км).

Узнаем, какое расстояние было между ними первоначально. Для этого из расстояния, пройденного вторым велосипедистом (который догонял) вычтем расстояние, пройденное первым велосипедистом (которого догоняли).

72 км – 54 км = 18 км.

ОТВЕТ: 18 км

ЗАДАЧА:

Из пункта А выехал велосипедист и едет по направлению пункта В со средней скоростью 12 км/час. Через 2 час из этого же пункта отправился в том же направлении второй велосипедист со скоростью 18 км/час. Через сколько часов и на каком расстоянии от А второй велосипедист догонит первого ?

РЕШЕНИЕ:

Определим, какое расстояние проходит первый велосипедист до выезда второго:

12 × 2 = 24 (км).

Определим, на сколько километров больше проходит в час второй велосипедист, чем первый:

18 – 12 = 6 (км).

Найдём через сколько часов после своего выезда второй велосипедист догонит первого:

24 км : 6 км = 4 (час),

а теперь определим, на каком расстоянии от А второй велосипедист догонит первого:

18 × 4 = 72 (км).

ОТВЕТ:

4 час, 72 км.

ЗАДАЧА:

Первый турист проехал 2 часа на велосипеде со скоростью 16 км/час. Отдохнув 2 часа, он отправился дальше с прежней скоростью. Спустя 4 часа после старта велосипедиста ему вдогонку выехал второй турист на мотоцикле со скоростью 56 км/час. На каком расстоянии от места старта мотоциклист догонит велосипедиста ?

РЕШЕНИЕ:

Пусть туристы отправились из точки А. Тогда В – место стоянки велосипедиста, далее за точкой В точка С – место, в котором мотоциклист догнал велосипедиста (точки А, В и С находятся на одной прямой). Пусть АС = S. Велосипедист проехал это расстояние за ^s/₁₆ час, а мотоциклист – за ^s/₅₆ час. Тогда из условия задачи: